Die erste Maxwellgleichung

Die erste Maxwellgleichung
Die vier Maxwellgleichungen sind das wichtigste Handwerkszeug zur Beschreibung des Elektromagnetismus, mit ihnen lassen sich Aussagen über elektrische und magnetische Felder treffen
und wie diese miteinander wechselwirken. Im Folgenden soll auf die erste Maxwellgleichung das
sogenannte Gaußsche Gesetz näher eingegangen und der nötige mathematische Formalismus
erläutert werden.
Die erste Maxwellgleichung sagt etwas über die Ursache elektrischer Felder aus, d.h. Ladung ist
die Ursache eines elektrischen Feldes. Man nennt dies auch, dass Ladungen Quellen und Senken
eines elektrischen Feldes sind, d.h. das elektrische Feld beginnt“ bei einer Quelle und endet“
”
”
bei einer Senke1 . Die erste Maxwellgleichung besitzt nun die folgende Formulierung:
{ #» #» Q(V )
ρ
#» #»
∇·E =
E · dA =
ε0
ε0
∂V
Dies sind die beiden Formulierungen der Maxwellgleichung, diese sind beide gleichbedeutend,
wobei die zweite, integrale Formulierung, einfacher anzuwenden ist. zunächst einmal müssen
wir die einzelnen Symbole klären.
#»
∇· Dieses Symbol ist ein Mathematischer Operator, welcher Divergenz genannt wird, man
#»
nennt hierbei ∇· den Nabla Operator. Er stellt in diesem Fall eine Art Ableitung in 3
#» #»
Dimensionen dar. ∇ · E ist eine Funktion die die Dichte der Quellen eines Vektorfeldes in
jedem Koordinatenpunkt im 3-Dimensionalen Raum angibt, indem Sie jedem Punkt im
Raum eine Zahl zuordnet. Für die Feldlinien gelten nun die folgenden Eigenschaften:
#» #»
∇ · E > 0 Es befindet sich an dieser Stelle eine Quelle2 .
#» #»
∇ · E < 0 Es befindet sich an dieser Stelle eine Senke3 .
#» #»
∇ · E = 0 Bedeutet, dass sich in diesem Punkt keine Quelle befindet, man nennt diesen Fall
auch Quellenfrei.
Aufgrund der Divergenz eines elektrischen Feldes Rückschlüsse auf dieses Feld zu ziehen ist
äußerst schwierig, weshalb man zur Bestimmung die Integrale Form der Maxwellgleichung
verwendet.
ρ Bezeichnet hier die Ladungsdichte, diese ist eine Größe, die die Ladungsverteilung beschreibt. Bei einer gleichmäßig verteilten Ladung ist die Ladungsdichte der Quotient aus
Q
der Ladung und dem Volumen auf welchem die Ladung sitzt4 , also ρ =
V
{
Ist ein Integral wie es aus dem Mathematikunterricht bekannt ist. Im MathematikunterR
s
richt werden nur Integrale mit einem R behandelt, anschaulich bedeutet
das man über
eine Dimension mehr integriert. Bei ist die Funktion über welche Integriert wird
s eine
Linie in 2 Dimensionen5 , nehmen wir nun ein weitere Zeichen hinzu, so bedeutet
dass
man über eine Fläche im dreidimensionalen Raum Integriert. Der Kringel im Integral bedeutet, dass diese Oberfläche geschlossen sein muss, d.h. z.B. die Oberfläche einer Kugel,
oder eines anderen Körpers (Würfel, Zylinder usw.). Solche Integrale auszuwerten kann
äußerst aufwendig sein, weshalb man sich in der Physik mit einem Trick behilft.
1
Es gibt auch elektrische Felder ohne Quellen und Senken, d.h. Felder bei welchen die Feldlinien geschlossen
sind, man nennt solche Felder auch elektrische Wirbelfelder (diese werden noch im Unterricht behandelt)
2
Eine Quelle wäre eine positive Ladung, von dieser beginnen die Feldlinien
3
Eine Senke ist ein negative Ladung, zu dieser laufen die Feldlinien hin
4
Vergleichbar ist die Ladungsdichte mit der bereits bekannten Dichte.
5
d.h. in einem x-y−Koordinatensystem
∂V Tiefgestellt am Integralzeichen entspricht diesem dem Integrationsbereich mit ∂ macht
man in der Mathematik und in der Physik den Rand eines Objektes deutlich. Somit bedeutet ∂V dass man über den Rand eines bestimmten Volumen Integriert, man integriert
also über die Oberfläche eines bestimmten Volumens, z.B. die Oberfläche einer Kugel mit
Radius r.
#»
d A Bedeutet, dass die Feldlinien entsprechend gewichtet werden müssen, je nachdem ob diese
die Oberfläche senkrecht durchstoßen oder schräg, bzw. parallel zur Fläche verlaufen.
Stehen die Feldlinien senkrecht auf der Oberfläche, so gehen sie ganz in die Gewichtung
ein, verlaufen diese parallel so gehen diese gar nicht in die Gewichtung ein.
Q(V ) ist die Ladung, welche sich in dem Volumen befindet, über dessen Rand integriert wurde.
Mit diesen Begrifflichkeiten kann man nun die erste Maxwellgleichung verstehen.
Merke: Der elektrische Fluss Φel ist das Integral :
x #» #»
Φel =
E · dA
A
Steht das elektrische Feld überall senkrecht auf der Fläche, so kann man das Integral vereinfachen und den elektrischen Fluss auch schreiben als:
Φel = E · A
Somit können wir die folgende Interpretation und Anleitung für die erste Maxwellgleichung
liefern:
Anleitung zur Anwendung der ersten Maxwellgleichung
Ziel ist es mit Hilfe der ersten Maxwellgleichung die elektrische Feldstärke in einem bestimmten Abstand einer Ladungsverteilung zu bestimmen.
1. Lege eine geschlossene Hülle um die Ladung die einen bestimmten Abstand r von der
Ladung besitzt. Hierbei bietet sich eine Kugel, ein Zylinder oder ein Würfel an. Wähle
die form der Hülle so, dass jede denkbare Feldlinie von der Ladung ausgehend, oder
zu Ladung kommend, senkrecht die Hülle durchstößt.
2. Bestimme die Ladung Q(V ), die von der Hülle eingeschlossen ist.
3. Die erste Maxwellgleichung lässt sich nun in der folgenden Form schreiben:
E·A=
Q
ε0
4. Es gilt somit für die Elektrische Feldstärke:
E=
Q
A · ε0
Beispiel: Punktladung und Herleitung des Coulombgesetz
Bekannt ist das Coulombgestz, es gibt die Kraft an, welche zwei punktförmige Ladungen aufeinander ausüben:
1
Q·q
FC =
· 2
4πε0
r
Wir möchten das elektrische Feld bestimmen, das von einer punktförmigen Ladung Q erzeugt
F
wird. Bekannt ist, dass für die elektrische Feldstärke E gilt E = , wobei q eine beliebige
q
Probeladung ist. Somit gilt also für das elektrische Feld einer Punktladung:
E=
FC
1
Q
=
· 2
q
4πε0 r
Nun wollen wir überlegen, ob wir dieses Ergebnis auch mit Hilfe der ersten Maxwellgleichung
erhalten können, wenn wir nicht wissen wie die Coulombkraft aussieht.
Hierzu betrachten wir eine Punktladung, die Feldlinien zeigen radial
nach außen oder nach innen, je nachdem ob wir eine positive oder
negative Ladung betrachten. Das elektrische Feld ist somit Kugelsymmetrisch, wir wollen den Betrag des elektrischen Feldes in einem Abstand r von der Ladung bestimmen. D.h. wenn wir uns eine Kugel
mit Radius r und der Ladung in der Mitte denken, so durchstoßen die
Feldlinien senkrecht die Kugeloberfläche, es gilt also:
E·A=
Q
ε0
Wobei A die die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius r ist, für diese gilt: A = 4πr2 . Somit
erhalten wir für das elektrische Feld einer Punktladung:
E=
Q
1
Q
=
· 2
2
4πε0 · r
4πε0 r
Hieraus kann man nun auch noch das Coulombgestz ableiten, denn aus der Definition eines
elektrischen Feldes6 folgt F (r) = E(r) · q, weshalb man das Coulombgesetz eigentlich direkt aus
der ersten Maxwellgleichung ableiten kann:
FC (r) = E(r) · q =
1
Q
1
q·Q
· 2 ·q =
· 2
4πε0 r
4πε0
r
Aufgabe mit Lösung: elektrische Feldstärke einer Hohlkugel
a) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke einer geladenen Hohlkugel mit Radius r0 im
Innern und Außerhalb der Hohlkugel.
b) Zeichnen Sie ein E(r) Diagramm
6
Die Definition des elektrischen Feldes lautet E =
F
q
Lösung: elektrische Feldstärke einer Hohlkugel
a) Da die komplette felderzeugende Ladung auf der hohlkugel sitzt (durchgezogene Linie)
und sich im Innern keine Ladung befindet, können wir irgend eine gedachte Oberfläche
(gestrichelte Linie) in die Hohlkugel legen und schließen mit dieser Oberfläche nie irgendwelche Ladung ein. Deshalb ist nach der ersten Maxwellgleichung das Innere feldfrei, denn
auf der rechten Seite steht die eingeschlossene Ladung und diese ist aber immer null.
Befinden wir uns nun außerhalb der Hohlkugel, so können wir wieder eine Kugel mit
Radius r > r0 und der Hohlkugel in der Mitte um diese legen. Somit durchstoßen die
Feldlinien allesamt senkrecht die Kugeloberfläche und es gilt:
E·A=
Q
ε0
Q
4πε0 · r2
1
Q
=
· 2
4πε0 r
E=
Es gilt also für die elektrische Feldstärke:
(
0
E(r) =
1
4πε0
·
Q
r2
r < r0
r ≥ r0
b) Zeichnen Sie ein E(r) Diagramm
𝐸
𝐸(𝑟0 )
𝑟0
𝑟