Lineare Algebra - Institut für Mathematik
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Institut für Mathematik
Prof. Dr. A. Kresch
13.10.2008
Übung zur Vorlesung
Lineare Algebra
HS 2008 - Übungsblatt 04
Abgabe Montag, 20.10.2008, 10:15 Uhr, vor der Vorlesung im Raum Y15G19
1
Finden Sie die Lösungsmengen dieser reellen, linearen Gleichungssysteme. Gehen Sie nach dem Gaußalgorithmus vor und geben Sie jeden Schritt einzeln an.
(a)
−x1
x1
5x1
+5x2
−2x2
x2
+2x3
−4x3
+2x3
+3x4
+4x4
+3x4
+x4
= 6
= 6
= 39
= 2
(b)
2x1
x1
x1
2
+6x2
1
2 x2
+4x2
+2x2
+10x3
+x3
+7x3
+3x3
+14x4
+5x4
+8x4
+5x4
= 56
= 21
= 34
= 18
(3 Punkte)
Es seien n, m ∈ N \ {0} beliebige Zahlen. Es sei X := (xi )ni=1 eine Variable über Rn , wobei die
entsprechenden xi reelle Variablen sind. Weiter sei A := (i + j − 1)1≤i≤m,1≤j≤n ∈ M(m × n; R)
und b := (i + n)1≤i≤m ∈ Rm . Bestimmen Sie den Rang von A und lösen Sie das Gleichungssystem
AX = b.
(3 Punkte)
3
4
1 2 a
(a) Gegeben ist die rationale 3 × 3-Matrix A := 2 3 4, wobei a eine rationale Zahl sein soll.
a 4 0
Weiter seien e1 , e2 , e3 die Einheitsvektoren im Q3 und X := (x1 , x2 , x3 ) eine Variable über Q3 .
Lösen sie die drei Gleichungen AX = ei für i ∈ {1, 2, 3} in Abhängigkeit von a.
i
a
a
0
(b) Gegeben ist die komplexe 3×3-Matrix B := −1 a + 1 0 und der Vektor b := −a ∈ C3 ,
ia
0
0
i
wobei a eine komplexe Zahl sein soll. Weiter ist Y := (y1 , y2 , y3 ) eine Variable über C3 . Lösen
Sie die Gleichung BY = b in Abhängigkeit von a.
(4 Punkte)
Nur für Teilnehmende der Ergänzungensvorlesung.
(a) Das vorgegebene Universum sind die üblichen ganzen Zahlen mit Konstantensymbolen 0, 1,
mit den Funktionssymbolen +, − und · und den Relationssymbolen =, <, mit dem unendlichen
Vorrat an Variablen x1 , x2 , x3 , . . ., sowie den üblichen logischen Zeichen einer Prädikatenlogik
erster Stufe.
i. Schreiben Sie x1 ist eine gerade, ganze Zahl“ durch eine Formel obiger Prädikatenlogik.
”
ii. Formalisieren Sie die natürliche Zahl x1 ist prim“.
”
(b) Das vorgegebene Universum sei jetzt die reellen Zahlen mit üblichen Konstantensymbolen, Funktionssymbolen (insb. mit dem einstelligen Symbol f und −“ ist ebenfalls einstellig) und Rela”
tionssymbolen, mit dem unendlichen Vorrat an Variablen , δ, x1 , x2 , x3 , . . ., sowie den üblichen
logischen Zeichen einer Prädikatenlogik erster Stufe.
Formulieren Sie diese Aussage in einem deutschen Satz:
∀x1 ∀ (< 0 ⇒ ∃δ (< 0 δ ∧ ∀x2 (< +x1 − x2 δ∧ < +x2 − x1 δ) ⇒ (< +f x1 − f x2 ∧ < +f x2 − f x1 ))))
(c) Betrachten Sie folgende Aussage:
Jeder Drache ist glücklich, wenn seine Kinder fliegen können, jeder Drache, der grün ist, kann
fliegen, und Kinder eines grünen Drachen sind ebenfalls grüne Drachen, deshalb sind grüne
Drachen, die Kinder haben, glücklich.
Formalisieren Sie diese Aussage in einer Prädikatenlogik erster Stufe mit dem zweistelligen
Prädikat Ki x1 x2 (Drache x1 ist Kind von Drachen x2 ), den einstelligen Prädikaten F l x1
(Drache x1 kann fliegen), Gl x1 (Drache x1 ist glücklich) und Gr x1 (Drache x1 ist grün) und
den Variablensymbolen x1 , x2 , x3 , . . . im Universum aller Drachen.
(d) Eine Gruppe wird endlich genannt, wenn die zugrunde liegende Menge nur endlich viele Elemente hat. Kann man genau die endlichen Gruppen in einer Prädikatenlogik erster Stufe axiomatisieren? Also kann man eine Prädikatenlogik erster Stufe und zugehörige Axiome finden,
so dass alle Universen, die diese Axiome erfüllen, endliche Gruppen seien müssen, und zugleich
alle endlichen Gruppen Universen darstellen, die diese Axiome erfüllen? Geben Sie ein oder zwei
Argumente an, ein Beweis wird nicht verlangt.
(5 Punkte)
