Elektrodynamik für Bachelor plus Zentralübung 2

Elektrodynamik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Zentralübung 2
26. Mai 2017
Aufgabe 1: Feld eines Dipols
Eine Ladung q befinde sich bei ~r1 = −a~ex , eine Ladung −q bei ~r2 = 0.
(a) Berechnen Sie das elektrische Potential für Orte ~r ∈ R3 /{~r1 , ~r2 }.
(b) Führen Sie den Grenzübergang a → 0, q → ∞ mit qa = d = const durch.
(c) Berechnen Sie aus dem Ergebnis von (b) das elektrische Feld für Orte ~r ∈ R3 /{~0}.
Aufgabe 2: Linienförmige Ladungsverteilung und Metalloberfläche
(Staatsexamen Herbst 2005)
Es soll das elektrische Potential untersucht werden, das von einer in z-Richtung linearen Ladungsverteilung ρ(x, y, z) = ρ1 δ(x − a)δ(y) erzeugt wird (mit a > 0). Hierbei ist ρ1 eine konstante Ladung pro
Länge. Es soll ferner die Möglichkeit vorgesehen sein, eine ideal leitende, geerdete Metallplatte in der
(y, z)-Ebene anzubringen.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß, dass sich das Potential in Abwesenheit der Metallplatte
in der Form
Φ(R) = −
ρ1
ln(R) + Φ0
2π0
(1)
schreiben lässt, wobei R der senkrechte Abstand von der linearen Ladungsverteilung ist.
Hinweis: In Zylinderkoordinaten (s, ϕ, z) gilt
~ = ∂Φ ~es + 1 ∂Φ ~eϕ + ∂Φ ~ez .
∇Φ
∂s
r ∂ϕ
∂z
(2)
(b) Es werde nun eine unendlich ausgedehnte, geerdete Metallplatte in der (y, z)- Ebene angebracht.
Welche Randbedingungen muss das Potential bei x = 0 erfüllen? Bestimmen Sie nun mit Hilfe
der Bildladungsmethode das elektrische Potential im Halbraum x > 0.
(c) Skizzieren Sie qualitativ die elektrischen Feldlinien in der (x, y)-Ebene für x > 0. In welche
Richtung zeigt das elektrische Feld an der Metallplatte?
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Aufgabe 3: Geladene Kugelschale
(Staatsexamen Herbst 2014)
Eine Kugelschale mit innerem Radius Ri und äußerem Radius Ra sei homogen geladen. Die Gesamtladung sei q.
(a) Geben Sie die konstante Ladungsdichte ρ als Funktion der beiden Radien der Kugelschale an.
~ r) im gesamten Raum.
(b) Berechnen Sie das elektrische Feld E(~
Die geladene Kugelschale sei nun metallisch.
~ r) im gesamten Raum.
(c) Berechnen Sie nun die Ladungsdichte und das elektrische Feld E(~
Hinweis: Die tatsächliche Staatsexamensaufgabe war deutlich umfangreicher. Insbesondere sollte man
auch die elektrostatische Energie berechnen und deren Limes für Ri → 0 bzw. Ri → Ra .
Bei Fragen:
[email protected]
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