Übungen in Statistische Physik

Prof. Dr. Gustavo M. Pastor
Dr. Waldemar Töws
David Gallina
Universität Kassel
Statistische Physik
WS 2015/16
Übungen in Statistische Physik
Übungsblatt 4
Bitte geben Sie Ihre Lösungen spätestens am Donnerstag, den 12.11.2015,
am Anfang der Vorlesung ab.
1)
i) Seien ρ̂1 und ρ̂2 zwei beliebige Dichteoperatoren desselben Systemes. Zeigen Sie, dass
12 Punkte
ρ̂ = αρ̂1 + (1 − α)ρ̂2
mit 0 ≤ α ≤ 1 auch wieder ein Dichteoperator jenes Systems ist. Man bezeichnet
eine Menge von Objekten, die diese Eigenschaft haben, auch als konvexe Menge.
ii) Zeigen Sie, dass der Dichteoperator genau dann einen reinen Zustand beschreibt,
wenn eine der unten aufgelisteten äquivalenten Bedingungen erfüllt ist. Zeigen Sie
zudem, dass all diese Bedingungen oder Aussagen äquivalent sind.
(a) Es existiert ein Zustand |αi, sodass ρ̂ = |αi hα|.
(b) ρ̂2 = ρ̂.
(c) Tr{ρ̂2 } = 1.
(d) Tr{ρ̂ ln ρ̂} = hln ρ̂i = 0.
(e) ρ̂ kann nicht als Summe zweier unterschiedlicher Dichteoperatoren ρ̂1 und ρ̂2
geschrieben werden, d.h., es existieren keine zwei Dichteoperatoren ρ̂1 6= ρ̂2 ,
sodass ρ̂ = α1 ρ̂1 + α2 ρ̂2 mit α1 + α2 = 1 und α ≥ 0.
2)
10 Punkte
i) Finden Sie die Darstellung von ρ̂H (t) im Heisenberg-Bild. Die bereits aus der Quantenmechanik bekannte Beziehung zwischen der Schrödinger- und der HeisenbergDarstellung eines Operators ist gegeben durch
ÂH = Û † (t, t0 )ÂS Û (t, t0 ).
ii) Verifizieren Sie die Invarianz der Mittelwerte eines jeden Operators  in den beiden
Darstellungen:
hÂH i = hÂS i.
3)
10 Punkte
Im folgenden hänge die Dichtefunktion ρ eines statistischen Ensembles nur über die
Hamilton-Funktion H = H(~q, p~) vom Ort ~q und Impuls p~ ab. Zeigen Sie mit Hilfe der
Liouville-Gleichung in der Form
∂ρ
+ ~v · ∇ρ = 0,
∂t
wobei ~v die Phasenraumgeschwindigkeit sei, dass es sich dann um eine stationäre Verteilung
handelt (∂ρ/∂t = 0).
4)
8 Punkte
Gegeben seien zwei Systeme R1 und R2 mit den Temperaturen T1 und T2 (T2 > T1 ) sowie
den Wärmekapazitäten C1 und C2 . Die Systeme seien gegenüber der Umgebung thermisch
isoliert. Im Folgenden soll möglichst viel Wärme vom wärmeren System R1 auf das kältere
System R2 übertragen werden. Unterteilen Sie dazu das wärmere System in N kleine
Teilsysteme. Jedes dieser Teilsysteme wird nacheinander mit dem kälteren Reservoir R1
in Verbindung gebracht. Nach Einstellen des Gleichgewichts wird die Verbindung wieder
getrennt und das nächste Teilsystem benutzt.
i) Berechnen Sie die Endtemperatur T1 des Systems R1 , insbesondere für N → ∞.
ii) Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit den Prozessen, die auf dem letzten Übungsblatt
vorgestellt wurden. Welcher ist der effizienteste Prozess?
Abbildung 1: Skizze vom Beginn des Prozesses.
Abbildung 2: Skizze vom Prozess nachdem einige Teilsysteme benutzt worden sind.