Analysis 1

Prof. Dr. Vadim Kostrykin
Amru Hussein
Übungsblatt 1 zur Vorlesung
Analysis 1
im Sommersemester 2010
Abgabe: Ihre Abgaben müssen die folgenden Informationen enthalten: Name, Vorname, Matrikelnummer, Übungsgruppe. Die Abgaben erfolgen in zweier Gruppen, ausnahmsweise auch
in dreier Gruppen. Einzelabgaben werden nicht korrigiert. Die Abgabe erfolgt in den Übungskästen (Staudinger Weg 9, 4.OG, neben dem Fachschaftsraum). Für jede Übungsgruppe wird
es genau einen Kasten geben.
Schreiben Sie bitte sauber und ordentlich, um den Übungsleitern die Korrektur zu erleichtern.
Lassen Sie bitte einen ausreichend großen Rand für Verbesserungen und Kommentare.
Bitte verwenden Sie, soweit nichts anderes vermerkt ist, zur Bearbeitung der Aufgaben nur
den Inhalt der Vorlesung. Achten Sie darauf, das jeder Schritt in der Argumentation nachvollziehbar ist, und geben Sie an, welche Voraussetzungen eingehen.
Viel Erfolg!
Aufgabe 1)
(Natürliche Zahlen) (4 Punkte)
N. Zeigen Sie, dass m + 1 = 1 + m gilt.
(b) Es seinen n, m ∈ N, zeigen Sie dass die Addition natürlicher Zahlen kommutativ ist,
(a) Es sei m ∈
d.h. dass n + m = m + n gilt.
Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis aus Teil a) um eine Induktion über n durchzuführen.
N
(c) Für welche n ∈
ist m = n (n + 1) eine gerade Zahl? Das heißt, wann ist m = 2p für
ein geeignetes p ∈ .
N
Hinweis: Viele Aussagen über die natürlichen Zahlen können induktiv bewiesen werden.
Aufgabe 2)
(Vollständige Induktion 1) (4 Punkte)
Beweisen Sie:
(a) Sn1 := 2 + 4 + · · · + 2n =
n
X
2k = n (n + 1),
k=1
(b) Sn2 := 6 · 12 + 6 · 22 + · · · + 6 · n2 =
n
X
6k 2 = n (n + 1) (2n + 1),
k=1
(c)
Sn3
:= 4 ·
13
+4·
23
+ ··· + 4 ·
n3
=
n
X
4k 3 = n2 (n + 1)2 .
k=1
Hinweis: Beweisen Sie jeweils den Induktionsanfang und den Induktionsschritt.
bitte wenden
Aufgabe 3)
(Binomialkoeffizient) (4 Punkte)
Zur Bearbeitung dieser Aufgabe dürfen Sie, zusätzlich zur Vorlesung, die Ihnen aus der Schule
bekannten Rechenregeln für die reellen Zahlen verwenden.
Man definiert die Zahl n! für n ∈
N rekursiv: 1!
:= 1 und (n + 1)!
:= (n + 1)n! . Den
n
n!
Binomialkoeffizienten kann man somit, für n ≥ k ≥ 0 schreiben als
:=
. Für
k
k!(n − k)!
n
k > n setzt man
:= 0.
k
N
(a) Definieren Sie 0!, so dass die Formel n! = n · (n − 1)! für n ∈ gilt.
n
n
n−1
n−1
n
(b) Zeigen Sie, dass
=
und dass
+
=
für n ≥ k ≥ 0
k
n−k
k−1
k
k
gilt.
n
(c) Zeigen Sie, dass
∈ für n ≥ k ≥ 0 gilt.
k
N
(d) Nehmen Sie, ohne Beweis, an dass die folgende Formel gilt:
n X
n k n−k
a b
,
(a + b) =
k
n
k=0
R
N
wobei a, b ∈
und n ∈ . Stellen sie einen Bezug zum Pascal’schen Dreieck her. Und
erläutern Sie, wie dieses rekursiv definiert werden kann.
Aufgabe 4)
(Vollständige Induktion 2) (4 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche falsch? Begründen Sie Ihre Antworten!
(a) Sn0 :=
n
X
(2k − 1) = n2 + 2.
k=1
(b)
Sn00
:=
n
X
(2k − 1) = n2 − 1.
k=0
(c) Sn000 :=
n
X
(2k − 1) = n2 .
k=1
Abgabe am Mittwoch, den 21.04.2010, um 15 Uhr