Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und ¨Okonometrie

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Universität des Saarlandes
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
Prof. Dr. Volker Steinmetz
Dipl. Kfm. Dipl. Math. Stefan Klößner
IV
A VIE N
3. Übungsblatt zur Vorlesung Schließende Statistik WS 2003/2004
Aufgabe 11
Die Menge der Trägerpunkte einer diskreten ZV X sei
T := {z ∈ Z : z positiv und ungerade oder z negativ und gerade},
die Punktmasse zu t ∈ T sei
6
π 2 t2
.
(a) Zeigen Sie: X ist eine diskrete ZV mit den Trägerpunkten xn := (−1)n−1 n und Punktmas6
sen pn := 2 2 (n ∈ N).
π n
(b) Zeigen Sie:
∞
P
n=1
xn p n =
Hinweis: es gilt
∞
P
6 ln 2
.
π2
(−1)n−1 n1 = ln 2.
n=1
(c) Begründen Sie, daß die Abbildung


 2m + 1 : n = 3m + 1 mit m ∈ N
φ : N → N, N 3 n 7→
4m + 2 : n = 3m + 2 mit m ∈ N


4m : n = 3m mit m ∈ N
eine Umordnung, d.h. bijektiv, ist.
(d) Begründen Sie, daß X eine diskrete ZV mit den Trägerpunkten x̃n := xφ(n) und Punktmassen p̃n := pφ(n) (n ∈ N) ist.
(e) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, daß für alle N ∈ N
3N
X
2N
1X
x̃n p̃n =
xn pn
2 n=1
n=1
gilt, und folgern Sie hieraus, daß
∞
X
∞
1X
3 ln 2
.
x̃n p̃n =
xn pn =
2 n=1
π2
n=1
(f) Gilt EX =
6 ln 2
3 ln 2
oder EX =
?
2
π
π2
Aufgabe 12
Übungsleiter S.K. kommt mit drei fairen Würfeln, bei denen allerdings die Beschriftung gemäß
nachfolgender Tabelle geändert ist, zu Ihnen, versichert Ihnen, daß man im Durchschnitt mit
allen drei Würfeln gleich große Zahlen wirft, und bietet Ihnen folgendes Spiel an: Sie suchen sich
einen Würfel aus, danach sucht sich S.K. einen (anderen) Würfel aus, jeder wirft einmal den
Würfel und es gewinnt derjenige vom anderen einen Euro, der die höhere Zahl geworfen hat.
Würfel 1 : 18, 10, 9, 8, 7, 5
Würfel 2 : 17, 16, 15, 4, 3, 2
Würfel 3 : 14, 13, 12, 11, 6, 1
(a) Überprüfen Sie die Behauptung, daß man im Durchschnitt mit allen drei Würfeln gleich
große Zahlen wirft.
(b) Würden Sie das Spielangebot von S.K. annehmen ?
Aufgabe 13
A number is chosen at random from {3, 4} with equal probabilities. Then a second number is
chosen at random from {1, 2, . . . , x − 1} with equal probabilities, where x is the first number
chosen. If X denotes the first number and Y the second find the joint distribution of X and Y .
Use the joint distribution to find the marginal distribution of Y .
Aufgabe 14
For the Cauchy distribution with the density
f (x; θ) =
1
1
·
πθ 1 + ( xθ )2
x ∈ R, θ > 0
show that E(X) and Var(X) do not exist.
Aufgabe 15
Let X1 , X2 be iid rv’s with common pmf
1
(i = 1, 2).
2
Write X3 = X1 X2 . Show that X1 , X2 , X3 are pairwise independent but not independent.
(vgl. V.K. Rohatgi: An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics, New
York et al. 1976, p.125)
P {Xi = 1} = P {Xi = −1} =
Aufgabe 16
Es sei Z eine gleichverteilte Zufallsvariable über dem Intervall [0; 6]. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die quadratische Gleichung x2 + Zx + Z = 0 reelle Lösungen besitzt.
Aufgabe 17
Vor einigen Jahren waren in Deutschland von den Männern, die keiner besonderen Risikogruppe
angehörten, ungefähr 0,01% HIV-infiziert. Lag eine Infektion vor, konnte dies durch einen geeigneten Test mit 99,9-prozentiger Sicherheit entdeckt werden. Bei einem nichtinfizierten Mann
betrug die Wahrscheinlichkeit, daß dies der Test richtig erkannte, sogar 99,99%. Wie beurteilen Sie die Aussagen einer Ärztin: . . . ein positiv getesteter Mann aus der o.g. Gruppe ist mit
”
99,98-prozentiger Wahrscheinlichkeit tatsächlich infiziert . . .“, . . . wenn Sie ein positives Ergeb”
nis erhalten, können Sie ihm vertrauen . . .“? (nach G. Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis,
2002, Berlin Verlag, S.175 ff)
Begründen Sie Ihre Beurteilung mit Hilfe eines geeigneten mathematischen Modells.