5.4 Eistüten und andere Kegel

5.4
Aktiv
Kurs
Thema
Kompakt
Test
Aktiv
Eistüten und andere Kegel
Mantelfläche
Höhe h
Kurs
Thema
Kompakt
Test
Oberfläche des Kegels
Spitze
Seitenlinie s
u
2
Eine Eistüte soll mit Papier verpackt werden. Dazu benötigt man die Oberfläche
des Kegels. Das Netz des Kegels setzt sich
aus einem Kreis (Grundfläche) und einem
Kreisausschnitt (Mantelfläche) zusammen.
Erkläre mithilfe der Abbildung rechts die
Formel für die Mantelfläche M = _u2 · s.
Setze nun in die Formel der Mantelfläche
die Formel für den Kreisumfang ein.
Welche Formel erhältst du jetzt?
s
s
u
2
s
s
s
Grundfläche
Man erkennt es nicht auf den ersten Blick
– aber Kegel und Kreis haben viel miteinander zu tun.
125°
r
235°
[g s] Jedes Gruppenmitglied
bekommt einen Buchstaben A, B, C, D
zugeordnet.
Jedes Mitglied zeichnet einen Kreis auf
ein DIN-A4-Blatt, markiert den Mittelpunkt
und zeichnet eine Gerade vom Mittelpunkt
M bis zum Kreis. An der Geraden wird in
M der Winkel abgetragen. Es entsteht ein
Kreisausschnitt.
Person A mit r = 10 cm und a = 50°;
Person B mit r = 10 cm und a = 150°;
Person C mit r = 10 cm und a = 90°;
Person D mit r = 5 cm und a = 90°.
Seitenlinie
114
– Schneidet den Kreisausschnitt aus.
– Notiert Winkel und Radius auf dem
großen und kleinen Ausschnitt.
– Klebt die Ausschnitte mit Klebestreifen
zu zwei Kegeln zusammen.
Hinweis: Die Verbindung von der Kegelspitze bis zur Außenkante der Kreisfläche
wird Seitenlinie genannt.
– Besprecht, worin sich eure Ergebnisse
unterscheiden.
4
Sieh dir das Kegelnetz und den abgebildeten Kegel genau an.
a) Ordne die Zahlen richtig zu und schreibe
sie ins Heft.
r = º cm; s = º cm; h = º cm;
s=?
u
s
h
s
O = G + M = p · r2 + p · r · s
G
720350_K6_130_3
Beispiele
s
r
α
Umfan
G
gu
720350_K6_130_1a
a) Berechne die Oberfläche des Kegels mit
r = 2 cm und s = 5 cm.
Grundkreisfläche G = p · 22 ≈ 12,57 cm2
Mantelfläche
M = p · 2 · 52 ≈ 31,42 cm2
Kegeloberfläche O = G + M ≈ 44 cm2
b) Berechne die Oberfläche eines Kegels
mit h = 10 cm und r = 5 cm.
Berechne erst die Länge der Seitenlinie s:
s2 = h2 + r2 ergibt s ≈ 8,7 cm.
G = p · 52 ≈ 78,5 cm2
M ≈ p · 5 · 8,7 ≈ 136,7 cm2
O = G + M ≈ 78,5 + 136,7 ≈ 215,2 cm2
1
3
a)
b)
c)
d)
Berechne die Kegeloberfläche mit
den angegebenen Maßen.
r = 14 cm, s = 30 cm
s = 3,5 cm, r = 2,7 cm
r = 62 mm, s = 14 cm
d = 5,4 cm, s = 3,5 cm
Das Glasdach eines Berliner Kaufhauses hat die Form eines Kegels. Es
sorgt für Licht in vier Etagen. Mit einem
Durchmesser von 18 m und einer Seitenlinie
von 34,2 m ist der Glaskegel eine Attraktion. Berechne die Größe der Glasfläche.
a = ?°
8,1 cm
6,2 cm
r=?
5,2 cm
b) Zeichne ein Netz von folgenden Kegeln.
1) r = 3 cm; s = 6,7 cm; a = 161°
2) r = 1 cm; s = 5,1 cm; a = 71°
2
a)
Berechne die Oberfläche.
b)
13 c
4 cm
10,4 cm
m
cm
2
3
Untersucht, wie sich eure Kegel aus
Aufgabe 2 unterscheiden.
a) Was stellt ihr fest, wenn für verschiedene Kegel gilt:
– Die Seitenlinien sind gleich, der Winkel a
unterschiedlich.
– Der Winkel a ist gleich, die Seitenlinien
sind unterschiedlich.
b) Vervollständigt die Sätze:
– Je größer der Winkel a, desto …
– Je größer die Höhe h, desto …
– Je kleiner die Seitenlänge s, desto …
Die Oberfläche O eines Kegels besteht aus
– der Grundfläche G = p · r2 und
– der Mantelfläche M = p · r · s.
10
1
[g s] Löst das Papier von einer
Eiswaffel vorsichtig ab. Beschreibt
die Form der Verpackung. Zeichnet sie
dann ab.
Radius r
> Formelsammlung, Seite 177
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