6.¨Ubungsblatt zur ” Vorlesung Funktionalanalysis“

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Helge Glöckner
Alexander Schmeding
WS 10/11
17.11.2010
6. Übungsblatt zur
Vorlesung Funktionalanalysis“
”
Gruppenübung
Aufgabe G15 (Gerichtete Mengen und Netze)
(a) Welche der folgenden Mengen sind gerichtet?
i) Sei X ein topologischer Raum, wir betrachten für ein x ∈ X die Menge aller
Umgebungen U(x) von x mit der partiellen Ordnung “≤”, definiert durch
U ≤ V ⇔ V ⊆ U . Betrachten
Sie (U(x), ≤).
ii) A := {1, 2} , {1} , {3} mit der üblichen Inklusion ⊆ von Mengen.
iii) Sei X eine Menge und wir bezeichnen mit S die Menge der endlichen Teilmengen von X. Betrachten Sie (S, ⊆), wobei die Relation durch die Inklusion von
Mengen gegeben ist.
(b) Sind (A, ≤A ) und (B, ≤B ) gerichtete Mengen, so definieren wir eine Relation ≤ auf
A × B via (α1 , β1 ) ≤ (α2 , β2 ) ⇔ α1 ≤A α2 und β1 ≤B β2 .Prüfen Sie nach, dass
dann (A × B, ≤) eine gerichtete Menge ist.
Aufgabe G16 (Netze und Cauchy Netze)
(a) Nehmen Sie an, dass gerichtete Mengen wie in Aufgabe G15 (b) gegeben seien. Seien
X ein topologischer Raum und (xα )α∈A ein Netz in X, dass gegen einen Punkt
x ∈ X konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch (xα )(α,β)∈A×B gegen x konvergiert.
(b) Ist ein topologischer Raum X nicht Hausdorffsch, so gibt es zwei Punkte x 6= y in
X derart, dass U ∩ V 6= ∅ für jede Umgebung U von x und jede Umgebung V von y.
Finden Sie ein Netz (xα )α∈A in X, das sowohl gegen x als auch gegen y konvergiert.
Hinweis: α = (U, V ) wie oben.
(c) Seien E ein topologischer Vektorraum und F ⊆ E ein Untervektorraum mit der
von E induzierten Topologie. Betrachten Sie ein Netz (xα )α∈A mit Elementen xα ∈
F, ∀α ∈ A. Zeigen Sie, dass wenn (xα )α∈A ein Cauchy Netz in E ist, (xα )α∈A
ebenfalls ein Cauchy Netz in F ist.
Hausübung
Aufgabe H11 (Scheibenförmige Mengen in K)
Es sei O die übliche Topologie auf K und T irgendeine Topologie, die K zu einem
(hausdorffschen) topologischen Vektorraum über (K, O) macht. Man zeige, dass jede
scheibenförmigeoffene 0-Umgebungen
U in (K, T ) entweder K selbst oder eine offene
Kugel Br (0) := x ∈ K|x| < r vom Radius r > 0 ist.
Hinweis: Da (K, T ) ein topologischer Vektorraum ist, kann die Topologie auf K nicht
die diskrete Topologie sein und insbesondere ist {0} nicht offen. (Warum?)
Aufgabe H12 (Netze, Folgen und der Abschluss)
Betrachten Sie R mit der (unüblichen) Topologie1
O := X ⊆ RR \ X ist abzählbar ∪ ∅ .
Sei nun D ( R eine überabzählbare Teilmenge (z.B. D = R \ Q). Zeigen Sie, dass D = R
ist und für jede bezüglich der Topologie O konvergente Folge (xn )N mit xn ∈ D, ∀n ∈ N
und Grenzwert lim xn = x, bereits x ∈ D gelten muss. Folgern Sie, dass in allgemeinen
topologischen Räumen der Abschluss nicht durch Folgen charakterisiert werden kann.
Aufgabe H13 (Netze und der Raum RI )
Q
Betrachten Sie RI := i∈I R mit der Topologie der punktweisen Konvergenz. Sei I eine
überabzählbare Menge.
1. Betrachten Sie die Elemente fi := (δij )j∈I ∈ RI , i ∈ I, wobei δij das Kronecker
Delta
(
1 i=j
δij :=
0 i 6= j
P
P
bezeichne. Zeigen Sie, dass i∈I fi summierbar ist und i∈I fi = 1 gilt, wobei
1 ∈ RI den Vektor bezeichne, der als Einträge nur 1 ∈ R hat.
Sei nun M die Menge aller (xi )i∈I ∈ RI derart, dass die Menge {i ∈ I|xi 6= 0} abzählbar
ist. Zeigen Sie:
2. M liegt dicht in RI , d.h. für jedes x ∈ RI und jede Umgebung Ux von x gilt
Ux ∩ M 6= ∅.
3. für jede Folge (fn )n∈N in M , die in RI konvergiert, liegt der Grenzewert in M .
4. Finden Sie außerdem ein Netz (fα )α∈A von Elementen aus M , welches in RI konvergiert, dessen Grenzwert jedoch nicht in M liegt
Da M 6= RI , ist also M ein Beispiel einer folgenabgeschlossenen, nicht abgeschlossenen
Teilmenge eines Hausdorffraums.
1
O ist eine Topologie, die koabzählbare Topologie auf R, dies zeigt man ähnlich wie in G1 c). Was sind
die abgeschlossenen Mengen dieser Topologie? Vgl. H2.