Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dipl.-Math. S. Müller
Dipl.-Math. T. Pfrommer
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 9
Wahrscheinlichkeitstheorie
10./11. Januar 2011
Abgabe der schriftlichen Aufgaben: Mittwoch, den 22. Dezember 2010 bis 20:00 Uhr
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Aufgabe 43. (Votieraufgabe) Die erzeugenden Funktion einer Zufallsvariablen X, deren Verteilung auf N0 konzentriert ist, sei gegeben durch
g(s) =
3
,
4 − s2
s ∈ [0, 1].
Berechnen Sie mittels der erzeugenden Funktion P (X ∈ {1, 2, 3}), E(X) und V ar(X).
Aufgabe 44. (Votieraufgabe)
a) Let X be a real-valued random variable with uniform distribution on [a, b] (a, b ∈ R, a < b).
Calculate the characteristic function ϕX of X.
b) Let ϕX (t) := sin(t)
(Sinc-function) be the characteristic function of a random variable X.
t
What is the distribution of X?
Aufgabe 45. (schriftlich)
a) Es seien N, X0 , X1 , . . . unabhängige reelle Zufallsvariablen. N sei geometrisch verteilt mit
Parameter p ∈ (0, 1], und jedes Xi (i ∈ N0 ) sei exponentialverteilt mit Parameter λ ∈ (0, ∞).
Man zeige mit Hilfe charakteristischer Funktionen, daß die reelle Zufallsvariable
SN :=
N
X
Xi
i=0
(Summe von Zufallsvariablen mit einer vom Zufall abhängigen Anzahl von Summanden)
exponentialverteilt ist mit Parameter λp.
Hinweise:
• Die geometrisch verteilte Zufallsvariable N hat die Zähldichte pn := P(N = n) =
p(1 − p)n (n ∈ N0 ), also die Wahrscheinlichkeit nach n Fehlversuchen einen Erfolg zu
haben.
∞
P
• exp (itSN ) =
1[N =k] exp (itSk )
k=0
b) Vergleichen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen SN aus a) mit einer exponentialverteilten
Zufallsvariablen Z mit dem Parameter λp. Führen Sie den Vergleich der beiden Zufallsvariablen graphisch in R unter Verwendung des Befehls hist() durch, indem Sie eine Funktion
schreiben, die als Eingabeparameter n (Anzahl der Simulationen der Zufallsvariablen SN
und Z), λ und p (Parameter der Verteilungen) enthält.
1
Aufgabe 46. (Votieraufgabe) Für die charakteristische
Funktion ϕ einer reellen ZufallsvariaR
blen X mit Verteilungsfunktion F gelte R |ϕ(t)| dt < ∞. Zeigen Sie, daß X eine stetige und
beschränkte Dichte f besitzt, für die für alle x ∈ R gilt:
Z
1
f (x) =
e−itx ϕ(t) dt.
2π R
Hinweis: Satz II.4.5 aus der Vorlesung.
Aufgabe 47. (Votieraufgabe)
a) Ein Stab der Länge 1 wird rein zufällig in zwei Stücke zerbrochen. Dann wird das längere der beiden Stücke (bzw. ein beliebiges der beiden Stücke, falls beide gleich lang sind)
rein zufällig zerbrochen. Präzisieren Sie in dieser Aufgabe zufällig und berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit, daß jedes der beiden letzten Stücke länger als das Erste ist?
b) Ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit mittels Simulation approximativ in R und vergleichen
Sie das Ergebnis mit a).
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