3.¨Ubungsblatt zur Mathematischen Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. J. Beran
WS 2008/09
3. Übungsblatt zur Mathematischen Statistik
Abgabe: Donnerstag, 13.11.2008 bis 16:00 Uhr (Briefkasten Nummer 19 oder Büro F406)
Für alle n ∈ N sei gn (X) eine Statistik für θ ∈ Θ, so dass
Aufgabe 1 (2 Punkte):
lim Eθ (gn (X)) = θ und lim Varθ (gn (X)) = 0.
n
n
Zeigen Sie, dass (gn )n∈N für θ schwach (also in Wahrscheinlichkeit) konsistent ist.
Aufgabe 2 (2 Punkte): Sei P = {Pθ |θ ∈ Θ} ein Familie von W-Maßen und µ ein σ-finites
θ
Maß, so dass Pθ << µ und fθ = dP
dµ > 0 für alle θ ∈ Θ. Zeigen Sie: eine Statistik T (X) ist
genau dann suffizient, wenn für alle θ1 , θ2 ∈ θ die Abbildung
q : Rn −→ R : x 7−→
fθ1 (x)
fθ2 (x)
eine Funktion von T (x) ist.
Aufgabe 3 (2+1+1 Punkte) Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch Poisson-verteilt mit
Parameter λ > 0.
P
(a) Zeigen Sie direkt (d. h. mithilfe der Definition), dass ni=1 Xi suffizient für λ ist.
(b) Zeigen Sie dasselbe unter Verwendung des Faktorisierungstheorems.
(c) Sei n = 2, dann ist X1 + X2 suffizient für λ. Gilt dasselbe für X1 + 2X2 ?
Aufgabe 4 (2 Punkte) Es sei X1 , . . . , Xn eine unabhängige Stichprobe aus einer Verteilung
mit der Beta-Dichtefunktion
p(x, θ) = θxθ−1 , 0 < x < 1, θ > 0.
Bestimmen Sie eine reellwertige suffiziente Statistik für θ.
Aufgabe 5 (1+1+2 Punkte): Entscheiden (und begründen) Sie, ob in den folgenden Fällen
die Familie P von µ dominiert wird.
(a) P = {B(n, p)|p ∈ (0, 1), n ∈ N} und µ = Pλ . Dabei bezeichne Pλ die Poissonverteilung
mit Parameter λ und B(n, p) die Binomialverteilung mit Parameter n und p.
(b) P = {expλ |λ ∈ R∗+ } und µ = N (0, 1). Dabei bezeichne expλ die Exponentialverteilung
mit Parameter λ und N (0, 1) die Standard-Normalverteilung.
(c) Gilt expλ << Pλ und/oder Pλ << expλ ?
Aufgabe 6 (Bonusaufgabe, 2+1 Punkte):
(a) Sei (X, Y ) ein gemeinsam normalverteilter (nicht-ausgearteter) Zufallsvektor mit Erwartungswert
E(X, Y ) = (µ1 , µ2 )
und Kovarianzmatrix
Cov(X, Y ) =
σ12 σ12
σ12 σ22
.
Berechnen Sie die bedingte Dichte fX|Y =y (x) und die bedingte Erwartung E(X|Y = y).
(b) Seien X und Y unabhängige binomialverteilte Zufallsvariablen mit den Parametern (n1 , p)
und (n2 , p). Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit
P (X = k|X + Y = n).