Chinesischer Restsatz

Chinesischer Restsatz
Der Chinesische Restsatz besagt, dass Kongruenzen mit paarweise teilerfremden Moduln simultan lösbar sind. Der Beweis beinhaltet einen Algorithmus
zur Bestimmung der Lösung.
Chinesischer Restsatz
Seien m1 , . . . , mn paarweise teilerfremde natürliche Zahlen und seien a1 , . . . , an
ganze Zahlen.
n
Q
Dann gibt es genau eine ganze Zahl x mit 0 ≤ x ≤
mi mit x ≡ aj mod mj
i=1
für alle j = 1, . . . , n.
Beweis: n
Q
Setze m =
mi und Mj = m/mj für j = 1, . . . , n.
i=1
Dann ist ggT(mj , Mj ) = 1 für j = 1, . . . , n.
Mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus kann man daher natürliche
Zahlen yj bestimmen, so dass yj Mj ≡ 1 mod mj für alle j = 1, . . . , n. Dann
folgt auch aj yj Mj ≡ aj mod mj für j = 1, . . . , n. Da für i 6= j die Zahl mj ein
Teiler von Mi ist, gilt auch ai yi Mi ≡ 0 mod mj für alle i, j = 1, . . . , n, i 6= j.
n
P
Setzt man x =
ai yi Mi mod m, so folgt daher x ≡ aj mod mj für alle
i=1
j = 1, . . . , n.
Sind x, x0 zwei Lösungen mit 0 ≤ x, x0 ≤ m, so ist x ≡ aj ≡ x0 mod mj
für alle j = 1, . . . , n. Da die mj paarweise teilerfremd sind, folgt dann auch
x ≡ x0 mod m, also x = x0 .