Proseminar zur Vorlesung Physik 1 (Mechanik und Wärme) WS

Proseminar zur Vorlesung Physik 1 (Mechanik und Wärme)
WS 2005/06
Alexander Altmeyer, Karl Pilch, Klaus Winkler, Daniel Rotter, Thomas
Monz
7. Übungsblatt, 05.12.2005
Präsenzübungen:
1. Kugel auf schiefer Ebene. Auf einer schiefen Ebene werde eine Kugel (Masse m,
Radius r) in der Anfangshöhe h2 losgelassen, um dann herunter zu rollen.
a) Welche Energie steckt in der Translationsbewegung, wenn die Kugel in der Höhe
h1 angekommen ist ? Welche Geschwindigkeit v hat dann die Kugel ?
b) Welche kinetische Energie steckt in der Rotationsbewegung, wenn die Kugel in
der Höhe h1 angekommen ist ? Welche Winkelgeschwindigkeit ω hat dann die Kugel ?
c) Berechnen Sie v und ω für h2 − h1 = 2 m und r = 5 cm.
2. Hantel und Trägheitsmomente. Betrachten Sie ein System aus zwei punktförmigen Massen m an den Orten r1 = (2, 1, 0) r0 und r2 = −(2, 1, 0) r0 , die starr
miteinander verbunden sind. Diese Hantel rotiere mit einer Winkelgeschwindigkeit
ω
~ = (ωx , ωy , ωz ) um eine Achse durch den Massenmittelpunkt.
a) Geben Sie die Geschwindigkeiten vi beider Massen an.
b) Geben Sie die Drehimpulse Li beider Massen an.
c) Der Drehimpuls des Gesamtsystems kann in der Form L = a1 ωx + a2 ωy + a3 ωz
dargestellt werden. Geben Sie die entsprechenden Vektoren ai für die Hantel an.
d) Stellen Sie nun den Trägheitstensor des Systems in Matrixform dar.
3. Zwei rotierende Scheiben. Eine kreisrunde Scheibe (Radius r1 , Masse m1 ) sei
starr mit einer reibungsfrei gelagerten (masselosen) Achse verbunden und rotiere frei
mit der Winkelgeschwindigkeit ω1 . Eine zweite Scheibe (Radius r2 , Masse m2 ), die
sich anfänglich in Ruhe befindet, werde nun so fallen gelassen, dass sie auf der erste
Scheibe konzentrisch liegen bleibt. Durch die auftretende Reibung rotieren beiden
Scheiben bald gemeinsam.
a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω, die sich für die beiden gemeinsam
rotierenden Scheiben ergibt ?
b) Welche Analogie besteht zum inelastischen Stoß ?
Hausübungen: (Abgabe bis Mo. 12.12.2005, 12:00 h)
1. Gekoppelte Pendel. Zwei gleiche Fadenpendel (Massen der Pendelkörper m = 2 kg,
Länge l = 1 m) werden durch eine Feder gekoppelt, welche die Pendel entlang ihrer
Schwingungsrichtung verbindet. Für kleine Auslenkung werde eine Frequenz ω2 der
gegenphasigen Schwingung gemessen, die um 5 % höher liegt als die Frequenz ω1
der gleichphasigen Schwingung.
a) Geben Sie ω1 und ω2 an.
b) Welche Federkonstante κ hat die Feder ?
2. Stangenpendel. Eine Stange der Länge l und Masse m (der Durchmesser sei vernachlässigbar klein) werde an einem Ende an einer drehbaren Achse befestigt und
zu Pendelschwingungen angestoßen.
a) Welches Trägheitsmoment I0 hat die Stange bzgl. einer Rotation um ihren Schwerpunkt ?
b) Welches Trägheitsmoment I hat die Stange bzgl. einer Rotation um das Stangenende ?
c) Welche Kreisfrequenz ω und Schwingungsperiode T hat das Stangenpendel für
kleine Auslenkungen aus der Ruhelage ?
d) Geben Sie die Schwingungsperiode T für l = 1 m an.
3. Gekoppelte Schwingungen. Betrachten Sie ein schwingendes System aus zwei
gleichen Massen m und drei Federn (siehe Zeichnung). Die innere Feder habe die
Federkonstante κ0 und verbinde die beiden Massen miteinander. Die äusseren Federn
seien gleich (Federkonstante κ) und verbinden die Massen mit festen Wänden. Die
Schwingungen der beiden Massen werden durch ihre Auslenkungen x1 (t) und x2 (t)
aus der Gleichgewichtslage beschrieben.
a) Die beiden Federn werden zum Zeitpunkt t = 0 gleich in positiver x-Richtung
ausgelenkt (x1 (0) = x2 (0) = a0 ) und dann losgelassen. Geben Sie x1 (t) und x2 (t)
an.
b) In einem zweiten Versuch werden die beiden Federn zum Zeitpunkt t = 0 entgegengesetzt mit gleichem Betrag ausgelenkt (x1 (0) = −x2 (0) = a1 ) und dann
losgelassen. Geben Sie x1 (t) und x2 (t) an.
c) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Schwingung in b) eine um 10%
höhere Frequenz bzw. eine doppelt so hohe Frequenz hat wie die Schwingung in a) ?
d) In einem weiteren Versuch wird nur die erste Masse ausgelenkt (x1 (0) = a2 ,
x2 = 0). Geben Sie x1 (t) und x2 (t) an.
e) Mit welcher Frequenz Ω pendelt bei Anregung wie in d) die Schwingungsenergie
zwischen den beiden Massen hin und her, wenn κ0 viel kleiner ist als κ ?