Die Winkel eines Dreiecks
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Dreiecke – Vierecke – Vielecke „Geometrie“ ist ein griechisches Wort, das ursprünglich aus der Landvermessung kommt. Praktische Geometriekenntnisse benötigten zuerst die Hochkulturen des Altertums in Mesopotamien und Ägypten, also an den großen Flüssen. Neben der Landvermessung und der Flussregulierung waren auch bei der Schiff-Fahrt, Architektur und Bildhauerei praktische geometrische Kenntnisse nötig. Die griechischen Mathematiker des Altertums machten die Geometrie zur Wissenschaft. Die Geometrie beschäftigt sich mit den Eigenschaften der Figuren im unendlichen Raum. Bei der Untersuchung von Gegenständen und räumlichen Figuren sieht man von bestimmten physikalischen Eigenschaften wie Farbe, Masse, Stoff, Aggregatzustand, Temperatur usw. ab. Dadurch kommen wir zum Begriff eines geometrischen Körpers. 1) Punkte, Geraden, Ebenen und ihre Lage zueinander Der Punkt, die Gerade und die Koinzidenz sind Grundbegriffe; diese werden nicht definiert. Auf der Abb.1 liegt - die Gerade e in der Ebene S, der Punkt P auf der Geraden e, der Punkt Q in der Ebene S, aber nicht auf der Geraden e und der Punkt R nicht in der Ebene S. Diese Feststellungen kann man auch kurz ausdrücken: e S; - - P e (P S); Q S; Q e; R S. Zwei Geraden sind sich schneidende Geraden, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. (Abb. 2) Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie in der gleichen Ebene liegen und keinen gemeinsamen Punkt haben. (Abb. 3) Zwei Geraden nennt man windschief, wenn sie nicht in der gleichen Ebene liegen. (Abb. 4) Z.B. sind die Kantengeraden AD und EF des Würfels auf Abb.5 windschiefe Geraden. Zwei Ebenen schneiden sich, wenn sie genau eine gemeinsame Gerade haben (Abb. 6) Zwei Ebenen sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und dabei mit sich selbst parallele Ebenen bilden. Eine Gerade liegt in einer Ebene, wenn alle Punkte der Geraden gleichzeitig Punkte der Ebene sind. Eine Gerade schneidet eine Ebene, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt mit der Ebene hat. Eine Gerade und eine Ebene sind parallel zu einander, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben (Abb. 7) Die Erfahrungen des Alltags verdeutlichen folgende Axiome (Fundamentalsätze): 1) Durch zwei verschiedene Punkte kann man nur eine Gerade legen. 2) Wenn drei verschiedene Punkte nicht auf einer Geraden liegen, können wir genau eine Ebene über sie legen. 3) Wenn zwei verschiedene Punkte einer Geraden in einer Ebene liegen, befinden sich alle Punkte dieser Geraden in dieser Ebene. 4) Über eine Gerade und einen Punkt, der sich nicht auf dieser Geraden befindet, kann man genau eine Ebene legen. 5) Durch einen gegebenen Punkt kann man genau eine Gerade legen, die zu einer gegebenen Geraden parallel ist. 2) Einige geometrische Grundbegriffe zur Erinnerung - Durch einen Punkt, der auf der Geraden liegt, lässt sich die Gerade in zwei Strahlen zerlegen (Abb. 8). Zwei auf einer Geraden liegende Punkte bestimmen eine Strecke (Abb.9). Eine Ebene wird durch eine Gerade in zwei Halbebenen zerlegt (Abb.10). Der Raum wird durch eine Ebene in zwei Halbräume zerlegt (Abb. 11). Wenn von einem Punkt zwei Strahlen ausgehen, wird die Ebene in zwei Teile zerlegt. Jeder dieser Teile wird Winkelbereich (kurz: Winkel) genannt (Abb. 12). Wenn man einen Strahl um seinen Anfangspunkt dreht, bilden der ursprüngliche Strahl und der Strahl nach der Drehung einen Winkel (Drehwinkel) (Abb. 13). Diesen Drehwinkel nennt man positiv, wenn man ihn gegen den Uhrzeigersinn gedreht hat, und negativ, wenn man ihn im Uhrzeigersinn gedreht hat (Abb. 14) Wichtige Winkelpaare - - - Wenn zwei Winkel einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben und ihre Schenkel paarweise Geraden bilden, nennt man sie Scheitelwinkel (Abb.16). Scheitelwinkel sind gleich groß. Wenn zwei Winkel je einen gemeinsamen Schenkel haben und die anderen zwei eine Gerade bilden, nennt man sie Nebenwinkel. Die Summe der Nebenwinkel beträgt 180°. Wenn die Summe zweier Winkel 180° beträgt, nennt man sie Supplementwinkel. Wenn die Summe zweier Winkel 90° beträgt, nennt man sie Komplementwinkel. Wenn die Scheitel zweier konvexer oder konkaver Winkel paarweise die gleiche Richtung haben, nennt man sie Stufenwinkel. Wenn die Scheitel paarweise entgegengesetzt gerichtet sind, nennt man sie Wechselwinkel (Abb. 18: und β sind Stufenwinkel. – β und γ sind Wechselwinkel). Stufenwinkel und Wechselwinkel sind gleich groß. Wenn die Scheitel zweier Winkel paarweise aufeinander senkrecht stehen, nennt man sie Normalwinkel. Wenn beide Normalwinkel spitze Winkel sind oder beide stumpfe Winkel, sind sie gleich groß; wenn einer von ihnen spitz und der andere stumpf ist, sind sie Supplementwinkel (Abb. 19). Abstand - Der Abstand zweier Punkte ist die Länge ihrer Verbindungsstrecke (Abb. 20) Mögliche Bezeichnungen: AB, d(A;B); dAB Bemerkung: Mit AB kann man die Strecke selbst oder auch ihre Länge bezeichnen. Aus dem Textzusammenhang muss eindeutig hervorgehen, in welchem Sinne die Bezeichnung AB verwendet werden soll. - - Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden e: Vom Punkt P fällen wir ein Lot auf die Gerade e. Dieses Lot hat den Fußpunkt T. Die Länge der Strecke PT ist gleich dem Abstand zwischen P und e (Abb. 21). (Im Vergleich zum Abstand aller anderen Punkte auf der Geraden e zum Punkt P ist der Abstand PT am kürzesten.) Wenn P e, dann d(P;e) = 0 Der Abstand zwischen den parallelen Geraden e und f ist der Abstand zwischen einem beliebigen Punkt der Geraden e (z.B. P) und der Geraden f (Abb.22). Der Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden ist 0. Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene S: Wenn wir ein Lot vom Punkt P auf die Ebene S fällen, erhalten wir einen Fußpunkt T; die Länge der Strecke PT ist gleich dem Abstand zwischen P und S. Wenn P S, dann d(P;S) = 0. Damit die Definition sinnvoll sei, müssen wir festlegen, wann eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht. Definition: Eine Gerade steht auf einer Ebene senkrecht, wenn sie auf jeder Geraden der Ebene senkrecht steht. Weil viele Geraden der Ebene mit den zu betrachtenden Geraden schiefe Geradenpaare bilden, müssen wir definieren, wann zwei schiefe Geraden aufeinander senkrecht stehen. Definition: Zwei schiefe Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn man eine Gerade auswählt und durch einen beliebigen Punkt dieser Geraden eine zu den anderen Geraden parallel liegende Gerade und die ausgewählte Gerade aufeinander senkrecht stehen. Man kann Folgendes beweisen: Lehrsatz: Gegeben seien eine Ebene und eine Gerade, die sie schneidet. Wenn wir durch diesen Schnittpunkt zwei verschiedene Geraden legen und die erste Gerade auf beiden senkrecht steht, steht die Gerade senkrecht auf der Ebene. Der Abstand zweier paralleler Ebenen ergibt sich aus dem Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zu der anderen Ebene. Der Abstand zwischen zwei Ebenen ist 0, wenn sie sich schneiden. Bemerkung: Auf der Grundlage der oben genannten Beispiele kann man feststellen: Der Abstand zwischen zwei Punktmengen ist immer der Abstand zwischen den Punkten der beiden Punktmengen, die den geringsten Abstand zueinander haben. Das ist eine normale Methode der Abstandsdefinition, außer den Fällen, wo kein kleinster Abstand in diesem Sinne existiert. Später werden wir auch solche Beispiele sehen und auf die Definition des Abstands zurückkommen. Aufgaben: 1. Gegeben sei eine Gerade und auf ihr von links nach rechts in dieser Reihenfolge die Punkte A, B, C, D, E. Bezeichne auf der Geraden die folgenden Punktmengen! (Unter der Strecke versteht man jeweils eine geschlossene Strecke, d. h. die zwei Eckpunkte der Strecke gehören zu ihr.) a) AB BC b) BC AD c) AC BE d) (AC BD) CE 2. In wie viele Teile wird die Gerade durch a) 3; b) 5; c) 10; d) n verschiedene Punkte geteilt. Wie viele Strecken und wie viele Strahlen entstehen in den einzelnen Fällen? 3. Wie viele Punkte müssen auf der Geraden angegeben werden, wenn durch diese Punkte a) 5; b) 9; c) 20; d) n Strecken entstehen, bei denen höchstens die Endpunkte gemeinsam sind? 4. Wie viele Punkte sind auf der Geraden angegeben, wenn diese Punkte a) 1; b) 3; c) 6; d) 15 e) 55 Strecken bestimmen? (Mit den oben angegebenen Zahlen soll die Anzahl aller dabei möglichen Strecken ermittelt werden.) 5. Wie viele Geraden bestimmen in der Ebene a) 2; b) 5; c) 7; d) 10; e) n solche Punkte, von denen keine drei auf einer einzigen Geraden liegen? Erstelle eine Tabelle und erkläre deine These! 6. Wie viele Schnittpunkte bestimmen in der Ebene a) 2; b) 4; c) 6; d) 10; e) n Geraden, wenn es dabei keine Parallelen gibt und keine Schnittpunkte gibt, durch die mehr als zwei Geraden laufen. 7. A, B, C und D sind in dieser Reihenfolge die Punkte einer Geraden. Ergänze die Tabelle! 8. Die Geraden a und b sind zueinander parallel. Errechne die mit einem Kreisbogen bezeichneten Winkel, wenn bekannt ist, dass der Winkel α folgende Größe hat: a) 30˚ b) 48˚ c) 53,2˚ d) 60˚11’. 9. Zwei Winkel haben einen gemeinsamen Schenkel; die Winkel stehen im Größenverhältnis 2:7.Der eine Winkel ist um 100˚ größer als der andere. Wie groß ist die Summe der zwei Winkel? 10. α und β haben einen gemeinsamen Schenkel; die Summe der Winkel beträgt 250˚. Außerdem wissen wir, dass die Verlängerung des Schenkels des Winkels α, der mit β nicht gemeinsam ist, den Winkel β in folgendem Verhältnis teilt: a) 1:2; b) 1:3; c) 2:3 - Wie groß sind jeweils α und β? 11. Ein Flugzeug startet von Flugplatz in westlicher Richtung und wendet sich bald in nordwestliche Richtung. Anderthalb Stunden später ändert es seinen Kurs um -45˚, eine weitere halbe Stunde später um +60˚. Um wieviel Grad weicht die jetzige Richtung vom ursprünglichen Westkurs ab? 3) Die Dreiecke (Wiederholung) Die allgemeinen Bezeichnungen der Teile eines Dreiecks sieht man auf der Abb. 26: - In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Innenwinkel spitz. In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es einen rechten Winkel. (Abb. 27) In einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel stumpf. Die Winkel eines Dreiecks Lehrsatz: Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180˚. Beweis: Wir zeichnen durch B eine Parallele zu AC. (Abb. 28) γ = γ1 (Wechselwinkel), α = α1 (Stufenwinkel), α + β + γ = α1 + β + γ1 = 180˚. Auf der Abb. 28 kann man Folgendes erkennen: β + β’ = 180˚, daher β’ = α + γ. Damit ist auch der folgende Lehrsatz bewiesen: Lehrsatz: Ein äußerer Winkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der ihm nicht anliegenden Innenwinkel. Daraus ergibt sich: α’ + β’ + γ’ = (β + γ) + ( γ + α ) + (α + β) = 2 (α + β + γ) = 360˚, d.h.: Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 360˚. 1.Beispiel: Das Verhältnis zweier Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 4:9. Der dritte Innenwinkel des 1 Dreiecks ist um eines gestreckten Winkels größer als der Kleinere der beiden 18 Ausgangswinkel. Berechne die Innen- und die Außenwinkel des Dreiecks! Lösung: Aus den Bedingungen des Beispiels folgt, dass die Innenwinkel des Dreiecks 4x, 9x, 4x + 10˚ betragen. Ihre Summe ist also 180˚, d. h. 4x+ 9x + 4x + 10˚ = 180˚, daraus folgt: x = 10˚. Wenn man diesen x-Wert in die Innenwinkel-Formel einsetzt, erhält man 40˚, 50˚ und 90˚; für die entsprechenden Außenwinkel ergeben sich 140˚, 130˚ und 90˚. Die Dreiecksungleichung In einem Dreieck ist die Summe zweier Seiten immer größer als die dritte, d.h. a + b > c; b + c > a; c + a > b. Diese Ungleichungen können wir auch in anderer Form aufschreiben: b > | a – c |; a > | b - c|; c > | a – b |, d.h.: Eine Seite des eines Dreiecks ist immer größer als die Differenz der anderen beiden Seiten. 2. Beispiel: Sind folgende Dreiecke möglich? Das Verhältnis ihrer Seitenlänge sei a) 3:6:8 und b) 3:6:10. Lösung: a) Nach diesen Vorgaben kann man die Dreiecksseiten mit 3x, 6x und 8x bezeichnen, wobei x eine positive Zahl ist. Dabei muss die Summe von zwei beliebigen Seiten größer als die dritte Seite sein, also 3x + 6x > 8x; 3x + 8x > 6x; 6x +8x > 3x; deswegen existiert ein solches Dreieck. b) Weil 3x + 6x < 10x, existiert hier ein solches Dreieck nicht. Ein Dreieck nennt man gleichschenklig, wenn zwei Seiten gleich lang sind. (Abb. 30) Ein Dreieck ist gleichseitig (regelmäßig), wenn alle drei Seiten gleich lang sind. (Abb. 31) 4) Der Zusammenhang zwischen Seiten und Winkeln im Dreieck Wir wissen bereits, dass ein Dreieck eindeutig bestimmt ist, wenn folgende Angaben gegeben sind: (1) (2) (3) (4) drei Seiten, zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel, eine Seite und die zwei anliegenden Winkel oder zwei Seiten und der Winkel, der der größeren Seite gegenüber liegt. Diese Kenntnisse werden wir im Folgenden verwenden. Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck. Dabei sei F der Seitenmittelpunkt der Basis BC (Abb.32).Die entsprechenden Seiten der Dreiecke ABF und AFC sind paarweise gleich lang, deshalb ist - entsprechend (1) - ) ABF = ) FCA; das bedeutet, dass im Dreieck ABC die zwei Basiswinkel gleich groß sind. Man kann auch folgenden Lehrsatz formulieren: Lehrsatz: Im Dreieck liegen gleichen Seiten gegenüber gleich große Winkel. Nach diesem Lehrsatz sind alle Winkel in einem regelmäßigen Dreieck 60°. Man kann beweisen, dass die Umkehrung des vorangegangenen Lehrsatzes auch stimmt: Lehrsatz: Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann sind auch die ihnen gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Wir nehmen nun im Folgenden an, dass im Dreieck ABC AC > AB. Was können wir über die inneren Winkel sagen, die den Seiten AC und AB gegenüber liegen? Wir konstruieren nun den Punkt D so auf der Seite AC, dass AB = AD (Abb.33). Dann ist im Dreieck ABD AB = AD; daraus folgt, dass ) ABD = ) BDA = 1.Nach dem Lehrsatz über die äußeren Winkel des Dreiecks gilt: = 1 + 2 > 1 = 2 + > . Damit haben wir folgendes Ergebnis erhalten: Wenn AC > AB, dann > . Damit haben wir folgenden Lehrsatz bewiesen: Lehrsatz: In jedem Dreieck liegt der größeren von zwei Seiten immer ein größerer Winkel gegenüber als der kleineren Seite. In ähnlicher Weise kann man beweisen, dass auch die Umkehrung dieses Lehrsatzes stimmt: In jedem Dreieck liegt dem größeren von zwei Innenwinkeln immer eine größere Seite gegenüber als dem kleineren. 5) Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks 1. Beispiel: Was können wir über die Flächeninhalte der grünen Quadrate t1, t2 und t3 sagen? Lösung: t1 + t2 = t3; dies kann man - wie folgt – beweisen: Ursprünglich haben wir zwei Quadrate mit den Seitenlängen a + b. Aus diesen Quadraten haben wir je 4 rechtwinklige Dreiecke weggenommen, deren Katheten die Längen a bzw. b haben. Die Flächeninhalte dieser Dreiecke sind paarweise gleich groß. Wenn die Hypothenuse dieser Dreiecke gleich c ist, dann ist t1 = a2, t2 = b2, t3 = c2 und deshalb ist a2 + b2 = c2. Damit haben wir den Lehrsatz von Pythagoras bewiesen. Dieser griechische Philosoph und Mathematiker lebte im sechsten Jahrhundert vor Christus. Lehrsatz von Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Man kann auch beweisen, dass die Umkehrung dieses Lehrsatzes auch zutrifft: Lehrsatz: Wenn in einem Dreieck die Quadratsumme zweier Seiten gleich dem Quadrat der dritten Seite ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig. Wir können den Satz von Pythagoras und seine Umkehrung zusammenfassen: Lehrsatz: Ein Dreieck ist dann und nur dann rechtwinklig, wenn die Quadratsumme zweier Seiten gleich dem Quadrat der dritten Seite ist. 1. Beispiel: An den Endpunkten eines 1 km langen Straßenabschnitts befestigen wir eine 1001 m langes Seil. Das Seil wird von einer Maschine in der Mitte so hoch wie möglich gehoben. Kann dort ein 180 cm großer Mensch unter dem Seil hindurchgehen, ohne sich zu bücken. Lösung: Man kann die Höhe des Seil-Mittelpunktes mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. (Abb. 35) AC2 = h2 + AF2, daher h= AC 2 AF 2 = 500,25 m 22,37 m Dieses überraschende Ergebnis zeigt, dass die im 2.Beispiel genannten Bedingungen mehr als erfüllt sind: Wir brauchen für das Hochheben des Seils einen Kran. 2. Beispiel: Berechne die Höhe und den Flächeninhalt eines regelmäßigen Dreiecks mit der Hilfe seiner Seitenlänge a! Lösung: Wir wissen, dass die Höhe eines regelmäßigen Dreiecks die gegenüber liegende Seite halbiert und senkrecht darauf steht (Abb. 36). Wir übertragen den Satz des Pythagoras auf das Dreieck AFC: 2 a a2 = m2 + , 2 daher m= a a 2 2 2 = a2 a2 = 4 a 3 3a 2 = . 2 4 Die Höhe eines regelmäßigen Dreiecks mit der Seitenlänge a beträgt: m = a 3 . 2 Den Flächeninhalt des Dreiecks kann man mit Hilfe der Seitenlänge ausdrücken: T= am = 2 a a 3 2 , 2 einfacher: T= a2 3 . 4 Aufgaben: 1. Die Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks betragen: a) 30° und 60° e) 23,5° und 114,6° b) 45° und 75° f) 88° und 91° c) 82° und 26° d) 90° und 10° Bestimme den dritten Innenwinkel des Dreiecks und die Außenwinkel! 2. Die Winkel eines Dreiecks seien α, β und γ; die entsprechenden Außenwinkel seien α’, β’ und γ’. Bestimme aus den folgenden Angaben die fehlenden Innen- und Außenwinkel! a) α = 35°, β = 80° d) β’ = 82°, γ’ = 142° b) α = 56°, β’ = 113° e) α’ = 190°, β = 30° c) α’ = 95°, γ = 50° f) α’ = 92°, γ’ = 25°. 3. Das Verhältnis der Innenwinkel eines Dreiecks: a) 1:2:3 b) 4:5:6 c) 3:7:10 d) 2:9:13 e) 7:10:19 Bestimme die inneren und äußeren Winkel dieses Dreiecks! f) 11:12:13 4. Ein Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 38°. Bei den anderen beiden Innenwinkeln ist der eine um 22° größer als der andere. Wie groß sind die Innen- und Außenwinkel dieses Dreiecks? 5. Sind Dreiecke mit folgenden Seitenlängen möglich? a) 2 cm, 4 cm und 5 cm b) 10m, 12m und 21m c) 2 10 11 dm, dm und dm 3 18 13 c) 2,5 cm, 32 mm und 0,58 dm 6. 2 Seiten eines Dreiecks sind a) 2,8 cm und 1,7 cm. b) 4,31 cm und 3,92 cm. d) 81,9 cm und 82,1 cm c) 32,1 cm und 52,3 cm. Wie groß ist die dritte Seite dieses Dreiecks, wenn sich in cm gemessen eine ganze Zahl ergibt? 7. Die Seitenlängen zweier Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks betragen a) 2 cm und 4 cm. b) 3 dm und 5 dm. c) 4m und 4m. d) 8 mm und 18 mm. Wie groß kann die dritte Seite sein? Wann sind die Basiswinkel größer, wann der Schenkelwinkel? 8. Gegeben sind 6 Strecken; ihre Längen betragen 3 cm, 3,4 cm, 4,4 cm, 5,6 cm, 6,3 cm und 9,2 cm. Wie viele verschiedene Dreiecke können wir mit diesen Angaben konstruieren, wenn eine Strecke mehrfach verwendet werden kann? 9. Für die drei Seiten eines Dreiecks gilt: a b c; die Größen zweier Innenwinkel betragen a) 84° und 36° . e) 135° und 45°. b) 30° und 90°. f) 18° und 11°. c) 70° und 40°. d) 120° und 29°. Welche Seite liegt dem dritten Winkel gegenüber? 10. Beweise: In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Summe eines Schenkels mit der Basis größer als die Hälfte des Umfangs des Dreiecks, aber kleiner als Dreiviertel des Dreieckumfangs! 11. a und b seien die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und c die Hypothenuse. Ergänze die Tabelle! a b c 3cm 5cm 12 dm 13 dm 4m 7m 6) Die Vierecke (Wiederholung) Konvexes Viereck: Alle Winkel sind konvex. (Abb. 37) Konkaves Viereck: Es hat einen konkaven Winkel. (Abb. 38) Die Vierecke können durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt werden; deshalb ist die Innenwinkelsumme im Viereck 2 180 360 . (Abb. 39) Untersuchen wir, wie groß die Summe der Außenwinkel eines konvexen Vierecks ist! (Abb.40) α + β + γ + δ = 360° (α + α΄) + (β + β΄) + (γ + γ΄) + (δ + δ΄) = 4 180 ˚ = 720˚ Daraus folgt: α΄ + β΄ + γ΄ + δ΄ = 360° Die Innenwinkelsumme eines konvexen Vierecks beträgt 360°. Spezielle Vierecke - Das Trapez ist ein Viereck, das parallele Seitenpaare hat. - Das Parallelogram ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind. - Der Rhombus ist ein Viereck, dessen Seiten gleich lang sind. Die Abb. 42 zeigt den Zusammenhang zwischen den oben erwähnten Vierecken. - Das Deltoid ist ein Viereck, in dem je zwei benachbarte Seiten gleich lang sind. Die Rhomben sind Deltoide mit gleich langen Seiten. (Abb. 43) - Das Rechteck ist ein Viereck, das nur rechte Winkel hat. Das Rechteck ist also ein Parallelogramm, dessen Winkel gleich groß sind. (Abb. 45) - Das Quadrat ist ein Viereck, dessen Seiten gleich lang und dessen Winkel gleich groß sind. Das Quadrat ist also ein gleichseitiges Rechteck und ein gleichwinkliger Rhombus. (Abb. 46) 1.Beispiel: Entscheide, welche der folgenden Aussagen falsch oder richtig ist: a) b) c) d) e) Jedes Parallelogramm ist ein Trapez. Es gibt ein Deltoid, das kein Rhombus ist. Es gibt ein Rechteck, das ein Deltoid ist. Es gibt einen Rhombus, der kein Trapez ist. Jedes Parallelogramm ist ein Deltoid. Lösung: Die Aussagen a), b) und c) sind richtig, d) und e) sind falsch. b) c) d) e) Die Richtigkeit ergibt sich aus den Definitionen. Dies gilt für Deltoide, die zwei verschiedene Seitenlängen haben. Das Quadrat ist sowohl ein Rechteck als auch ein Deltoid. Jeder Rhombus ist ein Parallelogramm und jedes Parallelogramm ist ein Trapez; deshalb ist jeder Rhombus ein Trapez. f) Wenn ein Parallelogramm kein Rhombus ist, dann haben die benachbarten Seiten eine unterschiedliche Länge. 2.Beispiel: Die Basiswinkel in einem Trapez betragen 62˚ und 46˚. Berechne die beiden anderen Winkel! Lösung: AB ist parallel zu CD, deshalb sind δ` (ein Außenwinkel von δ) und Winkel DAB Wechselwinkel. So ist δ` = 62˚. (Abb. 47) Daraus folgt: δ = 180˚ - δ` = 180˚- 62˚ = 118˚. Ähnlich ergibt sich: γ = 180˚ - 46˚ = 134˚. Die Summe der an einem Schenkel liegenden Winkel im Trapez beträgt immer 180˚. 3.Beispiel: In einem Deltoid kennen wir zwei Winkel: 110˚ und 44˚. Berechne die beiden anderen Winkel. Lösung: Nach der Definition sind in einem Deltoid zwei gegenüberliegende Winkel gleich groß. Dehalb müssen wir für die Lösung drei verschiedene Fälle unterscheiden. Diese werden in Abb. 48 dargestellt. Aufgaben: 1. In einem konvexen Viereck sind die Innenwinkel α, β,γ, δ und die ihnen entsprechenden Außenwinkel α`, β`,γ`, δ`. Berechne die entsprechenden Innen- und Außenwinkel! a) α = 100˚, β = 72˚ und γ΄ = 84˚; c) α = 82˚, α΄= 98˚, δ = 121˚; b) α= 70˚, β = 135˚, γ΄ = 108˚; d) α = 136˚. β΄ = 88˚, δ΄ = 170˚; 2) Wie groß sind die Innen- und Außenwinkel eines Trapezes, wenn zwei gegenüberliegende Innenwinkel folgende Größe haben: a) 60˚ und 120˚; b) 45˚ und 100˚; c) 162,5˚ und 13˚; d) 81˚ und 81˚ ? 3) Wie groß sind die Innen- und Außenwinkel eines Trapezes, wenn das Verhältnis der Innenwinkel folgendermaßen ist: a) 2:3:4:5; b) 4:7:10:13; c) 3:5:7:9; d) 5:5:7:8 ? 4) Berechne die Innen- und Außenwinkel eines Parallelogramms, wenn ein Innenwinkel folgende Größe hat: a) 30˚; b) 53˚; c) 129˚; d) 143,2˚ ! 5) Berechne die Innen- und Außenwinkel eines Parallelogramms, wenn das Verhältnis zweier Innenwinkel folgendermaßen ist: a) 1:3; b) 4:5; c) 5:7; d) a:b ! 6) Berechne die Innen- und Außenwinkel eines Rhombus’, wenn ein Innenwinkel folgende Größe hat: a) 30˚; b) 57˚; c) 83˚; d) 174˚ ! 7) Berechne die Innenwinkel eines Deltoids, wenn zwei gegenüberliegende Winkel folgende Größe haben: a) 32˚ und 131˚; b) 68˚ und 111˚; c) 23,4˚ und 68,6˚; d) 282˚ und 16˚ ! 8) Berechne die Innen- und Außenwinkels eines Deltoids, wenn zwei benachbarte Winkel folgende Größe haben: a) 122˚ und 38˚; b) 45˚ und 131˚; c) 220˚ und 18˚; d) 72˚ und 83˚ ! 9) In einem Rechteck hat der von einer Seite und der Diagonale eingeschlossene Winkel folgende Größe: a) 30˚; b) 11˚; c) 38,6˚; d) α. Berechne den Winkel, der von den Diagonalen eingeschlossen wird! 10) Beweise, dass in einem konvexen Viereck die Summe zweier Innenwinkel, die auf einer Seitengeraden liegen, gleich der Summe der Außenwinkel ist, die zu den beiden Innenwinkeln gehören! 11) Welche von den folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? a) Es gibt ein Trapez, das nicht konvex ist. b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Es gibt ein Trapez, das genau einen rechten Winkel hat. Es gibt ein Trapez, dessen Schenkel zueinander parallel sind. Es gibt ein Parallelogramm, das einen rechten Winkel hat. Jedes Parallelogramm hat einen rechten Winkel. Es gibt ein Parallelogramm, das kein Trapez ist. Wenn ein Parallelogramm einen rechten Winkel hat, dann ist es ein Rechteck. Es gibt ein Rechteck, das ein Rhombus ist. Jeder Rhombus ist ein Trapez. Wenn ein Deltoid ein Rechteck ist, dann ist es ein Quadrat. Wenn alle Seiten eines Parallelogramms gleich lang sind, dann ist es ein Quadrat. 7) Die Vielecke - Ein Vieleck ist konvex, wenn alle seine Winkel konvex sind. Ein Vieleck ist konkav, wenn es einen konkaven Winkel hat. (Abb. 49) Die Begriffe „konvex“ und „konkav“ können wir nicht nur bei den Vielecken in der Ebene definieren, sondern auch bei allen anderen ebenen Figuren und bei räumlichen Körpern. Definition: Eine Figur (eben oder räumlich) ist konvex, wenn sie für zwei beliebige Punkte (die zu dieser Figur gehören) alle Punkte der Verbindungsstrecke enthält. (Abb. 50) Definition: Eine ebene oder räumliche Figur ist konkav, wenn sie nicht konvex ist, d.h. es gibt eine solche Strecke, deren Endpunkte zwar in der Figur liegen, die aber nicht in voller Länge zur Figur gehört Anmerkung: Die obigen Definitionen für Konvexität und Konkavität von Vielecken entsprechen den Definitionen für Konvexität und Konkavität mit Hilfe der Innenwinkel. Also sind diese Definitionen zueinander äquivalent. 1. Beispiel: Bestimme die Anzahl der Diagonalen in einem konvexen n-Eck! Lösung: Von einem Eckpunkt eines konvexen n-Ecks kann man in diesen Eckpunkt und in die benachbarten Ecken keine Diagonale legen. Deswegen kann man von einem beliebigen Eckpunkt n –3 Diagonale legen. (Abb. 55) Wenn man alle Ecken in Betracht zieht, müsste dies n · (n – 3) Diagonalen ergeben. Wir haben aber jede Diagonale bei beiden Endpunkten gezählt. Damit haben wir bewiesen, dass die Anzahl n (n 3) der Diagonalen eines konvexen n-Ecks ist. 2 2. Beispiel Bestimme die Innenwinkelsumme in einem konvexen n-Eck. Lösung: Wie in Beispiel 1 deutlich geworden ist, kann man aus einem Eckpunkt n-3 Diagonalen ziehen. Diese n-3 Diagonalen teilen das n-Eck in n-2 Dreiecke. Die Summe der Innenwinkel dieser Dreiecke ergeben die Summe der Innenwinkel des n-Ecks (Abb. 56). Daraus ergibt sich: Die Innenwinkelsumme eines konvexen n-Ecks beträgt (n-2) 180 º. Anmerkung: Wenn ein konkaves Vieleck einen einzigen konkaven Winkel hat, dann kann man vom konkaven Eckpunkt ausgehend beweisen, dass die Innenwinkelsumme mit dieser Formel berechnet werden kann. Wenn ein konkaves Vieleck mehrere konkave Winkel hat, ist der Beweis etwas schwieriger, aber die Formel gilt auch. Definition: Ein Vieleck ist regelmäßig, wenn alle seine Seiten gleich lang und alle seine Winkel gleich groß sind. 3. Beispiel: Wie groß ist ein Innenwinkel eines regelmäßigen n-Ecks? Lösung: Die Innenwinkel-Summe eines n-seitigen Vielecks beträgt (n-2) · 180˚. Die Innenwinkel sind alle (n 2) 180 gleich groß, deshalb hat ein Innenwinkel folgende Größe: . n Aufgaben: 1) Wie viele Diagonalen hat ein konvexes Vieleck, wenn die Anzahl der Seiten folgendermaßen ist: a) 5; b) 7; c) 8; d) 12; e) 29 ? 2) Berechne die Innenwinkelsumme eines Vielecks, wenn die Anzahl der Seiten folgendermaßen ist: a) 5; b) 7; c) 8; d) 12; e) 29 ? 3) Wie groß ist ein Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks, wenn die Anzahl der Seiten folgendermaßen ist: a) 5; b) 7; c) 8; d) 12; e) 29 ? 4) Wie viele Seiten hat ein konvexes Vieleck, wenn man aus einem Eckpunkt so viele Diagonalen ziehen kann: a) 5; b) 7; c) 13; d) 18; e) 31 ? 5) Wie viele Seiten hat ein konvexes Vieleck, in dem die Innenwinkelsumme folgendermaßen ist: a) 540˚; b) 900˚; c) 1620˚; d) 3060˚ ? 6) Wie viele Diagonalen hat ein konvexes Vieleck, wenn die Anzahl der Seiten folgendermaßen ist: a) 5; b) 8; c) 12; d) 23 ? 7) Beweise, dass die Außenwinkelsumme in beliebigen konvexen Vielecken 360˚ ist! 8) Wie viele Seiten hat ein konvexes Vieleck, in dem die Innenwinkelsumme a) zweimal; b) viermal; c) 7,5mal; d) 17mal so groß ist wie die Außenwinkelsumme? 9) Berechne einen Innenwinkel und einen Außenwinkel eines regelmäßigen Vielecks, wenn die Anzahl der Seiten folgendermaßen ist: a) 6; b) 10; c) 16; d) 21 ! 10) Wie viele Seiten hat ein regelmäßiges Vieleck, in dem die Größe eines Innenwinkels folgendermaßen ist: a) 60˚; b) 108˚; c) 140˚; d) 157,5˚ ? 11) Wie viele Seiten hat ein konvexes Vieleck, in dem die Anzahl der Diagonalen folgendermaßen ist: a) 2; b) 5; c) 14; d) 27 ? 12) Berechne die Innenwinkel des Stern-Fünfecks auf der Abbildung! (Das ist ein gleichseitiges konkaves Zehneck, in dem die konvexen Ecken die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks sind.) 8) Besondere Punktmengen Die Mittelsenkrechte einer Strecke Definition: Auf einer Ebene ist die Mittelsenkrechte einer Strecke eine Gerade, die in der Mitte der Strecke auf dieser Strecke senkrecht steht. 1. Beispiel: Gegeben seien ein Punkt A und ein Punkt B auf einer Ebene. Suche die Punkte dieser Ebene, die von den Punkten A und B den gleichen Abstand haben. Lösung: Auf der Strecke AB gibt es nur einen solchen Punkt, nämlich den Mittelpunkt der Strecke F. (Abb. 55) Wenn man mit den Kreismittelpunkten A und B je einen Kreis zeichnet, der einen größeren Kreisradius hat als die Hälfte der Strecke AB, dann erhält man noch zwei solche Punkte (P und Q). (Abb. 56) Man kann beweisen, dass die Gerade PQ durch den Punkt F läuft, senkrecht auf der Strecke AB steht und alle Punkte dieser Gerade den gleichen Abstand von den Punkten A und B haben. Man kann auch beweisen, dass es außer diesen Punkten dieser Gerade keine solchen Punkte gibt. Lehrsatz: Die Menge aller Punkte auf der Ebene, die von den Punkten A und B der Ebene den gleichen Abstand haben, bilden die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Man kann beweisen, dass im Raum die Punkte, die von den Punkten A und B den gleichen Abstand haben, eine Ebene bilden, die durch den Mittelpunkt der Strecke läuft und auf der Strecke senkrecht steht, die mittelsenkrechte Ebene. (Abb. 57) Die Winkelhalbierende Definition: Die Winkelhalbierende eines konvexen Winkels ist ein Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht, im Winkelbereich verläuft und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. 2. Beispiel: Gegeben sei ein konvexer Winkel auf der Ebene. Suche die Punkte der Ebene, die von beiden Schenkeln dieses Winkels den gleichen Abstand haben. Lösung: Der Scheitelpunkt des Winkels C ist ein solcher Punkt, der an beiden Winkelschenkeln liegt. Man konstruiert zwei Geraden, die zu je einem Schenkel parallel sind, den gleichen Abstand von den Schenkeln haben und sich im Winkelbereich schneiden. Der Schnittpunkt dieser Geraden M entspricht diesen Bedingungen. (Abb. 58) Man kann beweisen, dass alle Punkte des Strahls CM den gleichen Abstand von den Winkelschenkeln haben und keine anderen Punkte des Winkelbereichs diese Eigenschaften haben. Der Strahl CM zerlegt also den ursprünglichen Winkel in zwei gleich große Teile. Lehrsatz: Die Punktmenge aller Punkte im Winkelbereich eines konvexen Winkels, die von den Schenkeln den gleichen Abstand haben, bilden die Winkelhalbierende des Winkels. 3. Beispiel: Beweise, dass die Winkelhalbierenden eines Winkels und seines Nebenwinkels aufeinander senkrecht stehen. Lösung: Den Beweis kann man von Abb. 59 ablesen: α + β = 180˚, daher 2 2 90 ˚. 4. Beispiel: Konstruiere die Winkelhalbierende eines konvexen Winkels. Lösung: Die Konstruktion kann man in Abb. 60 ablesen. Definition: Die Menge der Punkte auf einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt O die gegebene Entfernung r haben, ist ein Kreis (Kreislinie). Abb. 61) Definition: Die Menge der Punkte auf einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt O einen nicht größeren Abstand als die gegebene Entfernung r haben, ist eine abgeschlossene Kreisfläche mit dem Kreismittelpunkt O und mit dem Radius r. (Abb. 62) Definition: Die Menge der Punkte auf einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt O einen kleineren Abstand als die gegebne Entfernung r haben, nennt man eine offene Kreisfläche mit dem Kreismittelpunkt O und mit dem Radius r. (Abb. 63) Die Bezeichnungen, die mit dem Kreis zusammenhängen, sind auf Abb. 64 aufgeführt. Ein Kreis und eine Gerade können 0, 1 oder 2 gemeinsame Punkte haben. Definition: Die Kreistangente ist eine Gerade auf der Ebene des Kreises, die genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat. (Abb. 65). Man kann beweisen, dass man an jeden Punkt eines Kreises genau eine Tangente legen kann; der Berührungsradius steht auf der Tangente senkrecht. Zwei Kreise, die auf einer Ebene liegen, können 0,1 oder 2 gemeinsame Punkte haben. Wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben, berühren die Kreise einander. Man kann beweisen, dass bei den sich berührenden Kreisen die Kreismittelpunkte und der Berührungspunkt auf einer Gerade liegen. (Abb. 66) Definition: Die Menge der Punkte im Raum, die von einem gegebenen Punkt einen gegebenen Abstand haben, ist eine Kugel (die Kugeloberfläche). Der gegebene Punkt ist der Kugelmittelpunkt, der gegebene Abstand ist der Kugelradius. 5. Beispiel Konstruiere an einem gegebenen Kreis an einem gegebenen Punkt eine Tangente! Lösung: Gegeben sind: O; r; P. Die Senkrechte, die im Punkt P auf der Geraden OP errichtet ist, ist die gesuchte Tangente. Die Konstruktionsschritte sind auf der Abb. 67 zu sehen. 6. Beispiel: Beweise, dass die Mittelsenkrechte einer beliebigen Sehne eines Kreises durch den Kreismittelpunkt verläuft! Lösung: A und B haben den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt O. Deshalb liegt der Kreismittelpunkt auf der Mittelsenkrechten der Sehne AB. (Abb. 68) Aufgaben: 1) Bestimme den Neigungswinkel zweier Winkelhalbierender in einem Trapez! Diese Winkelhalbierenden gehören zu zwei Winkeln, die an einem Trapez-Schenkel liegen. 2) Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius 3 cm. Zeichne eine Sehne in diesem Kreis! Konstruiere die Punkte des Kreises, die den gleichen Abstand von den Endpunkten der gegebenen Sehne haben! 3) Gegeben ist ein Kreis und außerhalb von ihm die Punkte A und B. Konstruiere die Punkte des Kreises, die den gleichen Abstand von den Punkten A und B haben. Gibt es immer eine Lösung? 4) Gegeben sind auf der Ebene die Punkte A und B. Wo liegen die Punkte P der Ebene, für die gilt: a) AP BP; b) AP < BP ? 5) Gegeben sei ein Winkel von 60˚. Konstruiere einen Kreis mit dem Radius 2 cm in dem Winkelbereich! Dieser Kreis soll beide Winkelschenkel berühren! 6) Gegeben sei ein Winkel von 45˚. Konstruiere einen Kreis mit dem Radius 2 cm im Winkelbereich! Dieser Kreis soll den einen Winkelschenkel und die Winkelhalbierende berühren. Wie viele Lösungen hat diese Aufgabe? 7) Gegeben ist ein Rechteck, das kein Quadrat ist. Was für eine ebene Figur bestimmen die inneren Winkelhalbierenden dieses Rechtecks? Begründe deine Antwort! 8) Gegeben seien die Punkte A und B, die voneinander den Abstand 6 cm haben. Konstruiere je einen Kreis mit den Radius 2 cm und mit den Kreismittelpunkten A und B! Konstruiere einen Kreis, der diese Kreis berührt und folgenden Radius hat: a) 2 cm; b) 3 cm; c) 4 cm. Wie viele Lösungen hat die Aufgabe in den einzelnen Fällen? 9) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Koordinaten der Punkte in einem Koordinatensystem, die den gleichen Abstand von den Koordinatenachsen haben? 10) Konstruiere die inneren Winkelhalbierenden eines Dreiecks? Was für eine Lage haben sie zueinander? 11) Konstruiere die Mittelsenkrechten eines Dreiecks. Was für eine Lage haben sie zueinander? Rätsel: Gegeben sind zwei Punkte auf einer Ebene. Konstruiere zwei Punkte auf der Ebene, deren Abstand zweimal so groß ist wie der Abstand der gegebenen Punkte! Zur Konstruktion darfst du nur den Zirkel verwenden.
