9. ¨Ubungsblatt Wahrscheinlichkeitstheorie I

Institut für Mathematik
Prof. A. Bovier / P. L. Ferrari
WS 2008/09
9. Übungsblatt Wahrscheinlichkeitstheorie I
1. Hausaufgabe
(2 Punkte)
Es seien X1 , X2 , . . . , Xn unabhängiger Zufallsvariablen. Sei f : R → R und g : R
→ R beschränkte stetige Funktionen. Zeigen Sie, dass Y1 := f (X1 , . . . , Xm ) und Y2 := g(Xm+1 , . . . , Xn ) unabhängiger Zufallsvariablen sind.
m
n−m
2. Hausaufgabe
(3 Punkte)
Seien X und Y zwei Zufallsvariablen auf R und sei die Wahrscheinlichkeitsdichte von (X, Y ),
dPX,Y (x, y) = p(x, y)dxdy, so definiert:
(
2
2
π −1 e−2x −y /2 , falls xy ≥ 0,
p(x, y) =
(1)
2
2
π −1 e−x /2−2y , falls xy ≤ 0.
Zeigen Sie, dass X und Y unkorreliert aber nicht unabhängig sind.
Hinweis: Für zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y , gilt E(X 2 Y 2 ) = E(X 2 )E(Y 2 ).
3. Hausaufgabe
(4 Punkte)
(n)
(n)
Für jedes n ∈ N seien X1 , . . . , Xn paarweise unkorrelierte Zufallsvariablen mit endlicher Varianz
(also nicht notwendig identisch verteilt!) und
n
1 X
(n)
Var(Xi ) = 0.
n→∞ n2
i=1
lim
(n)
Zeigen Sie, dass die Xi
(2)
dem schwachen Gesetz der grossen Zahlen genügen, d.h. beweisen Sie
n
1 X (n)
P
(n)
Xi − E(Xi ) −→ 0,
n i=1
n → ∞.
4. Hausaufgabe
(3)
(4 Punkte)
Es sei (Xn )n≥2 eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit
P(Xn = n) =
1
n log n
und
P(Xn = 0) = 1 −
1
.
n log n
(4)
Zeigen Sie: Die Folge genügt zwar dem schwachen, aber nicht dem starken Gesetz der grossen Zahlen in
dem Sinne, dass
n
1X
(Xi − E(Xi ))
(5)
n i=2
zwar in Wahrscheinlichkeit gegen Null konvergiert, aber nicht fast sicher.
1
5. Hausaufgabe
(7 Punkte)
Es seien X1 , X2 , . . . unabhängiger Rademachervariablen. In der Vorlesung hat man gezeigt, dass
!
n
X
−1
P n
Xi ≥ x ≤ exp(−nI(x)),
(6)
i=1
wo I(x) = 12 (1 − x) ln(1 − x) + 12 (1 + x) ln(1 + x). Ziel dieser Übung ist zu zeigen, dass für alle ε > 0
und x ∈ [0, 1), gilt
!
n
X
P n−1
Xi ≥ x − ε ≥ exp(−nI(x)) exp(−c n ε) 1 − 1/(nε2 ) ,
(7)
i=1
für eine Konstante c > 0. Wir teilen die Übung in mehrere einfachere Schritte ein.
P
1. Schritt: Sei Sn = ni=1 Xi − nx. Zeigen Sie, dass
!
n
X
Xi ≥ n(x − ε) ≥ Ẽt (f (Sn ))E etSn ,
P
(8)
i=1
wo f (Sn ) := e−tSn 1|Sn |≤εn , und Ẽt (f (Sn )) := E(f (Sn )etSn )/E(etSn ).
2. Schritt: Zeigen Sie, dass
Ẽt (Sn ) = 0 für t = t∗ := arctanh(x).
3. Schritt: Zeigen Sie, dass
E et
∗
Sn
= e−nI(x) .
(9)
(10)
4. Schritt: Zeigen Sie, mit Hilfe von Chebychev’s Ungleichung, dass
et∗ (f (Sn )) ≥ e−nt∗ ε
E
g t∗ (Sn )
Var
1−
ε 2 n2
!
(11)
5. Schritt: Zeigen Sie, dass
g t∗ (Sn ) = (1 − x2 )n.
Var
(12)
6. Schritt: Die oberen Ergebnisse zusammengefasst ergeben (7).
Abgabe: 6.1.2009
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