Theoretische Festkörperphysik: ¨Ubungsblatt 6

SS 2014
Technische Universität Dresden
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. Matthias Vojta , Dr. Stephan Rachel
11.07.14
Theoretische Festkörperphysik: Übungsblatt 6
1 Extremalbahnen im reziproken Raum
In einem homogenen Magnetfeld B bewegen sich Kristallelektronen im k-Raum auf Bahnen, die auf
Flächen konstanter Energie verlaufen und deren Bahnfläche senkrecht zum angelegten Magnetfeld ist.
Für geschlossene Bahnen ist die Umlaufzeit durch
T (E, k) =
~2 ∂Sk
eB ∂E
(1)
gegeben, wobei Sk die von der Elektronenbahn im k-Raum umschlossene Fläche senkrecht zu B ist.
a)
Begründen Sie qualitativ, warum im Experiment (z.B. Zyklotronresonanz) immer nur extremale Bahnen von Elektronen, die sich auf Flächen konstanter Energie bewegen, beobachtet werden. Welche
Form besitzen Extremalbahnen im k-Raum, wenn für die Elektronen eine isotrope E(k)–Beziehung
[ 10 Punkte ]
E(k) =
~2 k2
2m?
(2)
angenommen wird. Berechnen Sie die resultierende Zyklotronfrequenz ωc = eB/mc und zeigen Sie, dass
für den angenommenen Speziallfall die Zyklotronmasse mc mit der effektiven Masse m? übereinstimmt.
b)
In einigen Materialien wie Silizium und Germanium sind die Flächen konstanter Energie
Rotationsellipsoide
!
kx2 + ky2
kz2
2
E(k) = ~
(3)
+
2mt
2ml
[ 10 Punkte ]
mit den transversalen und longitudinalen effektiven Massen mt und ml . Berechnen Sie die Zyklotronfrequenz ωc für B||z und leiten Sie daraus die Zyklotronmasse mc ab. Was passiert, wenn wir das Magnetfeld
senkrecht zur z-Richtung anlegen?
2 Boltzmann-Gleichung in Relaxationszeitnäherung
[ 30 Punkte ]
In einem Metall (Volumen V ) befinden sich N nicht-wechselwirkende Elektronen (Masse m , Ladung −e ,
2 k2
Spin 1/2) mit Dispersion ε(k) = ~2m
. Im Gleichgewicht (großkanonische Gesamtheit mit T , µ) lautet die
0
Boltzmannsche Verteilungsfunktion fk (r)|Gl. = fε(k)
= [ e(ε(k)−µ)/kB T + 1 ]−1 . Wird das Gleichgewicht
durch ein zeitunabhängiges elektrisches Feld E , einen Gradienten ∇T oder ∇µ gestört, so ist fk (r)
bestimmt durch die Boltzmann-Gleichung
h ~k
m
i
∇r fk (r) − eE ∇k fk (r) = I,
I=−
i
1h
0
fk (r) − fε(k)
τ
I ist das Stoßintegral und 1/τ die Streurate der Elektronen durch Störstellen im Metall.
Bitte wenden ...
Im Folgenden betrachten wir die Teilchendichte
Z
d3 k
n(r) = 2
fk (r),
(2π)3
die elektrische Stromdichte
Z
d3 k ~k
jc (r) = −2e
fk (r),
(2π)3 m
und die Wärmestromdichte
Z
d3 k ~k
jH (r) = 2
[ ε(k) − µ ]fk (r).
(2π)3 m
a) Zeigen Sie, daß im Gleichgewicht gilt:
j0c (r) = 0,
j0H (r) = 0,
n0 (r) = N/V.
b) In Gegenwart äußerer Felder ist nun fk (r) = fk (T (r), µ(r)). Bestätigen Sie, dass in linearer Ordnung in
E, ∇T , und ∇µ gilt:
ε(k) − µ
∂f 0 ~k 0
− eE − ∇µ −
∇T τ −
.
fk (r) = f +
m
T
∂ε ε=ε(k)
c) Die elektrische Leitfähigkeit σ ist definiert über j = σ E für ∇T = ∇µ = 0 . Wir betrachten j, E||ez .
Berechnen Sie j mit Hilfe von (b), und zeigen Sie für T → 0:
σ = n0 e2 τ /m
(Drude-Leitfähigkeit)
d) Allgemein gilt:
jc = L11 E + L12 (−∇T )
und jH = L21 E + L22 (−∇T ) ,
(4)
wobei L11 = σ (Onsager Relation). Für jc = 0 ergibt sich für das elektrische Feld E = L−1
11 L12 ∇T , womit
−1
man die thermische Leitfähigkeit κ findet: jH = −κ ∇T mit κ = L22 − L21 L11 L12 . Berechnen Sie L22 in
führender Ordnung in T , und zeigen Sie, dass für tiefe Temperaturen gilt:
κ=
π2
3
kB
e
2
σT
(Wiedemann–Franz-Gesetz)
Hinweise:
Z
∂f 0
π2
dε A(ε) −
= A(µ) + A00 (µ) (kT )2 ,
∂ε
6
Vewenden Sie die Zustandsdichte.
µ(T ) = εF + O(T 2 )