EINF¨UHRUNG IN DIE ALGEBRA ¨UBUNG SS 2015 4. ¨Ubungsblatt

EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA
ÜBUNG
SS 2015
4. Übungsblatt für den 29.4.2015
16. Es sei ψ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Beweisen Sie:
a) Ist g ∈ G mit ord(g) = n ∈ N, so gilt: ord(ψ(g)) | n.
Ist ψ injektiv, so gilt sogar ord(ψ(g)) = n.
b) Für g1 , g2 ∈ G gilt ψ(g1 ) = ψ(g2 ) genau dann, wenn g1 g2−1 ∈ ker ψ.
c) ψ ist injektiv genau dann, wenn ker ψ = {eG }.
17. Gegeben sind die folgenden Gruppen:
G1 = (R \ {0}, ·)
1
G2 = (R, +)
1
G3 = (S , ·) mit S = {z ∈ C | |z| = 1}
G4 = (R>0 , ·)
G5 = (R, +)/(Z, +)
a) Bestimmen Sie für jede Gruppe Gi , i = 1, . . . , 5, die Menge aller Gruppenelemente mit
endlicher Ordnung.
b) Stellen Sie fest, welche der Gruppen Gi , i = 1, . . . , 5, zueinander isomorph sind.
(Tip: Beispiel 16.a) könnte Ihnen dabei helfen.)
18.
a) Es sei G eine beliebige Gruppe und a ∈ G. Zeigen Sie, dass genau ein Gruppenhomomorphismus δ : Z → G mit δ(1) = a existiert.
b) Klassifikationssatz für zyklische Gruppen
Ist C eine beliebige zyklische Gruppe, so gilt
(
Z
falls |C| = ∞
C'
Z/nZ falls |C| = n ∈ N .
(Tip: Verwenden Sie Teil a) und den Homomorphiesatz!)
19. Es sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus, ∅ =
6 M ⊂ G eine Teilmenge und N = ϕ(M ).
a) Zeigen Sie:
[
[
ϕ−1 (N ) =
m (ker ϕ) =
(ker ϕ) m .
m∈M
m∈M
b) ϕ(hM i) = hN i.
20. Eine Gruppe der Ordnung |G| = 55 operiert auf einer Menge X mit |X| = 39 Elementen.
Zeigen Sie, dass diese Gruppenoperation mindestens einen Fixpunkt besitzt!
Geben Sie ein weiteres solches Beispiel mit anderen Zahlen an!