Übungsblatt 2

Lineare Algebra I
Herbstsemester 07
ÜBUNGSBLATT 2
Ausgabe: Montag, 1.10., 11.00 Uhr Y15G19
Abgabe: Montag, 8.10, 11.00 Uhr Y15G19
Link zur Vorlesung: http://www.math.unizh.ch/hs07/2809
Aufgabe 1
Es seien f : X −→ Y und g : Y −→ Z Abbildungen. Beweise die folgenden Aussagen:
1. f, g injektiv ⇒ g ◦ f injektiv;
2. g ◦ f injektiv ⇒ f injektiv;
3. (g ◦ f injektiv, f surjektiv) ⇒ g injektiv;
4. f, g surjektiv ⇒ g ◦ f surjektiv;
5. (g ◦ f surjektiv, g injektiv) ⇒ f surjektiv.
Aufgabe 2
1. Beweise, dass eine Abbildung ϕ : M −→ N genau dann bijektiv ist, wenn es eine
Abbildung ψ : N −→ M gibt mit
ψ ◦ ϕ = idM und ϕ ◦ ψ = idN .
(1)
Zeige weiterhin, dass die Abbildung ψ durch (1) eindeutig bestimmt ist. (Wir setzen
dann ϕ−1 := ψ.)
2. Seien ϕ : M −→ N und ψ : N −→ P zwei bijektive Abbildungen. Zeige, dass dann
auch ψ ◦ ϕ : M −→ P bijektiv ist und dass gilt:
(ψ ◦ ϕ)−1 = ϕ−1 ◦ ψ −1 .
Aufgabe 3
Es sei A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen,
und es sei n0 ∈ N fest. Zeige, dass wenn
A(n0 ) wahr ist und wenn A(n) =⇒ A(n + 1) für alle n ≥ n0 gilt, auch A(n) wahr ist
für alle n ≥ n0 .
Aufgabe 4
P
Zeige, dass für n ∈ N gilt: 6 nk=1 k 2 = n(n + 1)(2n + 1).