Ubungsblatt 7 - wiwi.uni

Ökonometrie II
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Martina Zaharieva M.Sc.
Sommersemester 2014
Übungsblatt 7
Aufgabe 1
Falls die Störgrößen im linearen Regressionsmodell alle B-Annahmen erfüllen, so erwartet man, dass die Werte der aufgetretenen Residuen zu etwa 34% im Intervall zwischen
Null und σ̂ liegen, zu 14% zwischen σ̂ und 2σ̂ und zu weiteren 2% zwischen 2σ̂ und 3σ̂.
σ̂ bezeichne hierbei den Standardfehler der Regression.
(a) Berechnen Sie σ̂ für das numerische Beispiel aus Aufgabe 3 Übungsblatt 6 (Benutzen Sie die Daten aus der Datei LifeSavings Resid.csv).
(b) Berechnen Sie die auf Basis der Normalverteilung erwartete und die tatsächlich
realisierte Häufigkeitsverteilung der Residuen, nach der in σ̂ gemessen Entfernung
von Null gruppiert. Tragen Sie Resultate in die unten stehende Tabelle ein.
Intervall
# aufgetr. Res., Oi
# erwart. Res., Ei
−3σ̂, −2σ̂
−2σ̂, −σ̂
−σ̂, 0 0, σ̂
σ̂, 2σ̂
2σ̂, 3σ̂
P6
i=1
(c) Falls die Anzahl der aufgetretenen Residuen in den äußeren Gruppen kleiner als
5 ist, fassen Sie die Daten benachbarten Gruppen zusammen:
Intervall
# aufgetr. Residuen, Oi
# erwart. Residuen, Ei
(Oi − Ei )2 /Ei
−3σ̂, −σ̂
−σ̂, 0 0, σ̂
σ̂, 3σ̂
P4
i=1
Wir formulieren die Nullhypothese, dass die Störterme ui der Normalverteilung folgen;
H0 : ui ∼ N (0, σ 2 ). Falls H0 wahr ist, sollte die Differenz zwischen der realisierten und
der erwartenen Häufigkeitsverteilung ’klein’ ausfallen, anderenfalls ’groß’. Deswegen
heißt die Statistik
X 2 = Σ(Oi − Ei )2 /Ei
1
Goodness-of-Fit-Measure, weil sie erklärt, wie gut eine hypothetische Verteilung (im
unserem Fall die Normalverteilung) an die Daten angepasst werden kann. Unter H0 ist
die X 2 -Statistik χ2 -verteilt mit T − K − 2 Freiheitsgraden.
(d) Testen Sie zum Signifikanzniveau α = 5%, ob die Daten mit der Normalverteilungsannahme vereinbar sind.
Aufgabe 2
Die monatlichen Verkaufpreise xt (in Euro) und Absatzmengen yt (in 1000 Stück)
eines Filterherstellers wurden für den Zeitraum von Januar 2003 bis Dezember 2004
aufgezeichnet. (Betrachten Sie die Daten aus der Datei filter.csv)
Um die Preisabsatzfunktion des Filterherstellers zu schätzen, wird folgendes Modell
aufgestellt:
yt = α + βxt + ut
(a) Führen Sie eine KQ-Schätzung durch und geben Sie das 90%-Konfidenzintervall
der geschätzten Koeffizienten an.
(b) Stellen Sie die Residuenpaare (ût−1 , ût ) als eine Punktwolke grafisch dar. Lässt
grafische Analyse positive, negative oder keine Autokorrelation in den Störgrößen
vermuten?
(c) Ermitteln Sie ρ̂ aus den Residuenpaaren (ût−1 , ût ).
(d) Überprüfen Sie Ihre Vermutung aus (b) für die Autokorrelation der Störgrößen
mit dem Durbin-Watson Test zum Signifikanzniveau α = 0.05.
(e) Vergleichen Sie die in (d) verwendete Teststatistik für den Durbin-Watson Test
mit der approximativen Formel d ≈ 2(1 − ρ̂). Wodurch ergibt sich der Unterschied?
(f) Transformieren Sie das Modell so, dass die Autokorrelation in den Residuen bereinigt wird und geben Sie das transformierte Modell in Matrixnotation an.
(g) Schätzen Sie das Modell nach dem Verfahren von Hildreth/Lu.
(h) Schätzen Sie das Modell nach dem Verfahren von Cochrane/Orcrutt (mit zwei
Iterationen). Geben Sie das 90%-Intervall der geschätzten Koeffizienten an.
(i) Schätzen Sie die Varianz-Kovarianzmatrix nach Newey/West.
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