Ubungen zur Quantenmechanik
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Übungen zur Quantenmechanik Theoretische Physik III SS 2017 Blatt 8 Aufgabe 21 A. Alvermann & H. Fehske Abgabe: Dienstag, 30.05.17 vor der Vorlesung Vertauschungsregeln für den Bahndrehimpuls Die quantenmechanischen Operatoren Lx , Ly , Lz des Bahndrehimpuls werden, analog zur klassischen Mechanik, durch die Relation ~ = ~r × p~ L definiert. Zeigen Sie, nur unter Verwendung von [ri , pj ] = i~ δij , (a) Lx , Ly , Lz sind hermitesch, (b) es gelten die Kommutatorrelationen [Lx , Ly ] = i~Lz , [Ly , Lz ] = i~Lx , [Lz , Lx ] = i~Ly , (c) es gilt [L2 , Li ] = 0 mit L2 = L2x + L2y + L2z , i = x, y, z. Aufgabe 22 Heisenbergsche Unschärfebeziehung, andersherum In der Vorlesung wurde der Operator A(λ) = x − hxi + iλ[p − hpi] eingeführt und mit Hilfe der Ungleichung I(λ) = hψ|A(λ)† A(λ)|ψi ≥ 0 die Unschärfebeziehung ~2 4 hergeleitet. Berechnen Sie jetzt alle Zustände, für die das Unschärfeprodukt minimal wird! ∆x∆p ≥ Überzeugen Sie sich, dass ∆x∆p = ~2 /4 äquivalent ist zu I(λ) = 0. Leiten Sie daraus eine Differentialgleichung für ψ(x) her. Deren Lösungen sind die gesuchten Zustände. Aufgabe 23 Bilder der Quantenmechanik Ein Teilchen der Masse m und der Ladung q befindet sich in einem eindimensionalen harmonischen Oszillatorpotential und sei zusätzlich einem zeitlich konstanten elektrischen Feld E ausgesetzt. Der Hamiltonoperator lautet Ĥ = p̂2 1 + mω 2 x̂2 − qE x̂ . 2m 2 (a) Wie lauten die Heisenberg-Bewegungsgleichungen für die Operatoren x̂(t) und p̂(t)? Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für gegebenes x̂(t0 ) und p̂(t0 ). (b) Überprüfen Sie, ob [x̂(t), x̂(t0 )] = 0 für t 6= t0 . (c) Wie lauten die Bewegungsgleichungen im Wechselwirkungsbild, wenn H1 = −qE x̂ als Störung angenommen wird?
