„Elementarmathematik“

Prof. Dr. Duco van Straten
M. Pauly
3. Übung zur Vorlesung
„Elementarmathematik“
im Wintersemester 15/16
Aufgabe 1:
1
1
(a) Schreiben Sie 17 , 11
und 13
als periodische Dezimalzahlen. Welche Reste treten bei der
schriftlichen Division jeweils auf?
(b) Berechnen Sie die Potenzen 10k modulo 7, 11 und 13 jeweils bis sich die Werte zu
wiederholen anfangen. Welchen Zusammenhang kann man zu Aufgabe (a) erkennen?
Aufgabe 2:
Wir suchen eine Regel für die Teilbarkeit durch 11.
(a) Berechnen Sie 10k mod 11 für alle k ∈ N.
P
P
(b) Zeigen Sie für z0 , . . . , zn ∈ Z, gilt nk=0 10k zk ≡ nk=0 (−1)k zk mod 11.
(c) Zeigen Sie:
P Die Zahl (zn . . . z1 z0 )10 ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre Wechselsumme nk=0 (−1)k zk durch 11 teilbar ist.
Aufgabe 3:
Sei ab ein gekürzter Bruch. Der Ford-Kreis über
Mittelpunkt M = ( ab , 2b12 ) und Radius 2b12 .
a
b
ist der Kreis mit
(a) Zeichnen Sie die Ford-Kreise zu den folgenden Brüchen
0 1 1 2 1
, , , , .
1 3 2 3 1
(b) Zeigen Sie: Sind ab und dc zwei verschiedene Brüche mit |bc − ad| = 1, dann berühren
sich die zugehörigen Ford-Kreise (tangential).
(c) Wo liegt der Kreis des Mediants zweier benachbarter Brüche?
Aufgabe 4:
Gegeben sei die Folge
an := √
1
1
1
1
√ +√
√ +√
√ + ... + √
√
.
n+ n+1
0+ 1
1+ 2
2+ 3
Berechnen Sie a1 , a2 , a3 , a4 , sowie deren Quadrate. Was fällt ihnen auf? Beweisen Sie ihre
Aussage. Wie muss man n wählen damit an = 1000 gilt (Begründung!)?
Die Lösungen vor bis zu 3 der ersten 4 Aufgaben sind bis Freitag den 13.11 12 Uhr in den
beschrifteten Kästen vor der Fachschaft abzugeben.
Die nachfolgenden Aufgaben sind nicht abzugeben, sondern dienen zum selbst Studium.
Aufgabe 5:
Auf wie viele Nullen endet 1000000! ?
Aufgabe 6:
Schreiben Sie folgende rationalen Zahlen als reduzierte (gekürzte) Brüche.
a)
5
6
+
4
15 ,
d) 0, 27,
b)
21
20
+
12
14 ,
e) 0, 2745,
c) 0, 142857,
0, 123456
Aufgabe 7:
Berechnen Sie die folgenden Werte:
a) 11100 mod 5,
b) 5100 mod 3,
c) 3102 mod 5,
d) 1042 mod 61.
Aufgabe 8:
100 Menschen werden von hungrigen Aliens entführt. Die Aliens möchten allerdings keine
intelligenten Lebewesen essen, daher machen Sie einen Test mit den 100 Menschen. Sie stellen
Sie in einer Reihe auf und jeder bekommt einen schwarzen oder weißen Hut (die Anzahlen
von schwarzen bzw. weißen ist nicht bekannt (natürlich ist die Summe 100)). Jede Person in
der Reihe sieht die Hüte aller der Leute, die vor ihr stehen, dh. der erste sieht 0 Hüte, der
zweite 1, . . . , der letzte 99. Nun darf jeder einmal die Farbe seines Hutes raten (in beliebiger
Reihenfolge, man bekommen erst nachdem alle geraten haben mitgeteilt ob richtig geraten
wurde). Der Test gilt als bestanden, falls mindestens 99 Leute ihre Farbe richtig geraten
haben. Welche Taktik würden Sie verfolgen (die entführten Menschen dürfen sich vor dem
Test absprechen).
Aufgabe 9:
Ein Priester sagt zu seinem Glöckner: Heute waren nur 3 Leute in der Messe. Das Produkt
der Alter der 3 Personen ist 2450 und die Summe ist 2 mal dein Alter. Der Glöckner (der
übrigens ein sehr schlauer Kerl war) antwortet: Das reicht nicht um das Alter der Leute zu
bestimmen. Der Priester sagt: Stimmt, aber ich war der älteste in der Kirche. Woraufhin der
Glöckner antwortet: Jetzt kenne ich das Alter der Leute. Wie alt ist der Priester?