Tutorium 2

Mathematisches Institut der LMU
Prof. Dr. P. Müller
Dr. S. Morozov
Analysis III
WiSe 2015/16
28. 10. 2015
Tutorium 2
Satz.(Großer Umordnungssatz) Für j, k ∈ N sei ajk ∈ C, und es existiere M > 0 mit
m X
m
X
∀m ∈ N
|ajk | 6 M.
j=1 k=1
Dann gilt:
P∞
(a) Ist τ : N → N × N
injektiv,
so
ist
n=1 aτ (n) absolut konvergent.
P∞
P∞Insbesondere sind
die Zeilenreihen k=1 ajk (für j ∈ N) und die Spaltenreihen j=1 ajk (für k ∈ N)
absolut konvergent.
(b) Die Reihen
∞ X
∞
X
j=1
∞ X
∞
X
ajk ,
k=1
k=1
ajk ,
j=1
∞ X
n
X
n=1
an−l+1 l
(1)
l=1
sind absolut konvergent, und diese Reihen haben den gleichen Grenzwert.
T2.1. (a) Beweise den Großen Umordnungssatz unter der zusätzlichen Annahme, dass
ajk > 0 für alle j, k ∈ N gilt.
(b) Beweise ferner, dass unter der Annahme von (a) auch folgendes gilt: Divergiert eine
der Reihen in (1), so divergieren auch die beiden anderen.
T2.2. Seien X eine Menge, A eine σ-Algebra auf X und (µn )n∈Z eine Folge von Maßen
auf A sowie (an )n∈Z eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen.
Zeige: Die Abbildung ν : A → [0, ∞], definiert durch
ν(A) :=
∞
X
an µn (A),
n=1
ist ein Maß. Verwende Aufgabe T2.1.
T2.3. Finde eine Anwendung des Großen Umordnungssatzes im Beweis der Sub–σ–
Additivität in Lemma 11.30.
T2.4. (a) Sei µ∗ äußeres Maß auf X und A∗ das Mengensystem der µ∗ -messbaren Mengen. Zeige, dass jede Teilmenge einer µ∗ -Nullmenge
selbst in A∗ liegt und somit auch
eine µ∗ -Nullmenge ist. (Das heißt, das Maß µ∗ A∗ ist vollständig.)
(b) Sei (X, A) ein Messraum, x ∈ X und {x} ∈ A. Zeige, dass das Dirac-Maß δx auf
(X, A) genau dann vollständig ist, wenn A = P(X).