Multiplikation und Division
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6. Multiplikation und Division 6. Multiplikation und Division Lesen Sie zuerst in der Studieneinheit E4 das Kapitel l zur Einführung der Multiplikation, das Kapitel 3 zum kartesischen Produkt von Mengen sowie das Kapitel 4 zur Division. 6.1 Grundvorstellungen und Darstellungsformen der Multiplikation Die Multiplikation kann über verschiedene Grundvorstellungen verstanden und in Form unterschiedlicher konkreter Darstellungen eingeführt und behandelt werden. Bei den Grundvorstellungen unterscheidet man die Vorstellung von räumlichsimultanen Anordnungen, die Vorstellung von zeitlich-sukzessiven Handlungen und die kombinatorische Vorstellung. Hinzu kommt der Vorgang der Vervielfachung bei Größen. Die in Schulbuchwerken am häufigsten vorkommenden Darstellungsformen der Multiplikation sind das „Mengenmodell" und die „Größenmodelle". Daneben finden sich das „Operatormodell" und das „Modell des Kreuzproduktes". Darstellung durch Mengen Die Darstellung durch Mengen wird in der Literatur häufig als Mengenmodell bezeichnet. Beim Mengenmodell wird die Multiplikation über die Vereinigung paarweise elementfremder, gleichmächtiger, endlicher Mengen eingeführt. Im Produkt a • b gibt also der Multiplikand b die Kardinalzahl der einzelnen gleichmächtigen Mengen an, der Multiplikator a die Anzahl dieser Mengen. Das Ergebnis der Multiplikation liefert die Anzahlbestimmung der Vereinigungsmenge durch wiederholte Addition gleicher Summanden. Vielfältige Bezüge zur Umwelt werden durch Sachsituationen erreicht, in denen die Multiplikationen durch räumlich-simultane Anordnungen (vgl. E4, 1.1.D, 2. Beispiel) dargestellt werden. Diese Darstellungsform ist statisch. Die beiden folgenden Aufgaben sind dem Lehrwerk Nußknacker für das 2. Schuljahr entnommen und zeigen Darstellungen in analogischer, schematischer und symbolischer Form. Nachdem die Sachsituation sprachlich und mit Hilfe der Addition beschrieben worden ist, wird die Malschreibweise eingeführt. 108 6. Multiplikation und Division Abb. 64 aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Württemberg, Klett 1994, S.51 Zur Schematisierung und Systematisierung können die Malaufgaben durch gelegte Steckwürfeltürme und anschließend durch gezeichnete Karotürme und Punktefelder dargestellt werden. Abb. 65 aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Württemberg, Klett 1994, S.53 Die Darstellung der Multiplikation durch die Mengenvereinigung kann auch dynamisch als Abfolge von Handlungen, also in einem zeitlich-sukzessiven Vorgang, verstanden werden. Die Gesamtmenge entsteht dann schrittweise durch mehrmalige Wiederholung des gleichen Vorgangs (vgl. E4, 1.1.D, 1. Beispiel). Bei der Bestimmung der Elementzahl der Vereinigungsmenge wird auch hier die Multiplikation als wiederholte Addition gleicher Summanden gedeutet. 109 6. Multiplikation und Division Das folgende Beispiel stammt aus dem Unterrichtswerk Mathebaum 2 /Mathematik für Grundschulen (Schroedel 1994) und zeigt jeweils den zeitlich-sukzessiven Aufbau einer räumlich-simultanen Anordnung. Abb. 66 aus Mathebaum 2 / Mathematik für Grundschulen, Schroedel 1994, S.50 Darstellung durch Größen Beide Grundvorstellungen räumlich-simultan und zeitlich-sukzessiv finden auch in den Größenmodellen der Multiplikation ihre Anwendung. Neben der Verwendung von Stückgrößen in Form konkreter Dinge (z. B. Schritte, Flaschen, Punkte) werden im Unterricht vor allem die Größen Länge und Geldwert sowie der Zahlenstrahl zur Darstellung der Multiplikation verwendet. Die folgenden Abbildungen zeigen hierzu Beispiele aus verschiedenen Schulbüchern. Vervielfachen von Längen: Abb. 67 aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Württemberg, Klett 1994, S.55 110 6. Multiplikation und Division Eine weitere Möglichkeit zur Veranschaulichung der Multiplikation ergibt sich bei den Cuisinaire-Stäbchen (Längenmodell) durch die Verwendung des Malkreuzes. Abb. 68 nach Mathematik Buch 2, Baden-Württemberg, Bayerischer Schulbuchverlag 1984, 111. v. Roland Jenne Zahlenstrahl: Abb. 69 aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Württemberg, Klett 1994, S.56 Die Arbeit am Zahlenstrahl festigt die Auffassung der Multiplikation als fortgesetzte Addition. Dabei ist mit besonderer didaktischer Sorgfalt (z. B. bezüglich des Starts bei Null) und mit Materialeinsatz (Nachlegen der Sprungweiten mit Längenmaterial) vorzugehen. 111 6. Multiplikation und Division Vervielfachen von Geldbeträgen: Abb. 70 aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Württemberg, Klett 1994, S.54 Teil l der Abbildung stellt den zeitlich-sukzessiven Aspekt heraus, der untere Teil 2 den räumlich-simultanen. Darstellung durch Operatoren Die Vervielfachung bei Größen erfährt durch das Operatormodell eine neue Deutung. Sie stellt eine Verallgemeinerung der Vorgänge des Verdoppelns und Halbierens dar und kann in der Ebene und im Raum als zentrische Streckung gedeutet werden. Bei der Vervielfachung 3 • 5 m wird eine Strecke von 5 m auf das 3fache vergrößert und geht in eine Strecke der Länge J5 m über. Während vorher das Vervielfachen durch wiederholtes Addieren einer Länge oder einer anderen Größe veranschaulicht wurde, wird nun das Vervielfachen in einem einzigen Schritt erreicht. Im Unterricht kann dieser Vorgang durch Gummibänder verschiedener Längen veranschaulicht werden. 3 5m 3 Im 5. und 6. Schuljahr werden in Aufgaben des Typs 3 • 5 m unter Umständen beide Faktoren als Operatoren gedeutet. 5 3 1m 5m 15m 15 3 • 5 m sagt dann aus, dass die Strecke von l m Länge zunächst auf das 5fache und anschließend diese Strecke auf das 3fache vergrößert wird. Die beiden Vorgänge können durch einen einzigen Mal-Operator ersetzt werden, der die Vergrößerung der Im-Strecke auf 15 m bewirkt, nämlich den Mal-15-Operator. 112 6. Multiplikation und Division Die spielerische Verwendung von Multiplikationsmaschinen bereitet wie bei der Addition und Subtraktion auf die Operatorschreibweise vor, mit der auch eine Verbindung zur Division erreicht wird. Gleichzeitig kann hier der Übergang zum reinen Zahlenrechnen vorgenommen werden. Abb. 71 aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Württemberg, Klett 1994, S.100 Darstellung durch das Kreuzprodukt Als dritte wichtige Grundvorstellung der Multiplikation kommt der kombinatorische Aspekt im Kreuzprodukt-Modell zum Ausdruck (vgl. E4, 3.D). Für das Produkt 3 • 5 hat das Baumdiagramm folgende Form (vgl. E4, 3.3.F): Abb. 72 113 6. Multiplikation und Division Unter den visuellen Darstellungsformen ist allerdings die Tafeldarstellung (vgl. E4, 3.3.F und 3.1.D, Abb. 29) vorzuziehen, weil damit der Zusammenhang mit der im Mengenmodell enthaltenen Grundvorstellung zur Multiplikation über die Vereinigung gleichmächtiger Mengen sehr deutlich hergestellt wird. Das KreuzproduktModell sollte als eine weitere Grundvorstellung der Multiplikation benutzt werden. Doch ist es als einführendes Modell nicht geeignet (vgl. E4, 3.3.D). Während im Zuge der Reformbewegungen zur Neuen Mathematik sich viele Schulbuchwerke mit diesem Modell auseinandersetzten und einige die Multiplikation sogar damit einführten (vgl. z. B. Neunzig-Sorger Bd.2 1968), wurde in der Studieneinheit E4 eine gemäßigte Linie vertreten, die sich in der Rückschau als realistischer und bis heute noch als gültig erwiesen hat. Multiplikation als wiederholte Addition Ein völlig anderer Ansatz ergibt sich, wenn die Multiplikation formal als eine Kurzschreibweise für eine Folge spezieller Additionen definiert und dargestellt wird, z. B.: 3 5 = 5 + 5 + 5. Wie in E4, 1.3.D ausgeführt, bewegt sich ein derartiger Zugang auf der rein abstrakten Ebene der Zahl Verknüpfungen ohne Verwendung eines anschaulichen Bildes, die Multiplikation wird hierbei nicht aus konkreten Sachverhalten entnommen. Diese Form der Darstellung sollte deshalb erst nach der Einführung der Multiplikation über die Darstellung gleichmächtiger Mengen eingeführt werden und dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Addition an Sachaufgaben herauszustellen. 6.2 Grundvorstellungen und Darstellungsformen der Division Die Grundvorstellungen zur Division beruhen auf den Handlungen des Verteilens und Aufteilens (vgl. E4, 4.1.D, 4.2.D). Beim Verteilen wird eine Menge in eine vorgeschriebene Anzahl gleichmächtiger Teilmengen zerlegt. Aufgabe: 14 Perlen sollen gerecht an 3 Mädchen verteilt werden. Wie viele Perlen erhält jedes Mädchen? Wie viele Perlen bleiben übrig? 114 6. Multiplikation und Division Abb. 73 Beim Aufteilen wird eine Menge in gleichmächtige Teilmengen vorgeschriebener Größe zerlegt. Aufgabe: 14 Perlen sollen zu je 3 Stück in Beutel verpackt werden. Wie viele Beutel werden benötigt? Wie viele Perlen bleiben übrig? Abb. 74 Zur Einführung und Darstellung der Division benützt die Grundschule das Mengenmodell und auch das Größenmodell. Hierbei wird auf die oben beschriebenen Grundvorstellungen eingegangen, wie folgende Beispiele aus Schulbüchern zeigen. 115 6. Multiplikation und Division Darstellung durch Mengen Verteilen: Abb. 75 aus Denken und Rechnen 2, Baden-Württemberg, Westermann 1994, S.58 Da das Kind in der Regel noch nicht auf das kleine Einmaleins zugreifen kann, löst es die Aufgabe zeichnerisch. Das sukzessive Abstreichen der Elemente der zu verteilenden Menge entspricht auf der Handlungsebene der Vorgehensweise beim Kartenausteilen. Aufteilen: Abb. 76 aus Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Württemberg, Klett 1994, S.58 Auch das Aufteilen wird zunächst zeichnerisch gelöst. Es entspricht dem Bündeln. 116 117 6. Multiplikation und Division Darstellung durch Größen (hier: Längen) Verteilen: Ein Streifen Papier wird in eine vorgeschriebene Anzahl gleichlanger Streifen geschnitten. Wie lang sind diese Streifen? 8 cm Durch Falten in der Mitte erhält man: 4cm 4cm 8cm 2 = 4cm Nochmaliges Falten ergibt: 2cm 2cm 2cm 2cm 8cm 4 = 2cm Aufteilen: Abmessen und fortgesetztes Abschneiden von gleichlangen Streifen vorgeschriebener Länge führen auf die Division durch Aufteilen. 8 cm Das Abmessen und Abschneiden von Streifen jeweils der Länge 2cm ergibt: 2cm 2cm 2cm 2cm 8cm 2cm = 4 Schneidet man jeweils 3 cm ab, so erhält man 2 Streifen dieser Länge und einen Reststreifen der Länge 2cm. 3cm 3cm 2cm 118 6. Multiplikation und Division Darstellung am Zahlenstrahl Am Zahlenstrahl wird die Division als wiederholte Subtraktion des Divisors verstanden und kann durch die Handlungen des wiederholten Rückwärtsspringens bzw. Rückwärtszählens dargestellt werden. Darstellung durch Operatoren Die Handlungen und Vorstellungen des Verteilens und Aufteilens sind grundlegend für das Verständnis der Division und sind deshalb unverzichtbar bei ihrer Einführung. Zusätzliche Vertiefung der Fähigkeiten zur Division erwartet man vom Operatormodell. Seine Veranschaulichung findet es in Divisionsmaschinen (vgl. E4, 4.1.D). Diese können allerdings nur solche Zahlen verarbeiten, bei denen die Division aufgeht. Deshalb ist es sinnvoll, nur Elemente entsprechender Vielfachenmengen einzugeben (vgl. Abb. 71). Durch Operatoren kann der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division besonders deutlich gemacht werden. Operatorkette: 5 5 5 3 15 Operator und Umkehroperator: 5 3 15 5 Division als wiederholte Subtraktion In Analogie zur wiederholten Addition des zweiten Faktors bei der Multiplikation kann die Division formal durch die wiederholte Subtraktion des Divisors dargestellt werden: 15:5 = 3 wegen 15-5-5-5 = 0 Während bei der Multiplikation das wiederholte Addieren für das „Ausrechnen" tatsächlich eine Rolle spielt, wird das „Ausrechnen" bei der Division in der Regel durch Zuhilfenahme der entsprechenden Multiplikationsaufgabe bewerkstelligt: 15 : 5 = 3 wegen 3 • 5 = 15. Bei den Operationen der Multiplikation und Division ist es wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler vielerlei Handlungserfahrungen in Sachzusammenhängen erhalten. Insbesondere sollte keine Einengung der Multiplikation auf wiederholte Addition bzw. der Division auf wiederholte Subtraktion erfolgen. 119 6. Multiplikation und Division 6.3 Erarbeitung des Zahlenraumes durch Multiplikation und Division Die Rechenoperationen Multiplikation und Division geben den Schülerinnen und Schülern noch wirkungsvollere Instrumente zum flexiblen und effektiven Operieren im Zahlenraum in die Hand, als dies für die Addition und Subtraktion der Fall war. Neben der Kenntnis des Stellenwerts und des Überschlagsrechnens stellt die Beherrschung des Einmaleins die Voraussetzung für die Erarbeitung größerer Zahlenräume dar. Hierzu gehören auch Rechenstrategien und die schriftlichen Rechenverfahren. Wir gehen näher auf das kleine Einmaleins, auf Rechenstrategien sowie speziell auf die Division mit Rest ein. 6.3.1 Rechenstrategien beim Multiplizieren und Dividieren Die Rechengesetze der Multiplikation und Division lernen die Grundschülerinnen und -schüler im allgemeinen in Form von besonders bezeichneten Aufgaben, wie Tausch- und Nachbaraufgabe, oder auch als Rechenvorteile kennen. Wie bei der Addition und Subtraktion können die Rechengesetze und -vorteile als heuristische Rechenstrategien dienen, um neue Aufgaben auf bekannte zurückzuführen. Tauschaufgaben: Die Tauschaufgaben beruhen auf dem Kommutativgesetz und gestatten es, unbekannte Aufgaben auf bekannte zurückzuführen. Aufgabe: Mögliche Vorgehensweise: Begründung: 3 15 = 3 15 = 15 3 = 45 3 15 = 15 3 und 15 3 = 45 Zerlegen einer Aufgabe in leichtere Teilaufgaben: a) unter Anwendung des Distributivgesetzes: Aufgabe: Mögliche Vorgehensweise: Begründung: 15 3 = 10 3 = 30, 5 3 = 15, 30 + 15 = 45 15 = 10 + 5 und 15 3 = 10 3 + 5 3 Aufgabe: Mögliche Vorgehensweise: Begründung: 36 : 3 = 30 : 3 = 10, 6 : 3 = 2, 10 + 2 = 1 2 36 = 30 + 6 und 36 : 3 = 30 : 3 + 6 : 3 b) unter Anwendung des Assoziativgesetzes: Aufgabe: Mögliche Vorgehen s weise: Begründung: 24 5 = 24 = 4 6, 6 5 = 30 und 4 30 = 120 24 5 = 4 6 5 = 4 30 120 6. Multiplikation und Division Zwei Spezialfälle dieses Gesetzes werden auch bei der Erarbeitung des kleinen Einmaleins verwendet: Verdoppelt bzw. halbiert man in einem Produkt einen Faktor, so ist das Ergebnis doppelt bzw. halb so groß (vgl. 6.3.2). Nachbaraufgaben: Hier wird die Zerlegung einer Aufgabe in eine leichtere benachbarte Aufgabe der betreffenden Einmaleins-Reihe mit Hilfe des Distributivgesetzes durchgeführt. Aufgabe: Mögliche Vorgehensweise: Begründung: 9•8= 10 • 8 = 80, 80 - 8 = 72 9 = 10 - 1, 9 • 8 = 10 • 8 - 1 • 8 Dezimale Analogieaufgaben: Die Anwendung des Assoziativgesetzes der Multiplikation auf volle Zehner- oder Hunderterzahlen erlaubt es in vielen Fällen, den ersten Teilschritt der Rechnung ohne die Nullen auszuführen. Aufgabe: Mögliche Vorgehensweise: Begründung: 8 • 70 = 8 • 7 = 56, 56 • 10 = 560 70 = 7 • 10, 8 • 70 = 56 • 10 Aufgabe: Mögliche Vorgehensweise: Begründung: 80 : 4 = 8 : 4 = 2, 2 • 10 = 20 80 = 8 • 10, 80 : 4 = 2 • 10 Umkehraufgaben: Aufgabe: Mögliche Vorgehensweise: Begründung: 36: 4 = 9 • 4 = 36, also 36 : 4 = 9 9 • 4 = 36 Konstanz des Produkts: Ein Produkt bleibt konstant, wenn ein Faktor halbiert und gleichzeitig ein anderer verdoppelt wird: 16 • 5 = 8 • 10 = 4 • 20 = 2 • 40 = l • 80 = 80 Konstanz des Quotienten: Ein Quotient bleibt konstant, wenn sowohl Dividend als auch Divisor mit demselben Faktor multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert, also z. B. gleichzeitig halbiert oder verdoppelt werden: 32:8 = 16:4 = 8 : 2 = 4 : 1 = 4 121 6. Multiplikation und Division 6.3.2 Erarbeitung des kleinen Einmaleins und Aufgabennetze Die Grundaufgaben der Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 20 finden bei der Multiplikation und Division ihre Entsprechung in den multiplikativen Grundaufgaben im Zahlenraum bis 100, dem sogenannten kleinen Einmaleins, und ihrer Umkehrung. Die Erarbeitung des kleinen Einmaleins stützt sich einerseits auf einige leichte Kernaufgaben, im Unterricht häufig auch als Königsaufgaben bezeichnet, die der Schüler und die Schülerin auswendig gelernt hat, und zum ändern auf Rechenstrategien, mit denen die schwierigeren Aufgaben auf leichtere zurückgeführt werden. Langfristiges Lernziel ist es, dass am Ende des 3. Schuljahres alle Aufgaben des kleinen Einmaleins bei jedem Schüler und jeder Schülerin rasch verfügbar und jederzeit abrufbar sind. Am Beispiel des Einmaleins der Sieben soll ein mögliches Vorgehen gezeigt werden. Es ist sinnvoll, die Aufgaben 1•7, 2•7, 10•7 sowie 5•7 als Kernaufgaben zu deklarieren. Die anderen Aufgaben derselben Einmaleins-Reihe können dann allein von den Kernaufgaben ausgehend unter ausschließlicher Zuhilfenahme der beiden Strategien Verdoppeln bzw. Halbieren des ersten Faktors sowie Zerlegen unter Verwendung der Nachbar auf gäbe erarbeitet werden. Verdoppeln des ersten Faktors des Produkts: 4•7 = 2 • 7 = 14 4 • 7 = 2 • 14 = 28 Aufgabe: bekannt: Rechnung: Zerlegen unter Verwendung der Nachbaraufgabe: 3•7= 2 • 7 = 14 3 • 7 = 2 •7 + 1 •7 = 14 + 7 = 21 Aufgabe: bekannt: Rechnung: Innerhalb der Einmaleins-Reihe bietet sich mit diesen Strategien ein schrittweises Erarbeiten an, z. B.: (1) 2 7 = 14 4 7 = 28 (2) 2 7 = 14 3 7 = 21 (3) 5 7 = 35 6 7 = 42 (4) 10 7 = 70 9 7 = 63 (5) 6 7 = 42 7 7 = 49 8 7 = 56 3 7 = 21 6 7 = 42 oder 8 7 = 56 7 7 = 49 oder Etwas anspruchsvoller ist es, auch folgende Denkschritte anzuwenden: (6) 7 7 = 5 7 + 2 7 (7) 8 7 = 10 7 - 2 7 122 6. Multiplikation und Division Die Erarbeitung der Einmaleins-Reihen kann in vielfältiger Weise und mit unterschiedlichen Rechen Strategien durchgeführt werden, wobei sich viele Schülerinnen und Schüler beim Entdecken von Strategien als sehr kreativ erweisen können. Wichtig ist die Verwendung des Kommutativgesetzes in Form von Tauschaufgaben, um die Anzahl der auswendig zu lernenden Aufgaben zu reduzieren: 3 7 =7 3 oder 7 8 =8 7 Der Satz der Kernaufgaben sollte noch um alle Aufgaben mit Quadratzahlen wie 7 7 erweitert werden, was vor allem das Rechnen bei den höheren Reihen erleichtert. 6.3.3 Division mit Rest Divisionsaufgaben, bei denen die Ergebnisse nicht ganzzahlig sind, sondern von null verschiedene Divisionsreste aufweisen, werden je nach Bundesland und verwendetem Schulbuchwerk in drei verschiedenen Dar Stellung s formen geschrieben. Sie werden am Beispiel 1 4 : 3 vorgestellt. Restschreibweise: 14 : 3 = 4 Rest 2 Zerlegungsschreibweise: 14 = 3 4 + 2 Divisionsschreibweise: 14: 3 = 4 + 2 : 3 Während bis Anfang der siebziger Jahre die Restschreibweise in der Grundschule üblich war, rückte man im Zuge der fachwissenschaftlichen Reformbemühungen von dieser Darstellungsform ab und gab statt dessen der Zerlegungsschreibweise den Vorzug. Ausschlaggebend war hierzu vor allem der Gesichtspunkt, dass bei der Restschreibweise das Gleichheitszeichen nicht korrekt im mathematischen Sinne verwendet wird. In der Folgezeit wiesen verschiedene Untersuchungen daraufhin, dass von allen drei Schreibweisen für die Grundschülerinnen und -schüler die Restschreibweise am verständlichsten ist. Schwierigkeiten treten bei der Zerlegungsschreibweise dadurch auf, dass die Divisionsaufgabe von der Schreibweise her nicht mehr erkennbar ist. Zudem geben ein erhöhter Schreibaufwand und der Umstand, dass das Ergebnis mitten in der Aufgabe steht, Anlass zu einer Reihe typischer Fehler. Bei der Divisionsschreibweise wirken sich die beiden Divisionszeichen und die neu entstandene und unlösbare zweite Divisionsaufgabe als gravierende Nachteile aus. Außerdem muss hier die Punkt-vor-Strich-Regel angewandt werden. Die Restschreibweise kann im Gegensatz zur Zerlegungsschreibweise auch in der Sekundarstufe fortgesetzt werden, indem der Divisionsrest durch eine Bruchzahl ausgedrückt wird, womit der Übergang zur Divisionsschreibweise vollzogen wird. Ein Abwägen dieser Vor- und Nachteile hat dazu geführt, dass heutzutage die Restschreibweise bevorzugt verwendet wird. 6. Multiplikation und Division 6.4 Weitere Themen zur Multiplikation und Division 6.4.1 Rechnen im Hunderter- und Tausenderraum Die Behandlung der Multiplikation und Division größerer Zahlen in mündlicher und halbschriftlicher Form lässt sich auf der Grundlage des kleinen Einmaleins und mit Hilfe der in 6.3.2 besprochenen Rechen Strategien durchführen. Die Aufgaben des großen Einmaleins werden bis auf einfache Fälle (z. B. 11, 12, 15 und 25 in Klasse 5) nicht gesondert gelernt, sondern durch Anwendung des Distributivgesetzes auf Aufgaben des kleinen Einmaleins zurückgeführt. Die in 5.2.4 für die Addition und Subtraktion gemachten Ausführungen können direkt auf die Multiplikation und Division übertragen werden. Für die Erarbeitung der Gesetzmäßigkeiten stehen auch hier verschiedene Darstellungsmittel zur Verfügung: Hundertertafel, Mehr-System-Blöcke und Feld-Balken-Punkt-Darstellung, Zahlenstrahl, Rechengeld und Stellenwerttafel. Dezimale Analogieaufgaben Zum Erkennen der Analogiebeziehungen ist der Einsatz von Bündelmaterial unverzichtbar, damit das Kind nicht mechanisch einfach Nullen anhängt. Halbschriftliches Rechnen Bei der halbschriftlichen Multiplikation und Division wird eine Aufgabe in leichtere Teilaufgaben zerlegt, die dann zwar im Kopf ausgeführt, aber zur Entlastung des Kurzzeitgedächtnisses schriftlich notiert werden. Zur Erkundung der Vor- und Nachteile verschiedenartiger Zerlegungen stellt das halbschriftliche Rechnen ein wichtiges Werkzeug bei der Erarbeitung des Hunderter- und Tausenderraumes dar und sollte vor Einführung der durch den Lehrplan festgelegten Schreibweise der schriftlichen Rechenverfahren ausreichend geübt werden. 123 124 6. Multiplikation und Division Abb. 77 aus Mathematik 3, 3. Jahrgangsstufe deutsch-griechisch, Institut für Film und Bild in Wissenschaft und Unterricht 1984 Im folgenden werden für die Aufgaben 7 • 48 und 196 : 4 mit Hilfe des Distributivgesetzes verschiedene Zerlegungen des zweiten Faktors bzw. des Dividenden durchgeführt. Bei der Division ist darauf zu achten, dass alle neu auftretenden Quotienten auch natürliche Zahlen ergeben. (a) (b) 7 48 7 40 7 8 7 48 = = 280 = 56 = 336 = = 40 = 9 = 49 (d) (c) 7 48 7 20 7 20 7 8 7 48 (e) 196 160 36 196 4 4 4 4 7 48 7 50 7 2 7 48 = = 140 = 140 = 56 = 336 = = 350 = 14 = 336 (f) 196 120 40 36 196 4 4 4 4 4 = = 30 = 10 = 9 = 49 196 200 4 196 4 4 4 4 = = 50 = 1 = 49 Auch bei Divisionen, die aufgehen, muss das Kind darauf achten, solche Zerlegungen zu wählen, bei denen die Teilquotienten natürliche Zahlen sind. Geeignete Zerlegung 196 7 = 140 7 = 20 56 7 = 8 196 7 = 28 Ungeeignete Zerlegung 196 7 = 160 7 = ? 36 7 = ? 196 7 = 125 6. Multiplikation und Division Strukturierung der Aufgaben nach dem Schwierigkeitsgrad Die Aufgaben für die Multiplikation und Division können nach steigendem Schwierigkeitsgrad in vier Gruppen gegliedert werden. Zur Verdeutlichung der Schwierigkeitsstufen werden für die Gruppen 2 - 4 die Rechnungen jeweils in halb schriftlicher Form gegeben. 1. Aufgaben mit vollen Zehnerzahlen: 8 • 30 = 8 • 3 Z = 24 Z = 240 2. Aufgaben mit Zehner-Einer-Zahlen: 8 • 36 8 • 30 8• 6 8 • 36 = = 240 = 48 = 288 3. Aufgaben mit Hunderter-Zehner-Zahlen: 4 • 240 = 4 • 200 = 800 4 • 40 = 160 4 • 240 = 960 4. Aufgaben mit Hunderter-Zehner-Einer-Zahlen: 4 • 248 4 • 200 4 • 40 4• 8 4 • 248 = = = = = 800 160 32 992 Die halbschriftliche Form der Division kann entsprechend gestuft nach dem Schwierigkeitsgrad erarbeitet werden. 6.4.2 Multiplikation und Division mit der Null Multiplizieren und Dividieren mit null kommen als Teilaufgaben in den schriftlichen Normalformen vor und bereiten erfahrungsgemäß vielen Schülerinnen und Schülern große Verständnisschwierigkeiten. Zusätzlich zum Aufstellen von Merksätzen wie „Durch null darf man nicht dividieren!" ist auch hier die Veranschaulichung und Begründung durch Verwendung geeigneter Darstellungsmodelle notwendig. Beispielsweise erfolgt eine Visualisierung der Aufgabe 4 • 3 im Längenmodell durch Hintereinanderlegen von vier Stäben der Länge 3cm oder 3dm oder 3m. Bei der Darstellung mit dem Zahlenstrahl werden beginnend bei der Null vier Sprünge der Länge 3 in eine Richtung ausgeführt. Frage: Bei welcher Zahl lande ich, wenn ich vom Nullpunkt des Zahlenstrahls ausgehe und vier Sprünge der Länge 3 ausführe? Dementsprechend kann die Aufgabe 4 • 0 als vier Stäbe oder Sprünge der Länge null interpretiert werden, die Aufgabe 0 • 4 dagegen als 0 Sprünge der Länge 4. 126 6. Multiplikation und Division In analoger Weise kann die Division im Zahlenstrahlmodell durch Rückwärtssprünge am Zahlenstrahl gedeutet werden. Bei der Aufgabe 6 : 2 stellt sich dann die Frage: Wie viele Sprünge der Länge 2 ergeben sich, um von der Zahl 6 auf dem Zahlenstrahl zur Null zu gelangen? Antwort: 3 Sprünge der Länge 2. Die Division durch null wird entsprechend interpretiert. Für die Aufgabe 6 : 0 lautet die Frage: Wie viele Sprünge der Länge 0 ergeben sich, um auf dem Zahlenstrahl von 6 nach 0 zu gelangen? Antwort: So viele Sprünge man auch macht, man kommt von der 6 nicht weg. Also hat die Aufgabe keine Lösung. Dass eine Division durch 0 nicht möglich ist, wird auch einsichtig, wenn man die Division als Umkehroperation der Multiplikation auffasst: 6:2= 2 = 6, Antwort: 6:0= 0 = 6, Antwort: Geht nicht! 3 6.4.3 Typische Fehler beim kleinen Einmaleins und beim nichtschriftlichen Multiplizieren und Dividieren Für die Beherrschung des kleinen Einmaleins sind die erworbene Sicherheit in der Ausführung der Rechnung und die schnelle Verfügbarkeit des Ergebnisses die wichtigsten Kriterien. Folgende typische Fehler werden beobachtet: 1. Fehler bei hohen Einmaleins-Kombinationen zwischen 6 • 6 und 9 • 9. Die höchsten Fehlerhäufigkeiten innerhalb dieser Kombinationen ergeben sich bei allen Produkten mit 8. 2. Fehler mit den beiden Produkten 8 • 4 und 9 • 4 und ihre Umkehrungen. 3. Nullfehler: Multiplikationsaufgaben mit null, und zwar unabhängig davon, ob die Null an erster oder zweiter Stelle steht. Fast die Hälfte aller im 3. und 4. Schuljahr auftretenden Einmaleins-Fehler entfallen auf die Nullfehler, die sich durch gezielte Übungen innerhalb relativ kurzer Zeit erheblich reduzieren lassen. Andererseits zeigen Untersuchungen, dass die anderen Einmaleins-Fehler auch in der Sekundarstufe in ihren Häufigkeiten im wesentlichen unverändert bleiben. Die größeren Fehlerhäufigkeiten bei den hohen Einmaleins-Kombinationen, vor allem bei den Produkten mit 7 und 8, erklären sich dadurch, dass das Ergebnis, falls es als auswendig gelerntes Wissen nicht zur Verfügung steht, aus den Kernaufgaben nur in zwei Schritten zu erreichen ist. Hinzu kommt, dass bei den hohen Kombinationen häufiger Zehnerüberschreitungen auftreten als bei den niedrigeren. 127 6. Multiplikation und Division Beim nichtschriftlichen Multiplizieren und Dividieren können häufig folgende Fehlerarten beobachtet werden: Verzählen bei wiederholter Addition und Subtraktion: Bei den Multiplikationsaufgaben wird sich beim Vorwärtszählen, bei den Divisionsaufgaben beim Rückwärtszählen um eine Schrittlänge verzählt: 4• 4 =12 48 : 8 = 7 Nullfehler: 0• 8 = 8 5• 0 = 8 3: 0= 0 Perseverationsfehler, d. h., dominierende Ziffern wirken nach: 3• 6 = 1 6 9 • 90 = 9 9 0 330 : 3 = 1 3 0 Fehlerhafte Anwendung von Rechenstrategien: 9 • 4 = 31 gerechnet: 1 0 •4 - 1 •9 = 31 7 • 81 = 63 gerechnet: 7•8 = 56, 7• l = 7, 56 + 7 = 63 155 : 5 = 301 gerechnet: 150:5 = 30, 5 •5 = 1, also 155:5 = 301 96 : 16 = 10 gerechnet: 90:10 = 9, 6 : 6 = 1 , also 96:16 = 10 Fehlerhafte Multiplikation und Division von reinen Zehnerzahlen: 400 • 50 = 200 Schwierigkeiten beim Umgang mit den Endnullen 900 : 30 = 3 Schwierigkeiten beim Umgang mit den Endnullen 7 • 80 = 567 gerechnet: 7 •8 = 5 6 , 7 •0 = 7 (Nullfehler!), also 7 •80 = 567 300 : 60 = 20 gedankliches Vertauschen von Dividend und Divisor 1000 :200 = 500 gerechnet: 10:2 = 5, an das Teilergebnis werden zwei Nullen „angehängt" 6. Multiplikation und Division 6.5 Methodisch-didaktische Anregungen zur Multiplikation und Division Im folgenden werden einige Lernspiele, mathematische Rätsel und Problemlöseaufgaben vorgestellt. 1. Nicht ärgern beim Würfeln (für 2 - 4 Spieler ab 3. Schuljahr) Dieses Spiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 9/1985 und 4/1985) entstand in Anlehnung an das bekannte Spiel „Mensch ärgere Dich nicht!". In dieser Fassung geht es um das Erkennen von Vielfachen der Zahlen 6, 7, 8 und 9 und damit um ein Üben der entsprechenden Einmaleins-Reihen. In der vierten Klasse kann es bei der Vorbereitung auf die schriftliche Division eingesetzt werden. Die Vielfachen von 6, 7, 8 und 9 wurden so über das Spielfeld verteilt, dass die Gewinnchancen für alle etwa gleich sind. Nach dem Spiel kann man das Entwerfen eigener Spielpläne zu anderen Einmaleins-Reihen anregen. Abb. 78 Material: Ein Spielwürfel und für jeden Mitspieler vier Setzer in einer Farbe. Ziel: Sieger ist, wer zuerst alle seine Setzer in seine Zielfelder gebracht hat. 128 6. Multiplikation und Division Spielregeln: 1) Die Mitspieler verteilen die Einmaleins-Reihen unter sich und besetzen die Ausgangsfelder mit ihren vier Setzern. 2) Es wird der Reihe nach gewürfelt und gesetzt. 3) Mit einer gewürfelten „6" kommt man aus dem Ausgangsfeld in das schraffierte erste Spielfeld. Hierbei hat man drei Versuche. 4) Wenn man beim Würfeln auf eine Zahl aus der eigenen Einmaleins-Reihe kommt, darf man noch einmal würfeln und setzen. Dabei kann man auch einen seiner anderen Setzer bewegen. 5) Wer auf ein besetztes Feld kommt, darf den entsprechenden Setzer hinauswerfen. Dieser Setzer muss zurück in sein Ausgangsfeld. 2. Würfelspiel (für 2 - 4 Spieler ab 3. Schuljahr) Abb. 79 129 6. Multiplikation und Division Hierbei handelt es sich um ein Würfelspiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 12/ 1985 und 6/1985), bei dem die mündliche Division im Bereich des kleinen Einmaleins geübt werden soll. Material: Ein Spielwürfel, ein Kartenspiel mit den Kartenwerten von 2 bis 10 (36 Karten) und für jeden Mitspieler ein Setzer. Ziel: Als erster das Zielfeld erreichen. Spielregeln: siehe Abb. 79 Hinweise: Die Austauschmöglichkeit der Spielkarten vor dem Würfeln bewirkt, dass die Spieler vorher die Ergebnisse der nächsten Felder ausrechnen, um dann zu entscheiden, ob sie Karten ablegen wollen oder nicht. Die Mitspieler kontrollieren, ob nochmal gewürfelt werden darf. Dazu muss die abgelegte Karte offen neben den Kartenstapel gelegt werden. Ist der verdeckte Kartenstapel abgeräumt, werden die abgelegten Karten gemischt und verdeckt auf einen Stapel gelegt. Wenn mehrere Durchgänge gespielt werden, empfiehlt sich die Anlage einer Tabelle mit den Namen der Mitspieler, in die dann nach jedem Durchgang die Minuspunkte eingetragen werden. Der jeweilige Sieger bleibt straffrei. Varianten: 1) Man verabredet als zusätzliche Regel das „Rauswerfen". 2) Statt zwei Karten erhält jeder Spieler drei oder vier Karten. 3) Man darf, wenn man die passenden Karten hat, in einer Runde auch noch ein drittes Mal würfeln. 4) Die Schüler zeichnen sich einen eigenen Plan mit neuen Aufgabenverteilungen und spielen darauf. 3. Schlangen und Leitern (für 2 - 4 Spieler ab 2. Schuljahr) In diesem Spiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 12/1986 und 6/1986) werden Kopfrechenübungen zur Division mit Rest mit dem Spaß und der Spannung des Spiels „snakes and ladders" verbunden, das im englischen Sprachraum gern zur Unterhaltung bei Kinderparties gespielt wird. Die vorliegende Konzeption ist ab dem 2. Schuljahr einsetzbar, nachdem die Einmaleins-Reihen 2, 3 und 4 sowie die Division mit Rest eingeführt wurden. Ziel: Ziel des Spiels ist es, möglichst rasch das Zielfeld 64 zu erreichen. Einen Vorteil erhält hierbei ein Spieler, wenn er auf einem Feld mit unterem Leiterende landet. Bei Division der Feldnummer durch die gewürfelte Augenzahl wird der Rest bestimmt, dessen Größe die Anzahl der Felder angibt, die der Spieler die Leiter entlang vorrücken kann. Material: Ein Spielplan, ein Spielwürfel mit den Augenzahlen 2, 3, 4 sowie ein Setzer für jeden Mitspieler. Der Würfel kann aus einem normalen Spielwürfel oder auch Rohwürfel hergestellt werden, indem man die gegenüberliegenden Flächen jeweils mit den Augenzahlen 2, 3 und 4 beklebt. 130 6. Multiplikation und Division Abb. 80 Regeln: 1) Es wird reihum gewürfelt. Jeder Spieler rückt seinen Setzer um die gewürfelte Augenzahl in Reihenfolge der nummerierten Felder vor. 2) Landet ein Spieler auf einem Feld mit Leiteranfang, so darf er nochmals würfeln. Die Feldnummer wird durch die jetzt gewürfelte Augenzahl geteilt und der Rest ermittelt. Der Wert des Restes gibt an, um wie viele Felder der Spieler mit seinem Setzer die Leiter hochklettern darf. Beispiel: Feld mit Nummer 11. Division durch die gewürfelte Augenzahl 2, 3, 4 ergibt als Rest die Werte l, 2 und 3. Das bedeutet, dass der Spieler bei der 131 6. Multiplikation und Division gewürfelten Augenzahl 2 auf Feld 22, bei 3 auf Feld 27 und bei 4 auf Feld 28 vorrücken darf. Abb. 8l 3) Landet ein Spieler auf einem Feld mit Schlangenkopf, so muss er zurück zum Ende der Schlange. 4) Sieger ist, wer als erster durch das Ziel bei 64 geht. 4. Orangen, Orangen (ab 3. Schuljahr) Ein großer Behälter wird von einer Maschine mit Orangen beladen. In der ersten Minute ist eine Orange im Behälter. In der zweiten Minute sind zwei Orangen im Behälter. In der dritten Minute sind vier Orangen im Behälter. In der vierten Minute sind acht Orangen im Behälter. Nach zehn Minuten ist der Behälter ganz gefüllt. Nach wie vielen Minuten war er halb voll? (Antwort: In jeder Minute verdoppelt sich der Inhalt des Behälters. Da er nach 10 Minuten ganz gefüllt ist, ist er nach 9 Minuten halb voll.) . 5. Die Schnecke im Brunnen (ab 3. Schuljahr) Eine Schnecke sitzt im Brunnen und möchte heraus. Der Brunnen ist 16 m tief. Jeden Tag kriecht sie vier Meter hoch, rutscht aber nachts wieder einen Meter zurück. Am wievielten Tag hat sie den Rand erreicht? (Antwort: In den ersten vier Tagen kriecht die Schnecke an jedem Tag 4 m hoch und rutscht in jeder Nacht l m zurück, also 4 • 4m - 4 • lm = 4 • 3 m = 1 2 m . Am Ende des 5. Tages erreicht die Schnecke den Brunnenrand, somit 12m + 4m =16m oder 5 • 4 m - 4 m = 1 6 m.) 132 6. Multiplikation und Division 6. Ein Münzentrick (ab 3. Schuljahr) Der Zauberer bittet sein Publikum um eine 2-Pfennig- und eine 5-Pfennig-Münze. Die beiden Münzen werden nun an zwei der Zuschauer so ausgegeben, dass der Zauberer nicht weiß, welche Pfennig-Münze wer bekommt. Der Zauberer gibt nun jedem der beiden Personen je eine Liste mit zehn (oder auch mehr) verschiedenen Zahlen. Jede Person wählt eine der Zahlen auf seiner Liste aus und multipliziert sie mit dem Wert der Münze. Danach werden die beiden Ergebnisse addiert und die Summe dem Zauberer mitgeteilt. Der Zauberer kann nun sofort sagen, wer welche Münze bekommen hat. Erklärung: Einer der beiden Zuschauer erhält eine Liste mit nur ungeraden, der andere mit nur geraden Zahlen. Der Zuschauer mit den geraden Zahlen wird bei seiner Rechnung stets ein geradzahliges Ergebnis erhalten. Der Zuschauer mit den ungeraden Zahlen wird bei seiner Rechnung dagegen entweder ein ungeradzahliges oder ein geradzahliges Ergebnis erhalten, je nachdem er die 5-Pfennig- oder 2-PfennigMünze auswählt. Aus diesem Umstand kann der Zauberer auf folgendes schließen: Wenn die Endsumme eine ungerade Zahl ist, so besitzt der Zuschauer mit der Liste der ungeraden Zahlen die 5-Pfennig-Münze; wenn die Endsumme dagegen gerade ist, so wird dieser Zuschauer die 2-Pfennig-Münze haben. 133
