VektorenMatrizen

Lösungen zu den Übungen mit Matrizen
1.1. Tabelle:
1.W
2.W
3.W
4.W
Hopfen in ME
10
8
8
11
Malz in ME
6
4
7
9
M: a12 = 6
MT : a12 = 8
a32= 7 a14 = --a32= ---- a14 = 11
Beide Darstellungsweisen sind gleichwertig, aber die Reihenfolge in der Tabelle ist eine andere.
 10

8
M
8

 11
6

4
7

9
 10
MT  
6
8
8
4
7
11 

9
Die Tabelle zur transponierten Matrix:
1.W 2.W 3.W 4.W
Hopfen 10
8
8
11
Malz
6
4
7
9
1.2. Interpretation der Matrix: In einer Bäckerei werden zur Erzeugung von 3 verschiedenen Produkten die
folgenden Mengen pro Stück an Mehl, Zucker und Milch benötigt. Erstellen Sie die Bedarfsmatrix.
Produkte x Rohstoffe:
Rohstoffbedarf in ME Mehl Zucker Milch
1.Produkt benötigt:
10
6
3
2.Produkt benötigt:
8
4
5
3.Produkt benötigt:
8
7
3
 10 8 8 


Transponierte Matrix mit Rohstoffe x Produkte:  6 4 7  sagt das Gleiche aus, aber Mehl, Zucker und
 3 5 3


Milch sind in Zeilen angegeben, die Produkte liest man in Spalten:
Rohstoffe in ME x Produkte
Rohstoffbedarf in ME 1.Produkt benötigt: 2.Produkt benötigt: 3.Produkt benötigt:
Mehl
10
8
8
Zucker
6
4
7
Milch
3
5
3
1.3.
Rohstoffmatrix: benötigte Rohstoffe in g pro Stück x Produkt-Sorte
 50 0 
 50 0 40 


 0 50  Transponierte Matrix: Produkt-Sorte x benötigte Rohstoffe in g pro Stück:  0 50 40 


 40 40 


Die transponierte Matrix hat die gleiche Aussage, nur sind die Rohstoffe nun in Spalten angeordnet.
1
1.4 Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten lösen
Hinweis für TI82: entweder man schreibt sich ein kurzes Programm für das Lösen von Gleichungen mit 3
Unbekannten oder man löst es über den Matrix-Editor.
Programmvorschlag: Der Vorschlag ist eine sehr vereinfachte Variante, aber sie kann die Aufgabe sehr
vereinfachen! Sie könnte zur Eingabenerleichterung mit Input „a11“ usw. verbessert werden.
PROGRAM:GLEICH3
:ClrHome
:disp "Zeilenweise eingeben"
:Prompt L,M,N,A
:Prompt O,P,Q,B
:Prompt R,S,T,C
:LPT+MQR+NOS-NPR-NOT-QSLD
:APT+MQC+NBS-NPC-NBT-QSAU
:LBT+AQR+NOC-NBR-AOT-QCLV
:LPC+MBR+AOS-APR-MOC-BSLW
:U/DX
:V/DY
:W/DZ
:Disp "X=",X
:Disp "Y=",Y
:Disp "Z=",Z
:STOP
Hinweis für TI89 : SOLVE: Eingabe der 3 Zeilen, mit AND verknüpfen oder mit
simult und 2 Matrizen:
Die Matrizen kann man auch über die Zeile in home eingeben
[1,3,-2;2,1,3;1,-1-4]STOM1 und [7;2;-3]STOM2 dann simult (M1,M2)
1 3

a)  2 1
 1 1

1 1

b)  2 3
 1 1

3

c)  2
4

2 7 

3 2  Lösung x1 = 2
4 3 
4 15 

3 1  Lösung x1 = 1
1 2 
1 1 5 

3 4 10  Lösung x1 = -1
3 2 20 
x2 = 1
x2 = 2
x2 = 20
x3 = -1
x3 = 3
x3 = 18
1.5 Gleichungssystem lösen
3

a)  8
 2

1

b)  1
2

3 3
10 2
1 3


x2 = -1
x3 = -4
 Lösung x1 = 3


1 1 2 

2 1 6  keine Lösung 2.3. Zeile widersprüchlich: Im Rechner letzte Zeile 0 0 0 1 ist falsch!
4 2 6 
0
6
5
2
 4

c)  2
 3

5
10
2
3
1
3
29 

35  Lösung x1 = 3
20 
x2 = 4
x3 = -1
5 3 0 
2


d)  4 4 1
0  keine eindeutige Lösung : Unendlich viele Lösungen möglich. Letzte Zeile 000 0 ist
 4 2 0
0 

wahr, aber eine Zeile ist verloren, daher kann man eine Variable beliebig setzen.
1.6. Importfirma
Sorte1 gut
Sorte2 mittel
 10,8
 7,6

7,6
10,8
Mischung 1: kg Preis €/kg Mischung 2: kg Preis €/kg
x
10,8
y
7,6
y
7,6
x
10,8
Preis gesamt:
4 760
4 440
4760 
4440 
Lösung mit Technologie: x = 300, y = 200
Die Firma kauft 300 kg der 1. Sorte und 200 kg der 2. Sorte.
1.7. Möbel
50
45 7200 
 20


5
15 2150  Lösung: M1: 100
M2: 50
M3: 60
 10
 5

15
10 1850 

Von der 1. Möbelart können 100 Stück, von der 2. Art 50 Stück und von der 3. Art 60 Stück erzeugt werden.
1.8. Münze
 0,5

 0,3
 0,2

0,6
0,1
0,3
0
1
0
0,43 

0,38  Lösung: Legierung 1: 50% Legierung 2: 30% Reines Kupfer 20%
0,19 
2ab.1. Operieren
 122 112 120 
 146.4 134.4 144 




Bruttopreise= PF 1.2 =  214 200 220   1,2=  256.8 240 264 
 168 170 165 
 201.6 204 198 




3
2ab.2.
Operieren und Modellieren P …Produkte M…Monate
 124 112   89 62   35 50 

 
 

 Unterschiede: PM(W-B) =  298 195  -  131 51  =  167 144 
 214 202   109 74   105 128 

 
 

Die Bregenzer Filiale verkauft in beiden Monaten generell weniger als die Filiale in Wien.
Den größten Unterschied weist das Produkt P2 im Monat Juni auf: Bregenz verkauft um 167 Stück weniger.
Der geringste Unterschied ist im Monat Juni beim Produkt P1. Wien verkauft hier nur um 35 Stück mehr.
 213 174 


 Gesamtverkauf: PM(W+B)=  429 246 
 323 276 


 Absatz gesamt neu: PM(W)  1.2 + PM(B)1.15
 124 112 


 298 195  1.2 +
 214 202 


 89

 131
 109

62
51
74


 1.15 =


.........W............B
 251.15 205.7 
P1 251
206


508.25
292.65
gerundet
:


P2 508
293
 382.15 327.5 


P3 382
328
2ab.3.
 Interpretieren und Argumentieren: Die Kosten im 2. Quartal sind durchwegs höher: Der Kostenvoranschlag
geht davon aus, dass sich die Produktionsmenge der einzelnen Produkte vom 1. auf das 2. Quartal infolge
höherer Nachfrage steigern wird, oder man erwartet eine Erhöhung der Rohstoffpreise.
Die Kostenerhöhung beträgt für Produkt1 80% für das Produkt2 ca. 46 %

Operieren K …Kosten, Q…Quartale
87.3 
 50 90 
 48.5
KQ  
 0.97  


 79 115 
 76.63 111.55 
2ab.4. Modellieren, Operieren: P..Produkte, L…Länder
Matrizen beider Jahre
0 
 1250 2500
PL(J1)  

 1000 1400 900 
 800
PL(J0)  
 700
3600 2000 
2000 900 
 Gesamtexport PL(J1 + J0) =
 Veränderung PL (J1 -J 0 )=
Argumentieren: Im letzten Jahr hat sich das Exportgeschäft gegenüber dem vorletzten Jahr ziemlich
verschlechtert. Nur im Land L1 ist eine Erhöhung der Verkaufszahlen vor allem für das 1. Produkt
festzustellen. In den anderen Ländern ist ein massiver Rückgang der Nachfrage für beide Produkte, nur in
Land L3 sind die Verkaufszahlen für das Produkt 2 gleich geblieben.
4
 Operieren: Exporttabelle: J1  1,012 =
gerundet auf ganze Zahlen:
2ab.5. M…Motoren, T..Tage, F…Fabrik
 Operieren: Gesamtproduktion: MT( F1 + F2) =
 Unterschied: MT (F1-F2 )=
Argumentieren: Die erste Fabrik produziert sehr viel mehr als die 2. Fabrik. Auffallend ist der Unterschied
vor allem am 3. und 4. Tag. Grund für den Unterschied ist nicht die Ausstattung, weil diese ja gleich sein
soll. Es liegt demnach evt. daran, dass nur halb so viele Leute arbeiten, und dass dies eine ganz andere
Arbeitsteilung bewirkt. Oder es wird in der 2. Fabrik sehr ineffizient gearbeitet.
 Operieren: MT (F2)  1.25 =
Es wären demnach folgende Mengen günstig: (mindestens 25 % mehr  aufrunden)
MxT T1 T2 T3 T4 T5
M1 20 19 14 11 6
M2 14 10 11 9 5
2ab.6. Operieren und Modellieren S…Schülerinnen, G…Geldbeträge
 Jahreseinkommen: SG  12 =
12 =
 Gesamteinkommen SG1 + SG2 =
Interpretieren: Am meisten nimmt die 3. Schülerin ein, am wenigsten die 4. Schülerin.
Der Unterschied beträgt € 300,-.
2c.1. K…Klassen, S..Sportarten
a) Modellieren: Spaltenvektor für die Geldbeträge G =
hat 3 Zeilen
3 Spalten muss die Schülermatrix KxS haben, daher: KS =
5
b) Operieren: Kosten für die Sportaktivitäten in den einzelnen Klassen: (Aufteilung in den Sportarten wird nicht
berücksichtigt) Multiplikation „von rechts“: ZEILE mal SPALTE
KS  G =
c)
Operieren und Argumentieren: Zeilenvektor für die Kosten G: 3 Spalten
G=
Die Matrix KS muss nun transponiert werden, damit sie 3 Zeilen hat:
SK = KS -1 =
Kosten pro Klasse mit einer Multiplikation „von links“ ZEILE mal SPALTE:
Gleiches Ergebnis!
2c.2. Modellieren: Größen…G, Maschinenzeiten…Z
a) Arbeitszeitmatrix : Maschine x Größen:
b) Modellieren: Liefer-Vektor: es werden 4 verschiedene Größen geliefert in den Mengen M: Spalte!
M=
c) Operieren: Arbeitszeiten in Minuten an den einzelnen Maschinen für diese Lieferung:
ZGM =
Arbeitszeiten in Stunden:
6
Es muss für diese Lieferung an der 1. Maschine ca. 38 Stunden, an der 2. Maschine ca 15 Stunden und etwas
mehr als 6 Stunden an der 3. Maschine gearbeitet werden.
d) Modellieren: Gozintograf:
Eingang: 4 verschiedenen Größen,
Ziel: Arbeitszeiten an je einer Maschine
2c. 3
a) Modellieren KxZ  ZxL  KxL
b) Operieren und interpretieren
KxZ
ZxL
KxL
Es sind in der 1. Zeile die Lohnzahlungen in Euro für die Herstellung der 1. Keramiksorte in allen 4
Arbeitsgängen,
in der 2. Zeile jene der 2. Sorte und in der 3. Zeile jene der 3. Sorte.
c) Argumentieren und Operieren:
Die Gesamtkosten für die 1. Keramiksorte ist die Summe der 1. Zeile: € 16.700,Gesamtkosten: Summe alle Posten in der KxL-Matrix: € 58.025,-
2c.4
a) Modellieren: Material in ME zur Erzeugung von 1 ME E1
und 1 ME E2
7
b) Operieren und interpetieren: R x Z  Z x E
RxE:
Für 25 ME von Endprodukt E1 sind 1025 kg R1 und 550 kg R2 notwendig.
Für 25 ME von Endprodukt E2 sind 725 kg R1 und 600 kg R2 notwendig.
2c.5.
a) Modellieren
b) Operieren und Interpretieren
FxR  RxK
Ein Fenster F1 kostet 37 GE in NÖ und 45.5 GE in OÖ
Ein Fenster F2 kostet 50 GE in NÖ und 61 GE in OÖ.
2c.6.
a) Modellieren
RxZ Z1 Z2
R1 3 0
R2 2 6
ZxE E1 E2 E3
Z1 1 2 2
Z2 0 0 1
8
b) Operieren und Interpretieren:
3 0
1 2 2
5 0 0
RZ  
ZE  
RE(direkt)  



2 6
0 0 1
0 4 0
3 0 1 2 2  5 0 0  8
RE  RZ  ZE  RE(direkt)  



2 6  0 0 1  0 4 0  2
6
8
6
10 
Die erste Zeile der Matrix gibt die Mengeneinheiten an die die 3 Endprodukte von R1 beziehen, die 2. Zeile der
Matrix die Mengeneinheiten die von R2 für E1, E2 und E3 benötigt werden.
2c.7.
a) Modellieren, transferieren
b) Operieren und Interpretieren A  B  G x E
In der ersten Spalte der Produktmatrix kann man ablesen, wie viel von jedem Grundprodukt im Endprodukt E1
enthalten ist. In der zweiten Spalte der Produktmatrix kann man ablesen, wie viel von jedem Grundprodukt im
Endprodukt E2 enthalten ist.
c) Argumentieren: Das Element a22 wird mit folgender Vorschrift berechnet: 2.Zeile mal 2.Spalte und addieren:
3  4 + 1  3 + 1  1 = 16 und sagt aus, dass 16 Einheiten von G2 im Endprodukt E2 enthalten sind.
2c.8.
a) Modellieren und transferieren
9
b) Operieren und Interpretieren
RxZ ZxERxE
In der ersten Spalte der Produktmatrix kann man ablesen, wie viel von jedem Grundprodukt im Endprodukt E1
enthalten ist. In der zweiten Spalte der Produktmatrix kann man ablesen, wie viel von jedem Grundprodukt im
Endprodukt E2 enthalten ist. In der dritten Spalte der Produktmatrix kann man ablesen, wie viel von jedem
Grundprodukt im Endprodukt E3 enthalten ist.
10