0. Grundlagen
0.1 Rechenhilfen
Spannungen: Ermitteln des Nullpunktes
a c

b d
verschieben
28,4
1
-5,16

d
33,5
7
c
a
a
a
5,16

4 33,57
a  0,615
b
Bestimmung von Q aus M
Pres
Mr  Ml Pres  x'

l
l
M  Ml Pres  x
Qre  r

l
l
Qli 
P(x)
S
Nl Ql Ml
Mr Qr Nr
X
X‘
V: Ql – Qr -∫p(x)dx=0
H: Nl – Nr =0
Nl=Nr
Ml: Ml – Mr + Qrl + ∫p(x)dxx=0
Nullstelle Q:
Q
Q= A-qx=0
A
Fachwerkstäbe
x

?

? 
?
x
sin
Sinussatz
a : b : c = sin : sin : sin
?
x
?
?

x
x

x
cos 
?  x  sin
?  x  cos
a
b
c


 2r
sin  sin  sin 
Cosinussatz
a²  b²  c²  2  b  c  cos 
b²  a²  c²  2  a  c  cos 
c²  a²  b²  2  a  b  cos 
0.2 Statik
0.2.1 statische Bestimmtheit:
cos  
b²  c²  a²
2b c
cos  
a²  c²  b²
2  a c
cos  
a²  b²  c²
2a b
a = Anzahl der Auflagerkräfte
n  a  3  ( p  k )  r p = Anzahl der Stäbe
k = Anzahl der Knoten
(+ Aufl.-knoten + Stabendpunkte an Kragarmen)
r = Nebenbedingungen
(Kräfte, die an Verbindungen nicht
übertragen werden)
Seite 1
N
mm²
N
cm²
kN
mm²
kN
cm²
kN
m²
MN
cm²
MN
m²
1 N/mm²
=
1
102
10-3
10-1
103
10-4
1
1 N/cm²
=
10-2
1
10-5
10-3
10
10-5
10-2
1 kN/mm²
=
103
105
1
102
106
10-1
103
1 kN/cm²
=
10
103
10-2
1
104
10-3
10
1 kN/m²
=
10-3
10-1
10-6
10-4
1
10-7
10-3
1 MN/cm²
=
104
106
10
103
107
1
104
1 MN/m²
=
1
102
10-3
10-1
103
10-4
1
Einheiten
0.3 Begriffe
 Druckbewehrung
Bei zunehmender Beanspruchung eines Querschnitts ist es erforderlich, entweder eine
Umschnürungsbewehrung einzubauen oder die bezogene Druckzonenhöhe zu begrenzen um ein
duktiles Tragverhalten (hohe Rotationsfähigkeit) zu gewährleisten. Um diese Begrenzung einhalten
zu können ist es ggf. erforderlich eine Druckbewehrung anzuordnen.

Auswirkung: zunehmende Beanspruchung
Bei zunehmender Beanspruchung steigt die aufzunehmende Druckkraft im Beton. Werden die
Betonspannungen ausgenutzt, ist die Vergrößerung der Betondruckkraft nur über eine Vergrößerung
der Betondruckzone möglich, was eine Verschiebung der Dehnungsnulllinie nach unten bewirkt. Durch
diese Verschiebung verringert sich auch die Stahldehnung. Sinkt die Stahldehnung unter die Dehnung
an der Streckgrenze, wird die Zugbewehrung nicht mehr voll ausgenutzt, was einen unwirtschaftlichen
Querschnitt zur Folge hat. Zudem bewirkt die erhöhte Ausnutzung der Biegedruckzone eine
Reduzierung der Duktilität. Dies führt zu einer maßgebenden Versagensursache durch s
chlagartiges Versagen der Biegedruckzone anstatt des Fließens der Zugbewehrung.
1. Grundlagen Sicherheitstheorie
1.1 Grenzzustände
 Grenzzustand der Tragfähigkeit
Sd  Rd
(Biegung mit Längskraft, Querkraft und /oder Torsion, Durchstanzen,
Stabilitätsversagen, Dauerschwingbeanspruchung)
Sk
Rk
= charakteristische Einwirkung
= charakteristischer Widerstand
Sd
Rd

= Bemessungswert der Beanspruchung aus einer, oder einer
Kombination von Einwirkungen
= Bemessungswert der Beanspruchbarkeit (Baustoffwiderstand)
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
(Begrenzung der : Rissbreite, Spannungen und Verformungen)
 Es wird mit charakteristischen Werten gerechnet d.h.  ist in der Regel =1
 Einwirkungen  Nur Kombinationsbeiwert (bei mehr als einer Einwirkung)
Ed  C d oder Ed  Rd
Ed
Cd
Rd
= Bemessungswert der Lastauswirkung (z.B. Durchbiegung)
= Maßgebender / einzuhaltender Nennwert (z.B. Grenzwert der D)
= Bemessungswert des Tragwiderstandes
2.0 Bemessungswerte zur Sicherheitstheorie
2.1 Bemessungswerte der Baustoffeigenschaften:
fyk 

f
Rd  R   ck ,

 c  s 

=
=
Abminderungsbeiwert zur berücksichtigung der verminderten
Dauerstandfestigkeit gegenüber der Kurzzeitfestigkeit
0,85  Normalbeton (Schneider (neu) S. 5.31)
0,75  Leichtbeton (0,70 bei rechteckigem Spannungsblock)
Seite 2
M
= Teilsicherheitsbeiwert der Widerstandsgrößen
Zur Berechnung der Bemessungswerte der Steifigkeiten und Festigkeiten im Tragsicherheitsnachweis.
(DIN 1045-1, Tab. 2, S. 24)
Beton c
C12/15 bis
C55/67 bis
C50/60
C100/115
Unbewehreter
Beton
Grundkombination
Außergewöhnliche Kombination
(ausgenommen Erdbeben)
Nachweis der Ermüdung
1,5 
1,8
1,5
1,55
1,3
1,3 
-
1,5
1,5 
Betonstahl
s
1
fck
500
1,1 
1,15
1
1,1 
1,0
fck
500
1
1,1 
1,15
fck
500
Tab.2.1 Teilsicherheitsbeiwerte M für die Bestimmung des Tragwiderstandes (MI-Skript, S.4.10)
2.2 Bemessungswerte der Einwirkungen:
Gk,i
= charakteristische ständige Einwirkung
Qk,i
= charakteristische veränderliche Einwirkung
Ak,i = charakteristische außergewöhnliche Einwirkung
AE
= seismische Einwirkunegen

= Teilsicherheitsbeiwert der Einwirkungen

= Kombinationsbeiwert
2.2.1 Einwirkungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit
I. ständige und vorübergehende Bemessungssituation
Ed 
 (
j
G, j
 Gk, j )   Q,l  Qk,1 
 (
i l
0,i
  Q,i  Qk,i )
II. Außergewöhnliche Bemessungssituation
Ed 
 (
j
GA, j
 Gk, j )  Ad   1,l  Qk,1 
 (
i l
2,i
 Qk,i )
Ad = Bemessungswert (festgelegter Wert) der außergewöhnlichen Belastung
2.2.2 Einwirkungen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
I. seltene (charakteristische) Kombination
 G
Ed, rare  E
 Qk,1   0,i  Qk,i
k, j

II. Nicht-häufige Kombination
 G
Ed,inf r  E
k, j
 '1,1 Qk,1   1,i  Qk,i

III. Häufige Kombination
 G
Ed, f requ  E
k, j
  1,1  Qk,1   2,i  Qk,i

IV. Quai-ständige Kombination (bei Rissbreitenbegrenzung)
 G
Ed, perm  E
k, j


2,i
 Qk,i

Ständige Einwirkungen
G
GA
Veränderliche Einwirkungen
Q
Günstige Auswirkung
1,00
1,00
0
Ungünstige Auswirkung
1,35
1,00
1,5
Tab. 2.2 Teilsicherheitsbeiwerte F für Einwirkungen (MI-Skript, S. 4.10)
Seite 3
Einwirkung
0
Nutzlasten für Hochbauten:
Kategorie A, B: Wohn- und Aufenthalts-, Büroräume
Kategorie C, D: Versammlungsräume, Verkaufsräume
Kategorie E: Lagerräume
Verkehrslasten für Hochbauten:
Kategorie F: Fahrzeuggewicht  30 kN
Kategorie G: 30 kN  Fahrzeug  160 kN
Kategorie H: Dächer
Windlasten
Schnee- und Eislasten
Orte bis zu NN +1000
Orte über NN +1000
Temperatureinwirkungen (nicht Brand)
Baugrundsetzungen
Alle anderen Einwirkungen
Kombinationsbeiwert
1
2
0,7
0,7
1,0
0,5
0,7
0,9
0,3
0,6
0,8
0,7
0,7
0
0,6
0,5
0,7
0,6
1,0
0,8
0,7
0,5
0
0,5
0,2
0,5
0,5
1,0
0,7
0,6
0,3
0
0
0
0,2
0
1,0
0,5
 Nutzlasten mehrgeschossige Hochbauten in 1055-3
 Ggf. Abänderungen für unterschiedliche geogr. Gegenden
 unabh. Einwirkungen wie Erd- oder Wasserdruck werden in DIN 1055-100 behandelt oder sind
standortbedingt festzulegen
 Beiwerte für Maschinenlasten sind betriebsbedingt festzulegen
Tab.2.3 Kombinationsbeiwerte  der Einwirkungen (MI-Skript, S.4.9)
Seite 4
3. Geometrie
3.1 effektive Auflagerbreite
 nicht durchlaufend
 durchlaufend
 volle Einspnnung
h
h
t
t
leff
leff
ln
ln
leff
ln
t
ai  1 2 t
1 ta  1 t
i
3
2
 freier Kragträger
 Kragarm Durchlaufträger
t
h
leff
ln

 1 2 t
ai 
 12 h


h
leff
ln
ai  1 2 t
leff  ln  a1  a2
Seite 5
4. Betondeckung
4.1 Expositionsklasse bestimmen:
Bewehrungskorrosion  maßgeblich für cmin und ∆c
Betonkorrosion
Der größere Wert (CXX/YY) ist
maßgeblich für die Betonfestigkeit
4.2 Mindestbetondeckung ermitteln:
cmin
Betondeckung
c
cnom
Anmerkung
Längsbewehrung
z.B. Korrosionsschutz
Bügelbewehrung
z.B. Verbundsicherung
Tab. 4.1 Ermittlung der Mindestbetondeckung
Aus der Tabelle kann das Verlegemaß nach folgender Formel ermittelt werden
 cnom,bü
cv  
cnom,l  dsbü
4.3 Vorschätzen der Bewehrungsdurchmesser:
Längsbewehrung (dsl): Ø 20-25
Bügelbewehrung:
Ø 10-17
4.4 Mindestbetondeckung prüfen:
1. Nachweis
Sofortiger
Verbund
Nachträglicher
Verbund
cmin
cmin
cmin
cmin
cmin
≥ dsbü
(für Bügel)
≥ dsv
(für Matten und Stahlbündel)
≥ 2,5 * dlitze
(für Litzen)
≥ 2,5 * dger-Stahl (für gerippten Stahl)
≥ dhüllrohr
(für Hüllrohre)
cmin + dsbü ≥ dsl
2. Nachweis
(dsl Längsbewehrung)
4.5 Bestimmen von cnom:
cnom = cmin + ∆c
Das Nennmaß cnom wird sowohl für die Bügel als auch für die Längsbewehrung ermittelt.
4.6 Berechnen der statischen Höhe:
d  h  cnom  d sb 
d sl
2
 bei mehreren Lagen (z.B. Plattenbalken)
 =  Lagen +  Zwischenräume
Erläuterung:
dsl (Längsstab)
dsbü (Bügel)
cv
(Verlegmaß)
cnom,bü
cnom,l
Seite 6
5. Balken auf zwei Stützen
5.0 Allgemeines
1) leff
2) fyd / fcd
3) maßgebliche Streckenbelastung gd und qd
Einzellasten G oder Q (günstig/ungünstig)
4) d bestimmen
5) Schnittkräfte bestimmen
6) Momentenausrundung für Zwischenauflager
7) Momentenumlagerungen im Feld (falls ausdrücklich verlangt)
5.1 statisches System
Für den Balken wird zunächst ein statisches System gewählt und die wirksame Stützweite l eff
ermittelt. (Siehe dazu 2.xx)
5.2 Schnittgrößen
Ermittlung der aus den Einwirkungen entstehenden Zustandslinien.
5.3 Biegung und Längskraft (Tragfähigkeit)
5.3.1 Querschnitte mit rechteckiger Druckzone
Für die Bemessung werden die auf die Schwereachse bezogenen Schnittgrößen ind versetzte
Schnittgrößen umgewandelt. Neue Bezugslinie ist hier die Achse der Biegezugbewehrung.
h d
zs2
zs1
As2
MEd
NEd
As1
MEds = MEd – NEd  zs1
NEd
=NEd
Die Betonzugzone wird als gerissen angenommen und darf bei der Bemessung nicht in Rechnung
gestellt werden.
Die Lage der Betondruckzone muss falls vorgewählt nachgewiesen werden! (über: x =   d)
Der Tragfähigkeitsnachweis erfolgt mit Hilfe von Identitätsbeziehungen d.h., dass die einwirkenden
Schnittgrößen NEd und MEds identisch mit den Widerständen NRd und MRds sein müssen.
 NEd  NRd
und
 MEds = MEd - NEd  zs  MRds
Die Bemessung kann nun “per Hand” (im Allgemeinen iterativ) erfolgen oder mit Hilfe von
Bemessungstafeln.
Bemessung per Hand (durch die Annahme eines Stoffgesetzes)
Bei der Ermittlung per Hand gelten die folgenden Gleichungen zur Ermittlung der „inneren“
Schnittgrößen bzw. Widerstände.
0N
  Fcd  Fs 2d  Fs 1d
mit
Fcd  x  b   R  fcd
Rd
MRsd  Fcd  z  Fs 2d  (d  d2 )
Fs 2d  As 2   s 2d
Fs 1d  As 1   s 1d
Seite 7
Die Hilfsgrößen setzten sich wie folgt zusammen:
a = kax
x=d
z=d
R
mit


Randabstand der Betondruckkraft; ka nach Tafel 1 (für Normalbeton bis C50/60)
Höhe der Druckzone;
Hebelarm der inneren Kräfte
Völligkeitsbeiwert; R nach Tafel 1 (für Normalbeton bis C50/60)
c 2
c2
 1
 s1 
a
d
Tafel 1
Hilfswerte ka und v für C12/15 bis C50/60
0
0
00
  c 2  2,0
0
(MI-Skript, Bild 5.7, S. 5.10)
00
4  6   c 2 
 c 2  3   c 2  4  2
2   c 2  3   c 2  2
 c 2  6   c 2 
3  c 2  2
8  c2
ka
R
2 0 00   c 2  3,5 0 00
3  c 2
12
Ermittlung der erforderlichen Bewehrung durch iterative Bestimmung
I.
Bestimmung des statischen Systems
II.
Berechnen der Bemessungswerte aus den Einwirkungen und ermitteln des maximalen
Momentes MEds.
III.
1. Iterationsschritt: Dehnungsverteilung schätzen (s1 und c2)
IV.
Berechnen von MRds und gleichsetzten mit MEds. Bei starker Abweichung :
V.
2. Iterationsschritt: Dehnungsverteilung wird neu geschätzt.
VI.
Erneutes berechnen von MRds
Ist MRds  MEds wurde die Dehnungsverteilung gut vorgeschätzt.
VII.
Ermittel der erforderlichen Bewehrung
fyk
F
mit  s  1,15
As 1  sd
  sd  fyd 
s
 sd
Bemessungstafeln
Allgemeines Bemessungsdiagramm
Siehe Buch, S. 41 ff.
Bemessungstafeln mit dimensionslosen Beiwerten
Die Bemessungstafeln sind im Grunde die aufbereitete Form des Diagrammes. Genau wie im
Allgemeinen Bemessungsdiagramm dient das bezogene Moment Sds als Eingangswert.
Für den einfach bewehrten Querschnitt können die Hilfsgrößen zur Ermittlung des erforderlichen
Bewehrungsquerschnittes in der Tabelle abgelesen werden.
As 1 
1
 s1
 1  b  d  fcd
 N Sd

Für den Ansatz einer Druckbewehrung, gelten die gleichen Überlegungen wie im
Bemessungsdiagramm. Die Druckzone wird begrenzt auf:
x
 0,45  Beton bis C 50/60
d
x
 0,35  Beton ab C 55/67,
d
Seite 8
Mit dem ermittelten  werden in Abhängigkeit von d2/d nun die zugehörigen 1- und 2–Werte
abgelesen. Der erforderliche Bewehrungsquerschnitt kann nun berechnet werden:
1
Zugbewehrung  As 1  f  1  b  d  fcd  N Sd  Druckbewehrung 
yd
As 2   2  b  d 
fcd
fyd
kd-Tafeln (dimensionsgebundenes Verfahren) =>Schneider S. 5.134
Im kd-Verfahren wird ebenfalls mit Tabellen gearbeitet, die jedoch in diesem Fall
dimensionsgebunden sind. Es erfolgt die Ermittlung von k d:
kd 
d cm

M Eds [kNm]
b[m]
1
 Eds  f cd
Der für die Berechnung des Bewehrungsquerschnitts erforderliche ks-Wert kann nun in der
Tabelle abgelesen werden.
As1  ks
MEds[kNm]
d[cm]

NEd[kN]
 Sd
Für die Begrenzung der Druckzonenhöhe und einer damit eventuell erforderlichen
Druckbewehrung, gelten die gleichen Grenzen wie zuvor:
x
 0,45
d
x
 0,35
d
 Beton bis C 50/60
 Beton ab C 55/67,
In Abhängigkeit von  werden nun die Beiwerte ks1 und ks2 aus einer Tabelle und die Beiwerte 1
und 2 in Abhängigkeit von  und d2/d in einer weiteren Tabelle abgelesen. Der erforderliche
Querschnitt der Bewehrung ergibt sich aus:
As1  1  ks1
MEds[kNm]
d[cm]

NEd[kN]
 Sd
As2  2  ks2
5.3.2 Querschnitte mit nicht rechteckiger Druckzone
MEds[kNm]
d[cm]
(s.7, Plattenbalken)
5.3.3 Hohlkastenquerschnitt
Ermitteln von Sds als Eingangswert in das Bemessungsdiagramm.
Sds 
MSds
b  d 2  fcd
Mit Hilfe von Sds lassen sich alle für die Bemessung notwendigen Hilfswerte in dem Diagramm ablesen. Mit
x    d wird kontrolliert, ob die Druckzone komplett im Flansch (t i) liegt. Ist x  ti kann mit dem
ermittelten Sds weitergerchnet werden.
Ist x > ti, muss Sds erneut berechnet werden, mit b=bw.
ti = „Blechdicke“ im Bereich der Druckzone.
bw = Breite des „Balkenstegs“. Hier: bw = 2.t2
t1
Berechnen von 
t2
1
 As 1   1  b  d  fcd  NSd 
s1
Allgemeines
Bei Hohlkästen laufen durch zwei Stege vier Bügelschnitte,
die als Querkraftbewehrung anrechenbar sind.
Für Torsion sind in einem Steg zwei Bügelschnitte wirksam
Seite 9
t2
t3
b
Seite 10
5.4 Querkraft (Tragfähigkeit)
Berechnung der Schubbewehrung
max. Querkraft je Feld verwenden aus den Schnittgrößen
(Auflager A-B-C rechts/links je Auflager und beide Seiten des Feldes)
5.4.1 Auflagerart bestimmen
direktes Auflager
indirektes Auflager (monolithisch)
Nachweis wird im Abstand d geführt
Nachweis wird am Auflagerrand geführt
Fcd,eff
Fcd,eff
d
VSd
VSd
FA
Fsd,eff
FA
zII
Fsd,eff
d
Auflagernähe von Einzelkräften prüfen:
x≤ 2,5*d dann Q oder G mit β abmindern.
keine Abminderung von Einzelkräften
β = x / 2,5*d
VED im Abstand (d + Auflagerlänge)
VED im Abstand (Auflagerlänge)
gd + qd
d + a
VED
V*ED
gd + qd
a
VED
V*ED
ACHTUNG:
ACHTUNG:
bei qd ist auf den Kombinationswert ψ der
maßgeblichen Belastung zu achten!
(Tabelle siehe Massivbau 1 Seite 4.9)
VEd* = VEd-(1,0  d+a)  (q+g)
bei qd ist auf den Kombinationswert ψ der
maßgeblichen Belastung zu achten!
(Tabelle siehe Massivbau 1 Seite 4.9)
VEd* =VEd – a  (q+g)
5.4.2 Prüfen ob Schubbewehrung erforderlich
Wird der Nachweis erbracht können die Querkräfte durch das Bauteil (incl. Längsbewehrung)
abgetragen werden.
Wird der Nachweis nicht erbracht, ist eine Schubbewehrung erforderlich!
NW: V * ED  VRdct
Wird der Nachweis nicht erbracht ist eine Schubbewehrung erforderlich!
VRd ,ct

 0,1  1  



 MN
  100   l  fck  2
m


 

1
3
 0,12   cd
 MN
 m 2


   bw m   d m 

η1 = Tragfähigkeitsbeiwert
η1 = 1,0 für Normalbeton / Leichtbeton siehe Tabelle 11 – DIN 1045-1
 1
200
 2,0
d mm
Beiwert für den Einfluss der Bauteilhöhe
Seite 11
l 
Asl
Längsbewehrungsgrad (gewähltes Asl einsetzen)
 0,02 A
Fläche der Zugbewehrung
sl
bw  d
bw
Achtung:
kleinste Querschnittsbreite innerhalb
der Zugzone
Für den Hohlkastenquerschnitt darf nur die Längsbewehrung unter den
Querkraftübertragenden Teilen (d.h. den Außenstegen) angesetzt werden
Dafür wird die effektive Breite der Längsbewehrung ermittelt (t—cnom-???)
Asl
bw
 cd 
5.4.3 Nachweis der Druckstrebe
NSd
Ac
Fläche der Zugbewehrung (gewählt)
kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone
NSd Längskraft (Druck (-) / Zug (+)
Ac (b * h –AStahlbewehrung vernachlässigen)
Wird der Nachweis erbracht kann der Druck durch die Druckbewehrung abgetragen
werden.
NW: VED  VRd max
Wird der Nachweis nicht erbracht, muss die Betonklasse erhöht werden.
Formel mit 90° (Normalfall) VRd max
Vollständige Formel

bw  z   c  fcd
cot   tan 
VRd max  bw  z   c  fcd 
senkrechte Querkraftbewehrung
cot   cot 
1  cot 2 
bw
kleinste Querschnittsbreite innerhalb der
Zugzone
z
αc
0,9*d
0,75 * η1 Normalbeton η1=1,0
Leichtbeton Tab. 9.3 DIN 1045-1
Belastungsart
reine Biegung
Biegung und
Längsdruckkraft
Biegung und
Längszugkraft
Druckstrebenwinkel
cot θ = 1,2
cot θ = 1,2
θ = 40°
θ = 40°
cot θ = 1,0
θ = 45°
5.4.4 Ermittlung der Schubbewehrung (Bügel) über den Zugstrebennachweis
(Nachweis kommt immer hin, da die ermittelte Bewehrung erst per Mindestbewehrung kontrolliert
wird.)
Formel mit 90° (Normalfall) lotrechte Schubbewehrung
Vollständige Formel
asw
asw
 cm2 
V ED

fysd  z  cot   m 
 cm2 
V ED

fysd  z  sin   cot   cot    m 
asw 2schnittig  Wert durch 2 teilen und in Tabelle
4schnittig  Wert durch 4 teilen und in Tabelle
Seite 12
ACHTUNG: vorgeschätzten Ø des Bügels
berücksichtigen!
5.5.5 Prüfen der Mindestbewehrung (s XX oder MBI S.6.21)
Egal, ob Schubbewehrung erforderlich oder Bewehrung über Zugstrebennachweis berechnet!
5.5 Torsion (siehe Buch S.54)
fyd

Bestimmung der Beiwerte fcd und f
(siehe Buch S. 42)
cd
effektive Länge berechnen: leff= ln + a1 + a2  S.4, 3.1

Belastung incl. Kombination berechnen

Bestimmung der Momente (Torsionsmoment T und T ed)

Bestimmen von MEd

Bestimmen von VEd

TEd
Q
T
TEd
Bild 5.1
5.5.1 Biegebemessung (siehe in dieser FS S. 6 ff.)
Durchführen der Biegebemessung für das Bauteil. Hierfür auf die Wahl des Momentes achten!!
(Wirkungsrichtung!)
Bsp.: Bei einer Belastung wie der in Bild 5.1, ist für die Biegebemessung das Moment aus Q in
Feldmitte anzusetzen. T und TEd sind für die Biegebemessung irrelevant.
Keine Bewehrung auswählen!! Erf. Biegebewehrung wird am Schluß mit der erf.
Torsionsbewehrung addiert und dann ausgewählt!!!
5.5.2 Querkraftbemessung (Annahme: cot  = 1,2 oder genaue Berechnung für  -> siehe unten)
I.
Um den Tragsicherheitsnachweis der Torsion durchzuführen muss zunächst das vorhandene
Torsionsmoment TE ermittelt werden.
II.
Falls nicht eine reine Torsionsbeanspruchung vorliegt ist es erforderlich, zunächst den
Querkraftnachweis (S.11,5.4) zu führen.
VED  VRdct
sowie
VED  VRd max
III. Prüfen, ob eine zusätzliche Torsionsbewehrung erforderlich ist. ( gilt nur für näherungsweise
rechteckige Vollquerschnitte DIN S.83, für alle anderen Querschnitte wird eine Bemessung
erforderlich).
TEd 
V ED  bw
4,5

 4,5  TEd
V Rd ,ct  V Ed 1 
 V Ed  bw
NW:



sind die Gleichungen nicht erfüllt wird
eine Torsionsbewehrung erforderlich
TED  TRd,max
 Druckstrebennachweis (Beton)
TED  TRd,sy
 Zugstrebennachweis (Bewehrung)
Ermittlung von  für nachfolgende Rechnungen erforderliche Werte:
  für die Ermittlung gibt es zwei Möglichkeiten:
1.
Annahme
2. Rechnen
 = 45°, cot  = 1,0

1,2  1,4  cd
f cd
0,58  cot  
VRd ,c
1
VEd ,T V
Seite 13
mit:
VEd ,T V kN   VEd ,T 
 cd 
NEd i
VEd  teff

bw
VEd ,T kN  
TEd  zi
2  Ak
[Schubkraft]
Bei Druck ist NEd negativ!
Ac

1 
VRd ,c kN    ct  0,1  1  f ck 3 1  1,2  cd
f cd


  t eff m  zm  10³

mit
cT = 2,4
1 = 1,0
z = 0,9d
der kleinere Wert
ist maßgebend
z=d-2cnom
U
Uk
d 

t eff  2   c nom  d sB  sL   2  h  d 
2 

teff
zi
teff = zweifacher Schwerpunktabstand der
Längsbewehrung vom Rand, jedoch nicht größer als die
vorhandene Wanddicke = Wandstärke des (Ersatz)Hohlquerschnitts
h
0,5 teff
2  teff

Ak   h 
2

2  teff
 
   b 
2
 



b(w)
zi  h  2  d1

d1  h  d


U k  2  h  t eff   b  t eff   2  h  b  2  h  b  2  t eff
Druckstrebennachweis (max. aufnehmbares Torsionsmoment):
TED  TRd,max
TRd ,max [ MNm] 
 c ,red  f cd [ MN / m²]  2  Ak [m²]  t eff [m]
cot   tan 
c,red = 0,70,751 = 0,5251
(allgemein)
c,red = c = 0,751
(Kastenquerschnitt)
mit 1=1,0 für Normalbeton Für
Leichtbeton s.Tafel 5.32
Zugstrebennachweis:
TED  TRd,sy
Bügel:
TRd,sy 
Asw
 f  2  Ak  cot 
sw yd
 Ermitteln der erforderlichen Bügelbewehrung durch Umstellen der Gleichung:
a sw 
TEd ...oder...TRd , sy [kNm]
Asw  cm² 



sw  m 
f yd [kN / cm²]  2  Ak [m²]  cot 
Seite 14

Längsbewehrung:
TRd,sy 
AsL
Uk
 fyd  2  Ak  tan 
 Ermitteln der erforderlichen Längsbewehrung durch Umstellen der Gleichung:
a sl 
TRd ,sy ...oder...TEd [kNm]
Asl  cm² 



Uk  m 
f yd [kN / cm²]  2  Ak m²  tan 
Bei einer kombinierten Beanspruchung durch Querkraft und Torsion  Interaktion:
-> dazu siehe Bedingungen erläutert unter 5.5.2
 TED

 TRd,max
Vollquerschnitt
TEd
Kastenquerschnitt
TRd,max
(z.B. Hohlkästen)
2

 VEd
 

 VRd,max

VEd
VRd,max
2

 1

1
5.5.2 Wahl der Bewehrung (Annahme: normaler Kastenquerschnitt, Druckzone oben, Zugzone unten)

Bestimmung der Seitenverhältnisse: (b/h)
U  2h  2b


xB 
b
U
xH 
h
U
Längsbewehrung in der Biegezugzone: (meist unten)
erf .As  AsL  x B  AsT

AsL
= erforderliche Bewehrung aus der Biegebemessung
AsT
= erforderliche Längsbewehrung aus der Torsionsbemessung
Längsbewehrung in der Biegedruckzone: (meist oben)
AsT = erforderliche Längsbewehrung aus der
Torsionsbemessung
erf .As  x B  AsT

Längsbewehrung in den Seiten:
erf .As  x H  AsT

je Seite!!!
AsT = erforderliche Längsbewehrung aus der
Torsionsbemessung
Bügelbewehrung:
erf .asw  asw  2aswT
asw = erforderliche Bügelbewehrung aus der Querkraftbemessung
aswT = erforderliche Bügelbewehrung aus der Torsionsbemessung
Seite 15
6. Durchlaufträger
6.1 Bestimmen der ungünstigsten Belastungsfälle
6.1.1 Einfeldträger mit Kragarm
qd
gd
A
qd
gd
max A
B
VEd
max B
A
B
A
B
qd
gd
qd
gd
max MStütz
MEd
MStütz
B
A
qd
gd
eld
max MFeld
A
MFeld
B
6.1.2 Zweifeldträger
qd
gd
A
B
qd
gd
max A
C
̂
A
B
̂
C
qd
gd
max C
VEd
max B
A
B
C
A
B
C
qd
gd
max MStütz
A
B
MStütz
MEd
C
qd
gd
eld
max MFeld
qd
gd
A
̂
MFeld
B
C
MFeld
6.2 Momentenausrundung

Bei frei drehbar gelagerten Balken und Platten darf das Stützmoment über die Breite der
Unterstützung ausgerundet werden
M'Ed  MEd  C Ed 
CEd,sup
a
8
M’Ed MEd
Ced
= Bemessungswert der Auflagerreaktion
= |Qbl|+|Qbr|
a = Auflagerbreite
a
Seite 16
7. Plattenbalken
7.1 Bemessen von Plattenbalken
Das Tragverhalten von Balken trifft grundsätzlich auch für Plattenbalken zu. Unterschiedlich ist,
dass die in Längsrichtung wirkenden Druckkräfte in die Platte ausstrahlen. Die Platte des
Plattenbalkens wirkt als Druckgurt, der Unterzug als Steg und die darin liegende Längsbewehrung
als Zuggurt.
Für die Bemessung eines Plattenbalkens wird als erstes die Lage der Nulllinie ermittelt. Dies
geschieht wie folgt:
I.
Bestimmung des statischen Systems, einschließlich der effektiven Stützweite. (DIN
S.35)
II.
Berechnen der Bemessungswerte aus den Einwirkungen und ermitteln des maximalen
Momentes. => Momentenumlagerung (siehe MB II, S.11.5) sowie –ausrundung (6.2)
III. Bestimmung der Baustoffklasse gemäß der Umgebungsklasse
IV. Ermittlung der Mindestbetondicke
V.
Berechnen der statischen Nutzhöhe (ggf. Bewehrung vorschätzen)
dsb = 10 mm,
dsL = 28 mm (ggf. mehrere Lagen)
VI. Ermitteln der effektiven Breite 0
 beff bei annähernd gleichmäßig verteilter Beanspruchung (ohne Einzellasten):
(vereinfachte Gleichung  Annäherung)
beff   beff ,i  bw
mit
beff ,i  0,2  bi  0,1  l 0  0,2l 0
 bi
 beff  genaues Verfahren: (nur wenn gefordert!)
 Einstegige Plattenbalken und Randträger von mehrstegigen Plattenbalken:
beff  beff ,1  beff ,2  bw
 Innenträger von mehrstegigen Plattenbalken:
beff  beff ,1  beff ,2  bw
Verhältnisse ermitteln, von denen die effektive mitwirkende Plattenbreite abhängog ist:
hf
berechnen und ggf. aufrunden
l = Spannweite
h
h = Höhe des Plattenbalken
l
bw
berechnen
bi
l
berechnen und ggf. aufrunden
hf = Dicke der Platte („Flansch“)
bw = Stegdicke
bi = Plattenbreite
Bei Durchlaufträgern und Kragträgern werden anstatt der Spannweite l die Abstände der
Momentennullpunkte l0 verwendet.
* Durchlaufträger: l0 = 0,8  l
für Endfelder
l0 = 0,6  l
für Innenfelder
l0 = 0,4  l
für den Stützmomentbereich (mit l=Mittel von l1 und l2)
* Kragträger:
l 0 = 1,5  lk
mit lk = Länge des Kragarms
Seite 17
Bezogene mitwirkende Plattenbreite beff,i/bi ablesen und beff,i ermitteln.
hf/h
l/bw
b1/l bzw. b2/l bzw. b3/l
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
1,0
0,9
0,8
0,10
 10
20
50
0,18
0,18
0,19
0,20
0,20
0,22
0,22
0,22
0,25
0,26
0,26
0,28
0,31
0,31
0,33
0,38
0,38
0,39
0,48
0,48
0,48
0,15
 10 0,19
20 0,20
50 0,23
0,21
0,22
0,26
0,24
0,24
0,28
0,28
0,28
0,32
0,32
0,33
0,37
0,39
0,40
0,44
0,20
 10 0,21
20 0,23
50 0,30
0,23
0,26
0,33
0,26
0,30
0,36
0,30
0,34
0,41
0,35
0,38
0,47
0,30
 10 0,28
20 0,32
50 0,42
0,31
0,36
0,46
0,35
0,40
0,50
0,39
0,44
0,55
0,44
0,50
0,62
Tab. 7.1
0,2
0,1
0,62
0,62
0,62
0,82
0,82
0,82
1,00
1,00
1,00
0,49
0,50
0,53
0,63
0,64
0,67
0,82
0,83
0,84
1,00
1,00
1,00
0,42
0,45
0,54
0,52
0,55
0,63
0,66
0,68
0,75
0,84
0,85
0,88
1,00
1,00
1,00
0,50
0,56
0,69
0,58
0,63
0,78
0,70
0,74
0,85
0,86
0,87
0,91
1,00
1,00
1,00
beff1/b1
bzw.
beff2/b2
bzw,
beff3/b3
Bezogene mitwirkende Plattenbreiten beff1/b1 bzw. beff2/b2 bzw. beff3/b3
von Plattenbalken => beff = b * Tabellenwert
Im Falle von Einzellasten ist die mitwirkende Plattenbreite im Bereich der Stützmomente
mit unten liegender Druckplatte um 40% abzumindern.
M  0,6  MEL
beff ,red  FL
 beff
MFL  MEL
Grund: Die mitwirkende Breite erfährt unter konzentrierten Einzellasten eine Einschnürung,
welche durch Abminderung der Plattenbreite berücksichtigt wird.
VII.
Berechnen von Sds
VIII.
In der Tabelle  ablesen und nach x auflösen ( = x/d).
 Daraus ergibt sich nun, ob die Dehnungs-Nulllinie im Steg oder in der Platte liegt.
Dehnungs-Nulllinie in der Platte
Liegt die Dehnungs-Nullinie in der Platte liegt ein Querschnitt mit rechteckiger Druckzone vor. Es
erfolgt eine Bemessung für Rechteckquerschnitte =>a) Biege- & Querkraftbewehrung
b) Druck- & Zuggurtbemessung (Kap. 7B)
Dehnungs-Nulllinie im Steg
Liegt die Dehnungs-Nulllinie im Steg ist die Bemessung mit Tafeln für Plattenbalken erforderlich.
Zusätzlich wird die Dehnung in Plattenmitte auf c2 begrenzt.
Berechnen von bf   5 gedrungene r Plattenbal ken

bw   5 schlanker Plattenbal ken
schwach profiliert
stark profiliert
Gedrungener Plattenbalken (bf/bw<5)
Beim gedrungenen Plattenbalken wird der T-förmige
Querschnitt in einen äquivalenten Rechteckquerschnitt
x
d
umgewandelt. Hierfür wird wie folgt vorgegangen:
I.
Ermitteln der Ersatzbreite bi mit Hilfe der Tabelle 1.
Hierfür wird hf/d ermittelt, ein  aus der Tabelle
gewählt und das b in der entsprechenden bfbw-Spalte abgelesen.
Seite 18
bf
bi=bbf
hf
h
bw
II.
bi  b  beff
Mit bi wird nun Sds erneut ermittelt und das zugehörige  in den Tabellen für rechteckige
Querschnitte abgelesen.
Ist
 > gewählt  sichere Seite. (Jedoch: je höher die Differenz desto unwirtschaftlicher)
Optimal: gew.= berechnet
 < gewählt  unsichere Seite  erneute Berechnung mit größerem .
III. Mit den so ermittelten Werten kann man in der Bemessungstabelle mit dimensionslosen
Beiwerten den mechanischen Bewehrungsgrad  ablesen (mit Eds über bi) und die
erforderliche Querschnittsfläche der Bewehrung As1 ermitteln.
Schlanker Plattenbalken (bf/bw5)
Bei schlanken Plattenbalken, oder stark
profilierten Querschnitten wird der Anteil der
Druckspannungen im Steg in der Regel
vernachlässigt.
Für die Berechnung gibt es zwei Möglichkeiten:
bf
hf
d
c
c
zs
As
bw
Fc
zs=d-0,5
hf
Fs
I. Berechnung mittels hf/d-Tabellen
Ermitteln von hf/d (aus Tabelle)
Bilden von beff/bw
 mit Hilfe von Eds (aus VIII.) aus der Tabelle wählen und die erforderliche
Querschnittsfläche der Bewehrung As1 ermitteln.
II.
Berechnung mittels Spannungsblock:
Die Resultierende der Betondruckspannungen wird im Abstand von h f/2 vom oberen
Querschnittsrand in der Platte angenommen.
hf
Somit ergibt sich der innerer Hebelarm wie folgt: z  d 
2
Die erforderliche Zugbewehrung für einfach bewehrte Plattenbalken berechnet sich mit:

1  MSds
As 

 N sd
h
fyd 
d  f

2







Es wird die Druckspannung c in der Platte nachgeweisen;
c 
MSds
 fcd
hf 

d    bf  hf
2

Die Stauchung am unteren Plattenrand c darf 2 0 00 nicht
unterschreiten, um eine konstante Spannung in der
Betondruckzone zu gewährleisten.
hf
c
c2
   s1 
  hf [cm]   c 2  2 0 00
 c   c 2
 d [cm] 
x
s1
 2. Variante: Es kann aus dieser Bedingung auch ein Grenzwert für die bezogene Plattendicke
hf/d ermittelt werden, welcher bei Verwendung eines S 500  hf/d  0,264 entspricht. Ist die
bezogene Plattendicke größer als dieser Grenzwert, ist für die Spannungsverteilung in der
Betondruckzone der Völligkeitsbeiwert R zu berücksichtigen. Für die praktische Bemessung
empfiehlt es sich bei Überschreiten des Grenzwertes anstelle des Näherungsverfahrens direkt das
Bemessungsverfahren mit dimensionslosen Beiwerten anzuwenden.
Seite 19
7.B) Anschluss Druck- und Zuggurt
Vorgehen für Druck- und Zuggurt
Ermitteln der Nulldurchgänge (siehe Seite 17)
Ermitteln der Stelle des maximalen Momentes
Ermitteln von av (av = halber Abstand zwischen Momentennullpunkt und –maximum)
Berechnen der Momente an den Stellen a v und 2*av (max. Moment) => an der Stelle av beträgt das
Moment = 0,75*MED,max (wenn nicht umgelagert und ausgerundet werden musste!)
Berechnung des maximalen Differenzmomentes:
ΔM1=MED,max-MED,av
Das größere ist maßgeb.!
ΔM2=MED,av-MED,0
Fcd 
M i
z
mit
z= 0,9· df
bf
Anschluss Druckgurt
beff,1
bw
beff,2
VED ermitteln:
Ved  Fd  Fcd 
Aca
Acc
Aca=beff,i∙x
Acc=(beff,1+beff,2+bw)∙x=bf·∙x
Anschluss Zuggurt
Wird nur erforderlich, wenn die Zugbewehrung nicht komplett in den Steg gelegt wird.
Berechnen der Fläche der gesamten Längsbewehrung ASS
[13.2.1 (2)]
Berechnen der Fläche der vom Steg ausgelagerten Längsbewehrung Asa
VEd ermitteln:
Asa = ausgelagerteBewehrung je Seite
Ass Asa
A
Ved  Fd  Fcd  sa
Ass
Ass =gesamte Bewehrung
hf
Nachweis für Druck- und Zuggurt:
V Ed  V Rd ,max
VRd ,max 
 c  f cd  h f  av
tan   cot 
θ = 40° und cot θ = 1,2
Ermitteln der jeweils erforderlichen Bewehrung:
erf .asw 
VEd  tan 
f yd  av
Seite 20
=>
tan θ + cot θ = 2,03333
8. Platten
8.1 Vorbereitung
I.
Bemessungswert der Einwirkung (gd und qd) bestimmen.
Einwirkungen (nur ungünstig, günstig siehe Tab. 2.2,S.3):
ständige:
gk bestimmen
gd = 1,35  gk
gd berechnen
veränderliche:
gegeben oder aus Schneider
qk bestimmen
qd    qk  1,5
qd berechnen
Einheit [KN/m2]
Einheit [KN/m2]
Ψ s. Tab.2.3, S. 4
Summe bilden
II. Festlegen des Koordinatensystems
- lokales Koordinatensystem je Platte (kürzere Seite = x-Achse, wenn Pieper-Martens
wenn nach Hahn, dann ist die x-Achse, die parallel zum freien Rand verlaufende)
- globales (allg.) Koordinatensystem
V.
IV.
Bestimmen der effektiven Längen in x- und y-Richtung
- l effx  l x  a x1  a x 2
a1 sowie a2 sind Auflager in x Richtung (1/2 * Auflagerbreite)
- l effy  l y  a y1  a y 2
a1 sowie a2 sind Auflager in y Richtung (1/2 * Auflagerbreite)
Bestimmung von Lagerung und Spannungsrichtung der Platte
- wenn 2 >
- wenn 2 ≤
V.
l effy
l effx
l effy
l effx
> 0,5 dann Platte als 2-achsig gespannt rechnen
≤ 0,5 dann Platte als 1-achsig gespannt rechnen
Ermitteln der Mindestbetondeckung über das Sicherstellen der Dauerhaftigkeit:
Annahme:
dsl = 10[mm]
vorschätzen
Umgebungsklasse:
XC1 bei Platten
(in der Regel)
cmin und ∆c aus Tabelle
Nachweise:
cmin ≥ dsl
Bügel sind nicht vorhanden
=> für punktförmig gestützte Platten: DIN 11.3.2 (3)
VI. Ermitteln der erforderlichen Höhe aus Begrenzung der Verformung
li m 
l m 
 35  d erf  i
d
35
li m 150
l²

 d erf  i
d
li m
150
li  leff  
Normale Anforderungen an
die Begrenzung der
Durchbiegung
leff  von der größten
Platte die kürzeste Seite
  s. S 62 (Buch)
li  leff  
li ist die Ersatzstützweite
Höhere Anforderungen an die zur Berücksichtigung des
Begrenzung der
statischen Systems
Durchbiegung
umstellen nach d  derf ausrechnen
herf  d erf  cnom  d sl
h= Dicke der Platte
herf auf nächst höheren Wert aufrunden
Seite 21
herf  Mindestdicke einer Vollplatte aus Ortbeton!
Mindestdicke:
- allgemein
70 mm
- Platten mit Querkraftbewehrung: 160 mm
- Platten mit Durchstanzbewehrung: 200 mm
8.2 Schnittkräfte bestimmen
Auflagerseiten prüfen:
Lastabtragung
1- achsig gespannt
Lagerung
2-seitig
Rechenverfahren
als Plattenbalken rechen
2- achsig gespannt
3-seitig
Hahn
2- achsig gespannt
4-seitig
Czerny oder PieperMartens
8.2.1 einachsig gespannte Platten –zweiseitig gelagertDie Last wird im mittleren Bereich vornehmlich über die kürzere Spannweite abgetragen.
NW  über Bemessung in Annäherung an aneinanderliegenden Plattenstreifen (ohne Torsionssteifigkeit).
Gleichmäßig verteilte Lasten
Berechnen der Schnittgrößen über Stabstatik (Balken/Rahmen) an einem 1 m breiten Plattenstreifen.
Führen der Nachweise an den maximalen Stellen!
max M 
q  l2
8
(Biegung & Längskraft))
max Q 
q l
2
(Querkraft)
In Spannrichtung verlaufende Unterzüge
Es treten zusätzliche Biegemomente quer zur Hauptspannrichtung auf. Diese können für verschiedene
Lagerungen abgeschätzt werden. (MII, S. 12.8, Bild 12.7)
Gefordert wird allerdings nur das Einbringen einer oberen Abreißbewehrung, welche 60% der max.
Feldbewehrung entspricht.
Öffnungen


b
lx
5
 konstruktive Bewehrung um die Öffnung wird erforderlich
b
lx
5
 Genauer Nachweis erforderlich (Ersatzsystem mit verstärkten Plattenstreifen)
(Querzulage zur Rissbreitenbeschränkung, Einfassung der Ränder mit
Steckbügeln und bei größerer Beanspruchung die Anordnung von
Diagonalstäben in den Ecken)
lx
b
Verstärkte Plattenstreifen
in Querrichtung
lx
Ungestörte einachsige
Tragwirkung
I.
Verstärkte Plattenstreifen
In Längsrichtung
Einzellasten (MII, S.12.11.)
Platte ohne Punktlast berechnen
Seite 22
Ungestörte einachsige
Tragwirkung
II.
III.
Plattenstreifen infolge der Punktlast ermitteln
- Lasteintragungsbreite: t  b0  2  d1  d
- Mitwirkende Plattenbreite aus Tabelle
- Schnittgrößen für Balken (1-achsig gespannt) rechnen
Gesamtschnittkräfte
m  mGleichlast 
IV.
V.
M
bm
v  VGleichlast 
V
bm
Biegebemessung
Durchstanznachweis
Momentenausrundung für Zwischenauflager
Momentenumlagerungen im Feld (falls ausdrücklich verlangt)
8.2.2 einachsig gespannte Platten –dreiseitig gelagert..... werden nach Hahn gerechnet!
8.2.3 zweiachsig gespannte Platten –vierseitig gelagert- (PIEPER_MARTENS)
Bedingungen für die Anwendung:
NW:
qd  2 
gd  qd und qd  2  gd
3
Wird eine der Bedingungen nicht erfüllt, kann die Berechnung nicht nach Pieper/Martens erfolgen!
 Feldmomente und Stützmomente je Platte: (drillsteif rechnen!!!  Fall 1)
(lokales Koordinatensystem)
l effy
l effx

fy, fx, sy, sx bestimmen
mfx, mfy, msx, msy berechnen

ist der Verhältniswert der
effektiven Stützweiten.
 ggf. interpolieren
Die Stützungsart ist von der Lagerung
und dem Koordinatensystem der
jeweiligen Platte abhängig.
f= Feldmoment
s= Stützmoment
Siehe Avak II, S. 155, Tab. 6.3 bzw.
folgende Seite
M
Tipp: m-Werte für das globale
Koordinatensystem daneben schreiben –
einfacher für Mattenberechnung
Fd  l x2
TW
Sind die Einspannmomente von zusammenstoßenden Plattenrändern unterschiedlich, müssen die
Momente gemittelt werden. (nicht in sehr steifen Bauteilen)
Stützweitenverhältnis:
 über
l1
5
l2
 0,5  ms 0,1  ms 0,2 
ms  
0,75  max ms 0,1 ; ms 0,2
l1
5
l2
ms  max ms 0,1 ; ms 0,2




Größerer Wert
maßgebend! l1 ist immer
die größere Seite der
zusammenstoßenden
Platten
µEds und ω1 Bewehrungsmenge ermitteln und die Mindestbewehrung überprüfen!
 Querkraftberechnung in den Stützen je Platte: (globales Koordinatensystem)
Tafeln Schneider 5. 57
Globales Koordinatensystem maßgebend
l __
eff y
 ist neben der Einspannung maßgebend für die Tafel

l
__
eff x
Seite 23
8.2.4 zweiachsig gespannte Platten –vierseitig gelagert- (Czerny)
 ständige Lasten:
ly
max l

min l
lx
Ermitteln des Stützweitenverhältnisses:
Ablesen des entsprechenden Tabellenwertes und ermitteln des benötigten Wertes, wie in der
Tabelle angegeben.
 ständige Lasten + veränderliche Lasten:
LASTUMORDNUNGSVERFAHREN
Bedingungen für die Anwendung:
NW:
min leff
max .leff
 0,75
Wird die Bedingungen nicht erfüllt, kann die Berechnung nicht nach dem Belastungsumordnungsverfahren erfolgen!
Vorgehensweise:
I.
Nummerierung der Platten
II. Ermitteln des Seitenverhältnisses ly/lx
III. Belastungsumordnungsverfahren:
Schachbrettartige Aufbringung der Belastung:
q ' g 
q '' 
p
2
p
2 in allen Plattenfeldern
schachbrettartig
Ermittlung der maximalen Feldmomente:
Symmetrischer Anteil q’
Innenfeld
p
q ' g 
2
Lagerungsbedingungen: Innenränder (Kontinuitätsränder)
Außenränder
 Werte für mxm und my,max ablesen
Unsymmetrischer Anteil q’’
p
2
q '' 
Lagerungsbedingungen:
 fest eingespannt
 frei drehbar gelagert
 allseitig gelenkig gelagert
Innenfeld
 Werte für mxm und my,max ablesen
max. Feldmomente:
(lx = kurze Seite)
 q'
q''  2
  lx
mxm  

f
'(
m
)
f
'
'(
m
)
xm
xm 


 2
q'
q''
 l
my ,max  

 f '(my ,max ) f ''(my ,max )  x


Erhöhung des ermittelten Feldmomentes entsprechend der angenommenen Querdehnzahl:
Mxm  mxm   x
x, y  s.Tab. 8.2.4 a) & b)
My ,max  my ,max   y
 auch hier den symmetrischen und den unsymmetrischen Anteil unterscheiden!!!
Ermittlung der maximalen Stützmomente:
Symmetrischer Anteil q’ q' g 
Innenfeld
p
2
Lagerungsbedingungen: Innenränder (Kontinuitätsränder)
Seite 24
 fest eingespannt
Außenränder
p
q '' 
2
 Werte für mx,er min und my,er,min ablesen
 frei drehbar gelagert
Unsymmetrischer Anteil q’’
Rand
Lagerungsbedingungen: betrachteter Stützungsrand
Übrige Ränder
 Werte für mx,erm und my,erm ablesen
max.Stützmomente:
 fest eingespannt
 frei drehbar gelagert
(lx = kurze Seite)

 2
q'
q''
 l
my ,er min  

 f '(my ,er min ) f ''(my ,er min )  x



 2
q'
q''
  lx
mx ,er min  

 f '(m

)
f
'
'(
m
)
x ,er min
x ,er min 

Mittelung der Stützmomente über das arithmetische Mittel
8.3 Bemessen im Grenzzustand der Tragfähigkeit
fcd 
0,85  fck
1,5
fyd 
fck
1,15
8.3.1 Bemessung der Biegebewehrung
Stützung
Vorgehensweise:
Vorschätzen von mR
Beachten:
mR Durchmesser der vorgschäten RMatte
(z.B. R257A m R=7[mm]
dstütze = statische Höhe der Platte über
der Stütze
Berechnen von dstütze:
d stütze  hgew  cnom 
 mR
2
Berechnung von Eds
b=1,0
-Werte,  und Aserf bestimmen
Auswählen der R-Matte
Felder (Platten)
Vorgehensweise:
Vorschätzen von mQ
Formel für Zug oder Druck/ZugBewehrung (Buch s. S. 41 ff)
Formel für Zug oder Druck/ZugBewehrung (Buch s. S. 41 ff)
Matten siehe Buch Seite 21
evtl. Zulagen wenn R513A nicht
ausreicht  Flächenbewehrung Buch
Seite 19
Beachten:
mQ Durchmesser der vorgschäten QMatte
(z.B. Q513 A mQ =7,5[mm]
_
Berechnen von d x Feld:
_
d x Feld  hgew  cnom 
Berechnen von d
_
 mQ
2
  mQ
d x Feld = statische Höhe der Platte im
Feld in globale x Richtung.
_
_
y Feld:
_
d y Feld  hgew  cnom 
Seite 25
d
 mQ
2
y Feld = statische Höhe der Platte im
Feld in globale y Richtung.
Erläuterung:
Seitenansicht
y
Draufsicht
x
dx
dy h
z
dy
dx
Berechnung von Eds je Feld
in globale x und y Richtung.
-Werte,  und Aserf
bestimmen
Auswählen der Q-Matte
Formel für Zug oder Druck/Zug-Bewehrung
(Buch s.S. 41 ff)
Formel für Zug oder Druck/Zug-Bewehrung
(Buch s. S. 41 ff)
Matten siehe Buch Seite 21
evtl. Zulagen wenn R513A nicht ausreicht 
Flächenbewehrung Buch Seite 19
Nachweis der Mindestbewehrung (Biegebewehrung)
Tabelle 4.2 Buch Seite 84
Längs-(Hauptbewehrung) und Querbewehrung
8.3.2 Querkraftnachweis - Prüfen ob Schubbewehrung für Platte erforderlich
Wird der Nachweis erbracht können die Querkräfte durch das Bauteil (incl. Längs-bewehrung) abgetragen
werden.
V *ED  VRdct
NW:
VEd*  VEd  1,0  d  a   q  g 
(direkte Stützung)
Wird der Nachweis nicht erbracht ist eine Schubbewehrung erforderlich!
Platte 1
VEd1
a
Den maximalen VEd-Wert für die Stützung verwenden. (Sollte aus Schneider 5.57
(15.Auflage) je Platte berechnet worden sein)
VEd* berechnen:
VEd2
Platte 2
VRdct
1


MN   3


 MN 
 0,1  1     100  l  fck  2    0,12   cd  2    bw m  dm

 m 
 m 



η1 = 1,0 für Normalbeton / Leichtbeton siehe Tabelle 11 – DIN 1045-1
 1
200
 2,0
dStützung mm 
l 
Asl= Fläche der Zugbewehrung der Stützung
bw= bei Platten = 1,0 [m]
NSd= Längskraft (Druck (-) / Zug (+)
Ac = (b * h –>AStahlbewehrung vernachlässigen)
VRd max 
bw  z   c  fcd
cot   tan 
Mindestbewehrung nach Buch Seite 84 prüfen (b/h)
8.3.3 Nachweis der Druckstrebe
Seite 26
Asl
 0,02
bw  dStützung
[MN]
Formel mit 90° (Normalfall)
Vollständige Formel
bw  z  c  fcd
cot   tan 
VRd max 
VRd max  bw  z   c  fcd 
bw= 1,0 [m] bei Platten
αc= 0,75 * η1
senkrechte Querkraftbewehrung
cot   cot 
1  cot 2 
z = 0,9*dStüzung
Normalbeton η1=1,0 & Leichtbeton Tab. 9.3 DIN 1045-1
Belastungsart
reine Biegung
Biegung und
Längsdruckkraft
Biegung und
Längszugkraft
cot θ = 1,2
cot θ = 1,2
Druckstrebenwinkel
θ = 40°
θ = 40°
cot θ = 1,0
θ = 45°
8.3.4 Ermittlung der Schubbewehrung (Bügel) über den Zugstrebennachweis
Nachweis kommt immer hin, da die ermittelte Bewehrung erst per Mindestbewehrung kontrolliert
wird.

2
Formel mit 90° (Normalfall) asw 
Vollständige Formel asw 
as
 cm 
V ED
fysd  z  cot   m 
lotrechte Schubbewehrung
 cm2 
V ED
fysd  z  sin   cot   cot    m 
2schnittig  Wert durch 2 teilen und in Tabelle
w
4schnittig
 Wert durch 4 teilen und in Tabelle
Mindestbewehrung nur wenn 5 ≥ b/h ≥ 4 (siehe Buch Seite 84)
8.4 Platten mit Öffnungen
l
 Öffnung wird in der Bemessung nicht berücksichtigt.
5 x
b
 Auslagerung der Bewehrung im Öffnungsbereich.
5
lx
b
b
lx
 Einteilung der Platte in mehrere Platten um die
Öffnung herum
b= Öffnungsbreite
lx= Hauptabtragungsrichtung
„aufgelagerte Platte“:
A
y
x
Kx
x
B
B
y
Flächenlast
Seite 27

Die Öffnung gibt die Lage der x-Achsen in den einzelnen Platten vor. (entlang der
Öffnung!)

Berechnen der effektiven Länge jeder Platte
Platte A & Platte B :
 3-seitig frei gelagert, Berechnung der Kräfte aus Belastung unter Lastfall 1 = Gleichlast
 Erhöhung der Momente in x-Richtung um 20 %
 Lastfall 3 = Randlast ermitteln: zunächst vx und vy (für A mit εA) aus Tabelle ablesen. Diese
Werte mit dem unter Lastfall 1 ermittelten K multiplizieren [K x/y=vx/y ∙ K].
Kx und Ky werden dann durch ly von A geteilt und danach mit der Auflagelänge lxvon B
multipliziert. Es entsteht so die Randlast S, die auf die Nachbarplatte B wirkt.
Mit Hilfe der Hahntafel, die zu der durch Randlast belasteten Platte B gehört die Momente
infolge Lastfall 3 (Randlast) ermitteln.
 Momente aus Randlast und Gleichlast werden addiert
8.4 „Kragplatten“
Balkonob der an
Berechnung,
 Kontrolle, ob Platte 1 als eingespannt betrachtet werden darf
NW:
MsK  0,5  MsF
MsK = Stützmoment aus dem Kragarm 
1
Statik (Eigengewicht
und ggf Belastung)
MsF = Stützmoment aus der Platte  q+g
 wird der Nachweis erbracht, kann der Rand als eingespannt betrachtet
werden.
Mittelung des Stützmomentes:
Die Mittelung der Stützmomente erfolgt nach Schneider. Ist jedoch: Mgemittelt  MBalkon
wird das Stützmoment des Balkons
M e, Balkon 
q l2
(Gleichlast) angesetzt.
2
Außerdem: Kontrolle, ob d für den vereinfachten NW des Kragträgers maßgebend wird!!!
li
 35
d
li  leff  
Beim Kragträger  = 2,4!!!
Querkraft für Ve,Balkon= q · l nachweisen
8.5 Allgemein
Bei einer Mittelung der Stützmomente bei einem nach Hahn ermittelten Stützmoment mit einem anderen
Stützmoment ist es notwendig, das nach Hahn ermittelte Feldmoment zu erhöhen:
MFeld  (MStütz ,max  MStütz ,mittel )
8.6 Unterbrochene Stützung
Ist die linienförmige Unterstützung einer Platte nicht auf einer ganzen Plattenseite unterbrochen wird sie
wie folgt berücksichtigt:
L = leff = 1,05 * ln
mit ln = lichte Weite der fehlenden Unterstützung
Seite 28

l/h  7:
Konstruktive Bewehrung ohne rechnerischen Nachweis
7 < l/h  15:
Bei vorwiegend ruhender Belastung darf auf einen Nachweis nach der Plattentheorie
werden, wenn folgende Berechnungsregeln eingehalten werden:
verzichtet
Schnittgrößen
Fd = Fd’ * bf
Endauflager:
bf = 0,5 ∙ leff tan 60° ≤ 0,5 ∙l1
Zwischenauflager: bf = leff tan 60° ≤ (l1 + l2) ∙ 0,5
Biegebemessung
Unterbrochene Stützung am
Endauflager
beff,F = 0,25 leff
beff,S = 0,125 leff
Zwischenauflager
beff,F = 0,50 leff
beff,S = 0,25 leff
(mitw. Breite im Feldbereich – Biegebemessung der Feldmomente)
(mitw. Breite im Stützbereich – Biegebemessung der Stützmomente)
Querkraftbemessung
...ist für einen Rechteckquerschnitt mit einer mitwirkenden Breite beff,V vorzunehmen.
Endauflager:
beff,V = t + 0,5h
Zwischenauflager:
beff,V = t + h
Querkraftbewehrung, wenn notwendig in form von Bügeln und wie bei Balken bemessen. Bügel müssen die
Längsbewehrung unten umschließen, oben genügt es, wenn sie mit Haken verankert sind. Bei deckengleichen
Unterzügen an Plattenauflagern wird der freie Rand mit Steckbügeln eingefasst.
Bewehrungsführung
siehe Avak II, S. 185
Endauflager:
Querschnitt der Schenkel der Steckbügel:
asw [cm²/m]= 0,1 d [cm]
Innstützung:
leff ≤ 10h :
oben liegende Biegezugbewehrung aus Plattenbemessung ist ausreichend
leff > 10h :
∆as° = 0,08 ∙ as° ∙ (leff/h – 10)
Zusatzbewehrung ∆as° muss gleichmäßig auf beide Auflagerbereiche des deckengleichen Unterzuges
verteilt werden.
 l/h > 15:
Tragverhalten durch genaue Berechnung nach der Plattentheorie.
8.7 Einachsig gelagerte Platten mit Linienlast
I.
Idealisierte Lastaufstandsbreite ty der Last ermitteln
t y  b0  2  h1  h
II.
Mit Hilfe der Tabelle (Avak II, S. 90/91) mitwirkende Lastverteilungsbreite beff bestimmen:
muss rechtwinklig zur Stützweite und symmetrisch zum Lastschwerpunkt sein.
Seite 29
beff
III.
IV.
Wenn beff > bvorh, dann gilt:
red beff 
beff
2
 S Rand
Schnittkräfte infolge der Linienlast getrennt für Stütz- und Feldbereiche ermitteln. Dabei stat.
System für die Ermittlung von M und V beachten:
M
 kNm
m


 m  beff , M
V
 kN 
v  
 m  beff ,V
V.
„Normales“ Stütz- und Feldmoment aus Gleichlast ermitteln
VI.
Stütz- und Feldmomente aus Gleich- und Linienlast addieren
Seite 30
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Formelsammlung_Massivbau_Teil_1