Institut für Geometrie und Topologie Universität Stuttgart Prof. W

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. W. Kühnel/ E. Keil
Universität Stuttgart
Übungsblatt 2 vom 30. Oktober 2009
Übungen zur Topologie
————————————– Wintersemester 09/10 ————————————–
Aufgabe 9: (schriftlich)
Sei (X, O) ein topologischer Raum.
(a) Zeigen Sie, dass X\A = X\A◦ und (X\A)◦ = X\A gilt.
(b) Zeigen Sie, dass p ∈ ∂A genau dann, wenn alle Umgebungen von p mit A und
X\A einen nicht leeren Schnitt haben.
Aufgabe 10: (schriftlich)
(a) Seien (X, O) und (Y, T ) topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung.
Zeigen Sie, dass die drei folgenden Aussagen äquivalent sind.
1. Die Funktion f ist stetig,
2. f −1 (B ◦ ) ⊂ (f −1 (B))◦ für alle B ⊂ Y ,
3. f −1 (B) ⊂ f −1 (B) für alle B ⊂ Y .
(b) Finden Sie eine stetige Abbildung f , sodass f −1 (B ◦ ) 6= (f −1 (B))◦ .
Aufgabe 11: Seien fn für n ∈ N und f Abbildungen von A ⊂ R nach R. Man zeige,
dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
• Die Folge fn konvergiert punktweise gegen f in A.
Q
R konvergiert in der Produkttopologie auf dem
• Die Folge (fn (x))x∈A ∈
x∈A
kartesischen Produkt
X R.
x∈A
Q
R=
Rx mit
x∈A
Q x∈A
Rx = R. Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, wie offene Mengen in
R aussehen.
Dabei soll R mit der Standardtopologie ausgestattet sein und
Q
x∈A
Aufgabe 12: Sei X eine Menge. Man zeige, dass die Mengensysteme
1. F1 := {U ⊂ X| X\U hat endlich viele Elemente}
2. F2 := {U ⊂ X| X\U hat abzählbar viele Elemente}
in P (X) Filter sind, falls X unendlich bzw. überabzählbar viele Punkte enthält.
Zusatzaufgabe 2: Sei X eine Menge und H : P(X) → P(X) mit H(A) = A ein
sogenannter Hüllenoperator. Das heißt, er erfüllt die Kuratowski-Axiome
A ∪ B = A ∪ B,
A ⊂ A,
A = A,
∅ = ∅.
Zeigen Sie, dass durch OH := {O ⊂ P(X) : X\O = X\O} eine Topologie auf X
definiert wird.
Hinweis: Um zu zeigen, dass die VereinigungS offener Mengen wieder offen ist,
arbeite man mit der trivialen Inklusion Oj ⊂ i∈I Oi für j ∈ I und Komplement
und Abschluss davon.