Prof. Dr. Klaus Deckelnick 06.04.2017 Institut für Analysis und

Prof. Dr. Klaus Deckelnick
Institut für Analysis und Numerik
12.10.2017
Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis I
Wintersemester 2017/18 - Blatt 1
(Abgabe: Aufgaben 1 - 3 am Donnerstag, den 19.10.2017 vor der Vorlesung)
1. Es seien A und B zwei Aussagen.
a) Beweisen Sie unter Benutzung von Wahrheitstafeln:
(i) ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B);
(ii) A ⇒ B = (¬B) ⇒ (¬A).
b) Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre
Antwort:
(i) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : y = x2 ;
(ii) ∀y ∈ R ∃x ∈ R : y = x2 ;
(iii) ∀x ∈ R ∀y ∈ R : y = x2 ;
(iv) ∃y ∈ R ∀x ∈ R : y = x2 ;
(8 Punkte)
2. Gegeben seien die folgenden Teilmengen von R:
A = {x ∈ R | − 7 ≤ x < 5},
B = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 5},
C = {x ∈ R | x > −1}.
Bestimmen Sie B ∪ C, R \ B, B \ A und (A ∪ B) ∩ C.
(4 Punkte)
3. Seien a, b ∈ R. Folgern Sie aus den Körperaxiomen:
1 1
1
= · , falls a, b 6= 0.
(i) (−a) · (−b) = a · b;
(ii)
a·b
a b
Geben Sie in jedem Schritt an, welches Axiom bzw. welche Aussage Sie verwendet haben.
Tipp zu (i): Zeigen Sie, dass (−a) · (−b) und a · b beide die Gleichung (−a) · b + x = 0 lösen
und verfahren Sie in ähnlicher Weise für (ii).
(4 Punkte)
4. Es seien A und B zwei Aussagen. Beweisen Sie unter Benutzung von Wahrheitstafeln:
(i) ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B);
(ii) A ⇐⇒ B = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).
5. Wir untersuchen die folgende Aussage:
A: Es gibt keine natürliche Zahlen n und m derart, dass 28m + 42n = 100.
a) Schreiben Sie die Aussage in der Form A = ¬B mit einer geeigneten Aussage B und
formulieren Sie B in Quantorenschreibweise.
b) Zeigen Sie mit Hilfe eines indirekten Beweises, dass A wahr ist.
6. Sei a ∈ R. Zeigen Sie:
(i) −(−a) = a;
1
(ii) 1 = a, falls a 6= 0.
a