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8. Teilchensysteme
Literatur: E. Fick und Bratelli/Robinson Teil II
ein s-dimensionales Teilchen
Hilbertraum: H = L2 ( R )
s
+∞
+∞
−∞
−∞
f g = ∫ ... ∫ f ( x1 ,.., xs )g ( x1,.., xs )dx1...dxs (f,g stetig)
bzw. f g = ∫ ...∫ f ( x1 ,.., xs )g ( x1 ,.., xs )l ( dx1 )...l ( dxs ) (f,g meßbar)
s
dabei ist l das Lebescuesche Maß auf R .
Definition: Es liegt eine Ortsdarstellung vor, wenn für jeden reinen Zustand
f f mit f stetig und jeden s-dim. Quader [a1, b1 ]× ... × [as , bs ] durch
bs
b1
as
a1
Q f ([a1 , b1 ]× ... × [as , bs ]) := ∫ ... ∫ f ( x1 ,.., xs ) dx1...dxs
2
die Wahrscheinlichkeit gegeben ist, daß sich das Teilchen in dem Quader
befindet.
s
In diesem Fall heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß Q f auf R Ortsverteilung
zum Zustand f
(klar: Q f eindeutig bestimmtes W.M.)
s
Ferner werden für (meßbare, beschränkte) reelle Funktionen h : R → R die
Multiplikationsoperatoren
Oh f ( x) := h( x) f ( x) ( f ∈ H ; x ∈ R s )
Ortsmessungen genannt (Hinweis auf unbeschränkten Fall – siehe Kap.4)
8.1. Seien
f .
ρ = ∑ zk f k f k ein Zustand auf H, wobei ( f k ) k ein CONS ist,
k
und Qρ := ∑ z k Q f k . Dann gilt E ρ (Oh ) =: ∫ h( x )Qρ ( dx) .
k
Beweis unter Verwendung der Linearität der Spurbildung
Bemerkung 1. : Qρ wird dann Ortsverteilung zum (gemischten) Zustand
ρ
genannt und ist Mischung der Ortsverteilungen der reinen Zustände.
Bemerkung 2.: Da jeder (normale) Zustand ρ sich entsprechend 8.1. darstellen
läßt (siehe Ende Kap.3), existiert also immer die Ortsverteilung.
Hinweis auf „Impulsdarstellung“
1
s
Der Fall von n Teilchen in R ,
Hilbertraum H
f g
n⊗
= L2 (( R s ) n× , l n× ) mit Skalarprodukt
1
n
1
n
1
n
:
=
...
(
,..,
)
(
,..,
)
(
)...
(
)
f
x
x
g
x
x
l
dx
l
dx
∫
∫
n
Der Fall „unbekannter“ Teilchenzahl
+ ∞ ¬ n⊗
Hilbertraum ∑ H
=: Fockraum über H
n =0
+∞
0⊗
Elemente : ( f n )n =0 wobei f 0 ∈ C , d .h., H
:= C ; f n ∈ H n ⊗
Begriff des Vakuums
+∞
+∞
+∞
Skalarprodukt: ( f n )n = 0 ( g n )n = 0 := ∑ f n g n
n
n =0
Der Fall „ununterscheidbarer“ Teilchen
1. Variante: Bosonen
+∞ ¬ n⊗


/ f n symmetrisch 
Hilbertraum: Γ( H ) := ( f n ) ∈ ∑ H
n =0


f n ( x1,..., x n ) = f n ( x r1 ,..., x rn )
für jede Permutation r= (r1,..., rn ) der Zahlen 1,...,n .
Bezeichnung: Γ(H ) heißt symmetrischer oder Boson Fockraum zu H.
2. Variante: Fermionen
+∞


¬ n⊗
Hilbertraum: ( f n ) ∈ ∑ H
/ f n stets antisymmetrisch 


n =0
f n ( x1,..., x n ) = (−1) o( r ) f n ( x r1 ,..., x rn )
für jede Permutation r= (r1,..., rn ) der Zahlen 1,...,n mit der Ordnung o(r).
Hinweis: welche physik. Teilchen sind Bosonen bzw. Fermionen – der
grundsätzliche Unterschied – Begriff desSpin
Bemerkung: Γ(H ) ist ein abgeschlossener Teilraum des „vollen“ Fockraumes.
Der Projektor dazu ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator, der auf H
eingeschränkt die folgende Form hat:
Prsym (f)( x1,.., xn ) := n1!
∑
r − Permutation
n⊗
f ( xr1 ,.., xrn )
2
Betrachten folgend nur den Bosonenfall
Verallgemeinerung des Konzeptes
Wir verallgemeinern den Raum H = L2 ( R ) als Ausgangspunkt für die
Konstruktion des Fockraumes dahingehend, daß wir den folgenden Hilbertraum
betrachten H = L2 (G , µ ) . Dabei
- G – vollständig separabler metrischer Raum, versehen mit der
s
σ − Algebra der Borelmengen
- µ - lokal endliches Maß auf G
Weiter wird dann wie im vorangehenden Spezialfall verfahren, indem formal
s
stets R durch G und das Leb. Maß l durch
Der Fall von n Teilchen in G,
Hilbertraum H
f g
n⊗
µ ersetzt wird. Wir erhalten:
= L2 (G n× , µ n× ) mit Skalarprodukt
1
n
1
n
1
n
f
x
x
g
x
x
µ
dx
µ
dx
:
=
...
(
,..,
)
(
,..,
)
(
)...
(
)
∫
∫
n
Der Fall „unbekannter“ Teilchenzahl
+ ∞ ¬ n⊗
Hilbertraum ∑ H
=: Fockraum über H
n =0
+∞
0⊗
Elemente : ( f n )n = 0 wobei f 0 ∈ C , d .h., H
:= C ; f n ∈ H n ⊗
+∞
+∞
+∞
Skalarprodukt: ( f n )n = 0 ( g n )n = 0 := ∑ f n g n
n
n =0
Bosonen
+∞ ¬ n⊗


/ f n symmetrisch 
Hilbertraum: Γ( H ) := ( f n ) ∈ ∑ H
n =0


f n ( x1,..., x n ) = f n ( x r1 ,..., x rn )
für jede Permutation r= (r1,..., rn ) der Zahlen 1,...,n .
Bezeichnung: Γ(H ) heißt symmetrischer oder Boson Fockraum zu H.
Bemerkung: Neben dem bereits betrachteten Spezialfall L2 (G , µ ) = L2 ( R )
s
s
wird in der statistischen Physik häufig der „Gitterfall“ G= Z und bei
{ }
sogenannten Spinflip-Modellen der Fall G= Z × ↑, ↓ betrachtet, wobei
jeweils formal die abzählbare Menge G mit dem „Zählmaß“ versehen ist.
s
l2 - und Schrödinger-Darstellung - Bedeutung des Symm. Fockraumes
3