Über Primteiler von Stirlingschen Zahlen zweiter Art - E

Über Primteiler von Stirlingschen Zahlen
zweiter Art
Autor(en):
Harborth, Heiko
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
Elemente der Mathematik
Band (Jahr): 29 (1974)
Heft 6
PDF erstellt am:
30.10.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-29905
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ELEMENTE DER MATHEMATIK
Revue de mathematiques elementaires
-
Rivista di matematica elementare
Zeitschrift zur Pflege der Mathematik
und zur Förderung des mathematisch-physikalischen Unterrichts
El. Math.
Heft 6
Band 29
Seiten 129-160
10. November 1974
Über Primteiler von Stirlingschen Zahlen zweiter Art
Herrn Professor Dr. H.-J. Kanold in Dankbarkeit zum 60. Geburtstag
Werden n+l Objekte auf k+1 gleichberechtigte Schubfächer so verteilt, dass
kein Fach leer bleibt, und gibt es S(n, k) verschiedene Möglichkeiten dies zu tun, so
nennt man S(n, k) Stirlingsche Zahlen zweiter Art (siehe etwa [1], [4], [5]; man be¬
achte die verschiedenen Arten der Zählung, die in dieser Note in Zeilen und Spalten
mit Null beginnen soll). Es gilt
S(n, k)
S(n-l,k-l) + (k + 1) S(n - 1, k),
(1)
und mit
S(n, 0)
S(n, n)
l
für n
^0
(2)
sind alle Zahlen S(n, k) rekursiv zu bestimmen. Es widerspricht (1) und (2) nicht,
wenn gegebenenfalls zusätzlich die Werte
S(n, k)
0
für k
> n,
n
^ 0,
und
k
< 0,
n
^ - 1,
(3)
definiert werden. Die Zahlen S(n, k) lassen sich entsprechend einem Pascalschen Drei¬
eck so anordnen, dass in der n-ten Zeile an /e-ter Stelle S(n, k) zu finden ist (nt k
0,1,...). Da nur die Teilbarkeit durch eine Primzahl p von Interesse sein soll, gentigt
3, aufzuschreiben.
es die Reste modulo p, wie in der Figur für p
Werden nun die Stirlingschen Zahlen zweiter Art Zeile für Zeile von links nach
rechts fortlaufend von 1 bis N numeriert, und wird dabei mit A(N) die Anzahl der
nicht durch p teilbaren Zahlen gezählt, so soll das Verhältnis A(N)/N für N -> oo be¬
trachtet werden. Es wird der folgende Satz gezeigt, dessen Analogon für Bmomial¬
koeffizienten in [2], und mit behebigen Teilern in [3] und [6] bewiesen wurde.
Satz: fede Primzahl teilt fast alle Stirlingschen Zahlen zweiter Art»
Dabei soll «fast alle» bedeuten, dass
»m
^--0
(4)
gilt, die natürliche Dichte der N — A(N) durch p teilbaren Zahlen S(n, k) also Eins ist.
Zum Beweis wird zunächst die einfache Kongruenz
S(n, k)
sS(n-p,k~p) + S(n~~p + 1, k)
(mod p)
(5)
H. Harborth : Über Primteiler von Stirlingschen Zahlen zweiter Art
130
für alle ganzen k und n^p nachgewiesen. Ist n
Korollar (4.2) aus [7]
S(p
-l,k)~ 0,
-
S(p
ausser
p
S(p
1, 0)
-
— 1, so
p
1,
-
gilt mit
mit
(mod p)
1
1)
(2), (3) und
Hieraus folgt mit (1)
S(p, k)
0,
ausser
S(p, 0)
Mit diesen Resten und mit
S(p
+
m
+
1, k)
(mod p)
1
prüft man die Gültigkeit von
(2), (3)
Aus der Annahme, dass (5) für n
ergibt sich
S(p, p) ~
S(p, 1)
—
p
+ m bereits bewiesen ist
(m
(5)
für n
^0),
p nach.
und mit (1)
- - p) + S(m + k - + (k + {S(m, k - p)
+ S(m + k)} S(m, k-p-l) + (k-p+1) S(m, k - p)
+ S(m + k - + (k + S(m + k) S(m + k - p)
S(m, k
1
1,
1)
1)
1,
+
S(m
+
1,
1)
2, k)
(mod p)
1,
1)
1,
und damit (5) durch vollständige Induktion über die Zeilenzahl. Wegen (3) ist (5)
0 richtig.
auch für n p — 1 und k
1
1
l"0
t
1
110
1
10 111
0 2~0
10 12 2 0
1
1
1
1
1
1
1
110
0
1
0
1
0
1
1
1
0 0 2 1 1
0 0 0 0""0 1
1~0 0 0 0 0
1
0 2 0
0
1
1
0*0 0
1
1
1
0 0 0 1~ö
1
1012201001101
11000211010111
0 2~0
10 10 0 0 0 0
2~0
110100000
12201
10 1110."
1
1
1
1
Die Kongruenz (5) entspricht der Rekursion für die Bmomialkoeffizienten. Aus
(5) folgt durch vollständige Induktion über v
S(v(p
— 1)
+ w + i, wp + j)
v^O, Q<w
<J v,
für
l | S(i, j)
j ^i^p-2 + j
(mod p),
und
0 <:
j:
^ p - 1.
Hiernach kann das Zahlendreieck der Reste modulo p von S(n, k) in p(p — 1)
disjunkte Zahlendreiecke aufgeteilt werden, deren Zahlen die jeweils mit S(i, j) mul¬
tiplizierten Reste modulo p des Pascalschen Dreiecks sind. Die unterstrichenen Reste
H Harborth Über Primteiler von Stirlingschen Zahlen zweiter Art
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in der Figur bilden etwa em solches Teildreieck (% 1,) 0, p 3). Ist S(i,;) nicht
durch p teilbar, so smd m dem zugehörigen Teildreieck genau diejenigen Zahlen
nicht durch p teilbar, deren entsprechende Pascal-Zahlen es nicht smd
Nun gilt sicher
A(N)^p(p-l)Z(v)
für alle N mit
/v(f-l) + 2\ <N<((v + 1)^-1) + 2\i
wenn mit Z(n) die im Pascalschen Dreieck bis einschliesslich der Zeile n nicht durch
P teilbaren Bmomialkoeffizienten gezahlt werden Weiterhin ist
Z(v)
^ Z(pr - 1)
fur alle
v
mit pr~l
-l<v^pr-l
erfüllt, und m [3] und [6] wurde
Z(p--1)
crr
gezeigt Mit diesen Abschatzungen ergibt sich
0<j(gO< P(t-VZ(^
N
-
/v(p-l) + 2\
F
Z^
v2
-
F
Z(fir^
p2r~2
2
"m**®'und der letzte Ausdruck strebt gegen Null fur beliebig grosses r Hiermit ist die
Richtigkeit von (4) und damit der Satz bewiesen
Fur Primzahlpotenzen, und daher dann auch fur beliebige Teiler, ist das ent¬
sprechende Ergebnis zu erwarten. Man scheint jedoch nicht in gleicher Weise, wie
hier fur Primteiler, die bekannte Verteilung im Pascalschen Dreieck ausnutzen zu
Heiko Harborth, TU Braunschweig
können
LITERATURVERZEICHNIS
II
(Paris 1970)
[1] L Comtet, Analyse Combmatoire
[2] N J Fine, Binomial coefficients modulo a prime, Amer Math Monthly 54, 589—592 (1947)
[3] H Harborth, Über die Teilbarkeit im Pascal-Dreieck, Math -Phys Semesterberichte (er¬
scheint)
[4] C Jordan, Calculus of Finite Differences (New York 1965)
[5] J Riordan, Combmatorial Identities (New York 1968)
Any integer divides almost all binomial
[6] D Singmaster, Notes on binomial coefficients
Soc
London
Math
coefficients, J
(to appear)
[7] H Wegner, Über das Maximum bei Stirlingschen Zahlen zweiter Art, J reine u angew Math
262)263, 134-143 (1973)
-
III