Das Gegenstrom

Das Gegenstrom-Prinzip
Grundprinzip:
Um einen Temperaturausgleich durch Wärmeleitung (oder einen Konzentrationsaustausch
durch Diffusion) zwischen zwei Flüssigkeitskreisläufen zu erreichen, ist es effizienter, wenn
beiden Flüssigkeiten im Wärmetauscher (oder in einer künstlichen Niere oder in Fischkiemen)
in entgegengesetzten Richtungen strömen.
Im folgenden untersuchen wir, warum der Gegenstrom zu einem besseren Austausch führt als
der Parallelstrom, beschränken uns aber der Einfachheit halber auf den Fall, dass in beiden
Kreisläufen dieselben Flüssigkeiten mit derselben Geschwindigkeit fließen.
Mathematische Formulierung:
a. Parallelstrom
Fl. 1
Fl. 2
Die Koordinate x beschreibt die Position im Wärmetauscher, T1(x)
und T2(x) geben die Temperaturen der beiden Flüssigkeiten an der
Stelle x an.
Nun gilt, dass die zwischen Flüssigkeiten pro cm Wärmetauscher
ausgetauschte Energie (und damit die Temperaturänderungen der
beiden Flüssigkeiten) proportional zur Temperaturdifferenz zwischen
den beiden Flüssigkeiten ist, also
d
T 1( x)
dx
   T 1( x)  T 2( x) 
d
T 2( x)
dx
   T 1( x)  T 2( x) 
(1a)
(1 b)
Die Konstante  hängt dabei von der Bauart des Wärmetauschers, von der verwendeten
Flüssigkeit und von der Strömungsgeschwindigkeit ab. Weil wir der Einfachheit halber
gleichartige Flüssigkeiten und gleiche Strömungsgeschwindigkeiten betrachten, muss sich
Flüssigkeit 2 an jeder Stelle des Wärmetauschers um genau jene Temperatur erwärmen, um
die sich Flüssigkeit 1 abkühlt.
Aus diesen Gleichungen erkennt man, dass
d
T 2( x)
dx
d
 T 1( x)
dx
und damit (durch Integrieren dieser Gleichung auf beiden Seiten)
T 2(x)
T 1(x)  c 1
(2)
Einsetzen in die erste Gleichung unseres Differentialgleichungssystems ergibt
d
T 1( x)
dx
2  T 1( x)    c 1
Variablentrennung führt zu





1
 2  T 1    c 1
dT 1

 1 dx


Beidseitige Integration und Auflösen der erhaltenen Gleichung nach T1 führt nach
Umbenennung der Integrationskonstanten zu
x
c1
T 1( x)
2
 2x
 c 2e
Wenn man diese Gleichung in (2) einsetzt, erhält man
T 2( x)
c1
2
 2x
 c 2e
c1 und c2 lassen sich aus den Einströmtemperaturen T1(0) und T2(0) bestimmen:
T 1( 0)  T 2( 0)
T 2( x)
2
T 1( 0)  T 2( 0)
T 1( x)
2


T 1( 0)  T 2( 0)
2
T 1( 0)  T 2( 0)
2
 2x
e
 2x
e
Interpretation: Bei dem mit Parallelstrom betriebenem Wärmetauscher (mit gleichartigen
Flüssigkeiten und gleicher Durchflussgeschwindigkeit) nähern sich die Temperaturen der
beiden Flüssigkeiten beim Durchfluss exponentiell an den Mittelwert der Einströmtemperaturen an. Im untenstehenden Diagramm sind die beiden Temperaturverläufe für Einströmtemperaturen von 80°C und 10°C und =0.01 gezeichnet. Eine Verlängerung des
Wärmetauschers über den hier gezeichneten Bereich hinaus führt nur zu einer
geringfügigen Verbesserung des Energieaustausches.
80
70
60
80 10 ( 8010)  0.02 x

e
2
2
80 10 ( 8010)  0.02 x

e
2
2
50
40
30
20
10
0
0
50
100
150
200
x
b. Gegenstrom
Fl. 1
Fl. 2
Da die Flüssigkeit 2 nun in negativer x-Richtung strömt, ändert sich
unser Differentialgleichungssystem geringfügig:
d
T 1( x)
dx
d
dx
T2( x)
   T 1( x)  T 2( x) 
   T1( x)  T2( x) 
Also
d
dx
T2( x)
d
dx
T1( x)
und damit (durch Integrieren dieser Gleichung auf beiden Seiten)
T2(x)
T1(x)  c1
Im Unterschied zur Rechnung beim Parallelstrom fällt T1(x) nun beim Einsetzen vollkommen
weg:
x
d
dx
T1( x)
  c1
Durch Integration ergibt sich
T1( x)
  c1  x  c2
T2( x)
  c1  x  c1  c2
und
c1 und c2 lassen sich wieder aus den Einströmtemperaturen T1(0) und T2(L) bestimmen,
wobei L die Länge des Wärmetauschers angibt.
Interpretation: Bei dem mit Gegenstromstrom betriebenem Wärmetauscher (mit
gleichartigen Flüssigkeiten und gleicher Durchflussgeschwindigkeit) ändern sich die
Temperaturen der beiden Flüssigkeiten beim Durchfluss linear, wobei die Differenz der
beiden Temperaturen an jeder Position des Wärmetauschers denselben Wert aufweist. Im
untenstehenden Diagramm sind die Temperaturverläufe wiederum für Einströmtemperaturen
von 80°C und 10°C und bei zwei verschiedenen Wärmetauscher-Längen =0.01 gezeichnet.
80
80
70
T 1( x1  23.33 80)
T 2( x1  23.33 80)
60
50
T 1( x2  14  80)
40
T 2( x2  14  80)
30
20
10
0
0
0
0
100
200
x1 x1 x2 x2
300
400
400
Es ist einerseits erkenntlich, dass der im Gegenstrom betriebene Wärmetauscher effizienter ist
als der im Parallelstrom betriebene, und dass sich andererseits die Effizienz durch eine
Verlängerung des Wärmetauschers weiter erhöhen lässt.