UE zu WTheorie und Statistik, SS 2014, Blatt 3 28. Sei A#,A$,... eine

UE zu WTheorie und Statistik, SS 2014, Blatt 3
T
S
28. Sei A1 ; A2 ; : : : eine Folge von Ereignissen und B := n 1 k n Ak . Man
interpretiert B als das Ereignis, dass P
unendlich viele der Ak eintreten.
Man S
zeige, dass P (B) = 0 ist, wenn P
k 1 P (Ak ) < 1 gilt. Hinweis:
B
k n Ak für alle n, woraus P (B)
k n P (Ak ) folgt.
T
S
29. Seien A1 ; A2 ; : : : unabhängige Ereignisse
und B := n 1 k n Ak . Man
P
zeige, dass P (B) = 1 ist, wenn
P (Ak ) = 1 gilt. Hinweis: Sei
S
Sn+mk 1
Bn := k n Ak , sodass Bn
A
1 gilt. Wegen Aufk für alle m
k=n
Qn+m
x
gabe 25 und 1 x e erhalten wir P (Bn ) 1
P (Ak ))
k=n (1
1 exp[ P (An ) : : : P (An+m )]. Daraus folgt P (Bn ) = 1. Jetzt
Stetigkeitssatz.
30. Erfahrungsgemäßerscheinen 4% aller Fluggäste, die Plätze reservieren
lassen, nicht zum Flug. Die Fluggesellschaft verkauft 75 Flugkarten für 73
verfügbare Plätze. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Überbuchung gut geht?
31. Ein Prüfungstest enthält Fragen, zu denen jeweils vier Antworten vorgegeben
sind, von denen genau eine richtig ist. Einen positiven Prüfungsabschluss
erreicht man, wenn mehr als die Hälfte der Fragen richtig angekreuzt
ist. Wie viele Fragen muss man stellen, damit jemand, der rein zufällig ankreuzt, mit Wahrscheinlichkeit 0.97 durchfällt?
32. Man würfelt so lange, bis zum n-ten Mal 6 auftritt. Wie großist die
Wahrscheinlichkeit, dass dies beim j-ten Wurf passiert? (“negative Binomialverteilung”)
33. Die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt mit dem Parameter > 0
(E( )-verteilt), habe also die W-Dichte f (x) := e x (x 2 [0; 1)). Für
s; t 0 gilt dann P [X > t + s j X > s] = P [X > t].
34. Die Lebensdauer X einer Glühbirne (in Stunden) sei E( )-verteilt. Sie
überlebt 100 Stunden mit Wahrscheinlichkeit 0.9. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass sie 200 Stunden überlebt? Wie viele Stunden überlebt sie
mit Wahrscheinlichkeit 0.95?
35. Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F und a 2 R. Man
berechne die Verteilungsfunktion von Y := max(0; X a).
36. Zum Schutz vor naiven Fehlinterpretationen desP
Gesetzes der groß
en Zahl.
n
Für 0-1-Folgen = ( 1 ; 2 ; : : :) sei Hn ( ) := n1 j=1 j die relative Häu…gkeit der 1 unter den ersten n Einträgen. Wir nennen
fair wenn
limn!1 Hn ( ) = 21 gilt. Man zeige: a) Für jedes m
1 gibt es eine
faire Folge mit 1 = : : : = m = 0. b) Es gibt es eine faire Folge mit
1
beliebig langen Null-Blöcken, also für jedes m
dass k+1 = : : : = k+m = 0.
1 gibt es ein k
1 so,
37. Es sei X eine gemäßder W-Dichte f (x) = 2x (x 2 [0; 1]) zufällig im
Einheitsintervall gewählte Zahl. An der Stelle X zerschneiden wir das
jenes in [0; X] und [X; 1]. Unabhängig von X wird eine faire Münze Y
geworfen. Falls Y = 0, so wird das linke Teilintervall gewählt, ansonsten
das rechte. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das gewählte
Intervall mindestens so lang wie das andere ist. Was geschieht, wenn statt
Y eine unfaire Münze Z mit P [Z = 0] = 13 verwendet wird?
38. Es sei n = 2m, und X sei B(n; 12 )-verteilt. Sei b2m := P [X = m] das
Maximum der Einzelwahrscheinlichkeiten dieser symmetrischen Binomialverteilung. Erinnern
Sie sich an die Stirling’sche Formel, um zu sehen,
p
dass limm!1
m b2m = 1.
x2
39. Zeigen Sie, dass die Funktion '(x) := p12 e 2 (x 2 R), tatsächlich eine
R1
W-Dichte ist, dh dass 1 '(x) dx = 1 gilt. Es gibt viele Wege, dies zu
überprüfen. Versuchen Sie den folgenden und nutzen Sie die Gelegenheit,
die verwendeten Resultate der Analysis (im Detail) zu wiederholen:
RR
2
2
Bestimme zuerst das Integral Ib :=
e x y dx (b > 0)
f(x;y):x2 +y 2 b2 g
über die Kreisscheibe
Radius b durch Übergang zu Polarkoordinaten,
R R vom
x2 y 2
und damit I :=
e
dx. Drücke I dann als Grenzwert der Inte2
R
RR
2
2
grale über Quadrate der Kantenlänge 2a aus,
e x y dx.
[ a;a]2
2