¨Ubungsblatt 9 13.5.2003 zu Mathematische Grundlagen für das

Übungsblatt 9
13.5.2003
zu Mathematische Grundlagen für das Physikstudium III
Aufgabe 1: Hat C3 eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren einer der folgenden Matrizen?
 1+i

√ 
√

 
0
0
2
q
10
5
10
4
0 − 2

1 
1
2
1 

√1
0
5 −14
2 ,  √
0
3
0 ,
5 (i − 2 ) 
2

q
15
3
10
2
−11
− 2 0
5
2
√i
0
(1 + i )
2
5
2
Wenn ja, so bestimme für diese Matrix die Eigenwerte und gib eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren an!
Aufgabe 2: Elektronenspinresonanz beim Rubin Der Rubin (Al2 O3 Korrundkristall
mit Cr3+ Ionen verunreinigt) werde mit ESR untersucht. Um ein lösbares Modell zu bekommen,
dessen Vorhersagen mit dem Experiment verglichen werden kann, beschränkt man sich in einem
ersten “Toy”-modell auf den Grundzustand des Cr3+ -Ions. Nach der Hundschen Regel hat dieser
die Spinquantenzahl S = 23 , ist also ohne äußere Felder 2S + 1 = 4 fach entartet. In diesem
vierdimensionalen C-Vektorraum beschreibt
1
H = µB B(gk cos θSz + g⊥ sin θSx ) + hD(Sz2 − S(S + 1)E4 )
3
~ Hier ist θ der Winkel
die Wechselwirkung mit einem zeitunabhängigen äußeren Magnetfeld B.
~
zwischen B und einer ausgezeichneten Kristallachse, gk , g⊥ sind Materialkonstanten des Rubins,
die pararllel bzw. senkrecht zu dieser Kristallachse verschiedene Werte annehmen. (Tabellenwerte: gk = 1, 984 und g⊥ = 1, 9867, D=5,7235 GHz)

√
0
√
 3

Sx =  2
 0
0
3
2
0
1
0
0
1
0
√
3
2

 3
0
2

 0
0

√  , Sz = 
 0
3 
2
0
0
0
0
1
0
2
0 − 12
0 0

0
0 

0 
− 32
h ist die Plankkonstante und µB = 9, 2741 · 10−24 TJ das Bohrsche Magneton. Fragen:
1. Wieso sind die Eigenwerte von H reelle Zahlen? Wieso gibt es eine Basis von C4 aus
orthonormalen Eigenvektoren von H?
2. Berechne für θ = 0 die Eigenwerte und Eigenvektoren von H (diese sind dann noch von B
abhängig!)
3. Bestimme die Eigenwerte von H für θ =
π
2
(diese sind dann noch von B abhängig!)
4. Es bezeichne E1 (B) ≤ E2 (B) ≤ E3 (B) ≤ E4 (B) die eben berechneten Eigenwerte und
Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 die zugehörigen Eigenvektoren. Nun wird ein zeitabhängiges äußeres Feld
mit Frequenz ν eingeschaltet. Gilt dann hν = Ek (B) = Ej (B), so werden dadurch
Übergänge Ψk ↔ Ψj angeregt. Diese Übergänge zeigen sich durch Peaks in der ESR
Messung. Wie viele Peaks erwartet man von den Übergängen Ψ1 ↔ Ψ2 , Ψ2 ↔ Ψ3 und
Ψ3 ↔ Ψ4 bei einer der Messungen, wenn B zwischen 0T und 0, 5T variiert wird und die
Frequenzen ν1 = 10, 050GHz, ν2 = 9, 647GHz und ν3 = 9, 188GHz verwendet werden?