Universität des Saarlandes Lehrstab Statistik Dr. Rolf Hauser WS
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WS 2009/10
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Universität des Saarlandes
Lehrstab Statistik
Dr. Rolf Hauser
A VIE N
11. Übungsblatt zu deskriptiver Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe 68
Die Lebensdauer elektrischer Bauteile einer bestimmten Sorte (in Stunden) lasse sich durch eine mit dem
Parameter λ exponentialverteilte Zufallsvariable X angemessen beschreiben. Für die Aufgabenteile a) bis d) sei
λ = 1/500 vorausgesetzt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t0 = 200 nicht ausfällt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeait dafür, dass ein Bauteil vor dem Zeitpunkt t1 = 100 ausfällt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauteil zwischen den Zeitpunkten t2 = 200 und t3 = 300
ausfällt?
d) Welchen Zeitpunkt t4 überlebt ein Bauteil mit genau 90% Sicherheit, welche Zeitpunkte überlebt ein Bauteil
mit mindestens 90% Sicherheit?
e) Für welchen Wert des Parameters λ ergibt sich eine Lebensdauerverteilung, bei der mit Wahrscheinlichkeit
0.9 die Lebensdauer eines Bauteiles mindestens 50 Stunden beträgt?
Aufgabe 69
Es sei X eine Zufallsvariable mit der Dichte:
1 x−1 2
1
fX (x) = √ e− 2 ( 2 ) für − ∞ < x < ∞.
2 2π
a) Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
(1) P {X ≤ 1},
(2) P {X ≤ −1},
(3) P {−1, 5 ≤ X ≤ 3, 5}, (4) P {X > 4}.
b) Geben Sie a, b bzw. c so an, dass gilt:
(1) P {X ≤ a} = 0, 95,
(2) P {X > b} = 0, 90,
(3) P {1 − c ≤ X ≤ 1 + c} = 0, 95.
Aufgabe 70
Eine Metallhobelmaschine stellt Platten her. Die Plattendicke X [mm] ist eine normalverteilte Zufallsvariable
mit dem Erwartungswert µ = 10 [mm] und der Standardabweichung σ = 0, 02 [mm].
a) Wieviel % Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Platten höchstens 10,05 [mm] stark sein dürfen?
b) Wieviel % Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Plattendicken maximal ±0, 03 [mm] vom Sollwert 10 [mm]
abweichen dürfen?
c) Wie müsste man die Toleranzgrenzen Tu und To wählen, damit nicht mehr als 5% Ausschuss entsteht?
d) Wie stark verringert sich der Ausschussanteil in (b), wenn man eine bessere Hobelmaschine einsetzt, bei der
σ = 0, 01 [mm] ist?
Aufgabe 71
Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Es sei X die Anzahl der dabei erhaltenen Wappen und Y der absolute
Wert der Differenz zwischen der Anzahl der erhaltenen Wappen und Zahlen.
a) Geben Sie die gemeinsame Verteilung des Zufallsvektores Z = (X, Y ) an.
b) Geben Sie die Randverteilung von X und Y an.
c) Bestimmen Sie FZ (2, 3).
d) Prüfen Sie nach, ob X und Y stochastisch unabhängig sind.
Aufgabe 72
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle für die diskreten Zufallsvariablen X und Y ist unvollständig gegeben:
Y
X
1
3
1
12
·
p·j
·
0
2
3
pi·
·
1
8
·
1
8
·
1
2
·
3
4
1
a) Vervollständigen Sie die Tabelle.
b) Geben Sie die Randverteilungen von X und Y an.
c) Bestimmen Sie FY (2).
d) Bestimmen Sie F(X,Y ) (2, 2).
e) Berechnen Sie P{X ≤ 3; Y < 2}.
f) Berechnen P{X ≤ 0 | Y = 2}.
Aufgabe 73
Ein Zufallsvektor Z = (X, Y ) habe die gemeinsame Dichtefunktion:
c(x + y) für x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2
fZ (x, y) =
0
sonst
a) Zeigen Sie, dass c = 3/8 gelten muss.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit: P {X ≤ 1; Y ≤ 1}.
c) Zeigen Sie, dass für die Randdichte fX (x) des Zufallsvektors (X, Y ) gilt:
fX (x) =
3
16 (4
− x2 )
0
für 0 ≤ x ≤ 2
sonst
d) Geben Sie die bedingte Dichte fY |X=x an.
Aufgabe 74
Ein Zufallsvektor Z = (X, Y ) habe die bedingte Dichte:
2(1 − x)
für y ≤ x ≤ 1
fX|Y =y (x) =
(1 − y)2
0
sonst
0≤y<1
und die Randdichte
fY (y) =
12y(1 − y)2
0
für 0 ≤ y ≤ 1
sonst
a) Geben Sie eine gemeinsame Dichtefunktion des Zufallsvektors Z = (X, Y ) an.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P {X ≥ 0, 5; Y ≤ 0, 5}.
c) Zeigen Sie, dass für eine Randdichte fX (x) des Zufallsvektors Z = (X, Y ) gilt:
fX (x) =
d) Geben Sie eine bedingte Dichte fY |X=x an.
12(1 − x)x2
0
für 0 ≤ x ≤ 1
sonst
