Theoretische Physik IV: Quantenmechanik Aufgabenzettel Nr. 3

Theoretische Physik IV: Quantenmechanik
(Vorlesung Prof. Dr. J. Timmer)
Aufgabenzettel Nr. 3
Aufgabe 1: Beschränkte und unbeschränkte Operatoren
(5 Pkt.)
Sei H ein Hilbertraum und  : H → H ein linearer Operator auf H. Dieser heißt beschränkt, wenn
seine Operatornorm
k |ψi k
|ψi∈H k |ψi k
kÂk := sup
endlich ist. Hierbei wird die Norm auf dem Hilbertraum durch das Skalarprodukt induziert, d.h. k |ψi k :=
p
hψ|ψi.
i.) Sei nun  beschränkt, selbstadjungiert und das Spektrum {λn }n∈N von  sei diskret. Zeigen
Sie mithilfe der Spektraldarstellung
X
 =
λn |ni hn| ,
n
dass kÂk = max |λn | gilt. (2 Pkt.)
n
ii.) Der Spektralsatz gilt auch für unbeschränkte Operatoren und lässt sich nutzen, um Funktionen
von Operatoren zu bilden: Sei Ĥ ein unbeschränkter, selbstadjungierter Operator mit Spektrum
{En | En = ~ω( 21 + n)}n∈N . Zeigen Sie mithilfe der Spektraldarstellung von Ĥ, dass
∞
∞
X
X
(−β Ĥ)k
=
e−βEn |ni hn|
%̂ ≡ exp −β Ĥ :=
k!
n=0
k=0
gilt. Ist %̂ beschränkt oder unbeschränkt? (3 Pkt.)
Aufgabe 2: Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum
(10 Pkt.)
Die in Aufgabe 1 verwendeten Operatoren hatten alle ein diskretes Spektrum {λn }n∈N , für welches
man Zustände |ni ∈ H findet, so dass die Eigenwertgleichung  |ni = λn |ni gilt. Für Operatoren
mit kontinuierlichen Spektren existieren solche Zustände im Allgemeinen nicht, was in dieser Aufgabe
anhand der Orts- und Impulsoperatoren veranschaulicht wird.
Sei H = L2 (R) der Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen. Eine Teilmenge dieses Funktionenraums ist der Schwartz-Raum
α ∂β
∞
S(R) = φ ∈ C (R) | ∀α, β ∈ N0 : sup x
φ(x) < ∞ ⊂ L2 (R).
∂xβ
x∈R
Während ein Hilbertraum H immer mit seinem Dualraum H0 identifiziert werden kann, gilt für den
Schwartzraum S(R) ⊂ S0 (R). Hieraus folgt die Beziehung
S(R) ⊂ H ⊂ S0 (R)
der drei Räume, die als Gelfandsches Raumtripel bezeichnet werden.
i.) Zeigen Sie, dass die Operatoren x̂ : (x̂φ)(x) = xφ(x) und p̂ : (p̂φ)(x) =
unbeschränkte Operatoren auf S(R) sind. (4 Pkt.)
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~ dφ
i dx (x)
lineare,
R
R
ii.) Wegen φ∗ (x)Âψ(x)dx = († φ(x))∗ ψ(x)dx kann jedem Operator  : |ψi 7→ |ψ 0 i = |Âψi =
 |ψi auf S(R) ein entsprechender (adjungierter) Operator † : hψ| 7→ hψ 0 | = hÂψ| = hψ| † auf
dem Dualraum S0 (R) zugewiesen werden. Zeigen Sie, dass die Funktionale
Z
i
1
√
hφλ | : |ψi 7→ hφλ |ψi =
e− ~ λx ψ(x)dx
2π~
hδλ | : |ψi 7→ hδλ |ψi = ψ(λ)
aus dem Dualraum S0 (R) Lösungen zu den verallgemeinerten Eigenwertgleichungen
hp̂φλ | = hφλ | p̂† = λ hφλ |
hx̂δλ | = hδλ | x̂† = λ hδλ |
sind. (2 Pkt.)
i
1
e ~ λx gibt, die
Bemerkung: Während es die (nicht quadratintegrable) Funktion φλ (x) = √2π~
(p̂φλ )(x) = λφλ (x) erfüllt, gibt es die entsprechende Funktion für den Ortsoperator nicht.
Dennoch ist die Schreibweise x̂δ(x − λ) = λδ(x − λ) mit δ(x − λ) ' hδλ | sehr gebräuchlich.
iii.) Zeigen Sie die verallgemeinerten Vollständigkeitsrelationen
Z
Z
∗
∀φ, ψ : hφ|ψi = hφ|
dλ |δλ i hδλ | |ψi := dλ hδλ |φi hδλ |ψi
Z
Z
∗
hφ|ψi = hφ|
dλ |φλ i hφλ | |ψi := dλ hφλ |φi hφλ |ψi
Hinweis: Verwenden Sie die Eigenschaft F−1 ◦ F =
1 der Fouriertransformation F auf S(R).
(2 Pkt.)
iv.) Betrachten Sie den Differentialoperator D̂ : (D̂ψ)(x) = x dψ
dx auf S(R). Zeigen Sie, dass
hD̂δ0 | = hδ0 | D̂† = − hδ0 |
gilt. (2 Pkt.)
d
Bemerkung: Im ursprünglichen Raum lautete diese Gleichung x dx
δ(x) = −δ(x) mit der “Funktion” δ(x).
Münsteraufgabe
Verlässt man das von 1999-2004 restaurierte Hauptportal des Münsters, steht rechter Hand eine von
vorne reichgeschmückte schöne Frau. Was will uns deren Rückseite sagen?
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