Theoretische Informatik: Logik

Theoretische Informatik: Logik
WS 2011/2012
Blatt 13
Keine Abgabe!
AUFGABE 1. Angenommen, wir ersetzen die Regel (∨R ) im Sequenzenkalkül für Aussagenlogik durch die beiden folgenden Regeln (∨0R1 ) und (∨0R2 ) :
Γ =⇒ ∆, ϕ
(∨0R1 )
Γ =⇒ ∆, ϕ ∨ ψ
Γ =⇒ ∆, ψ
(∨0R2 )
Γ =⇒ ∆, ϕ ∨ ψ
Wir gehen zunächst davon aus, dass die Regel KontrR nicht vorhanden ist.
a) Ist der so definierte Sequenzenkalkül vollständig für die Aussagenlogik? Falls ja, so
begründen Sie Ihre Antwort. Falls nein, so geben Sie eine Sequenz an, die gültig, aber
nicht beweisbar ist.
b) Ist der so definierte Sequenzenkalkül korrekt für die Aussagenlogik? Falls ja, so begründen
Sie Ihre Antwort. Falls nein, so geben Sie eine Sequenz an, die beweisbar, aber nicht
gültig ist.
c) Wir erweitern nun den so definierten Sequenzenkalkül um die Regel KontrR . Zeigen
Sie, dass dann eine Sequenz genau dann beweisbar ist, wenn sie gültig ist.
AUFGABE 2. Wir betrachten einen zweistelligen Junktor ⊕ der durch folgenden Wahrheitstafel definiert ist:
ϕ
0
0
1
1
ψ
0
1
0
1
ϕ⊕ψ
0
1
1
0
a) Geben Sie eine aussagenlogische Formel an, die äquivalent zu der Formel ϕ ⊕ ψ ist.
b) Geben Sie Beweisregeln ⊕R und ⊕L für den Sequenzenkalkül an.
AUFGABE 3. Sei A = (2N , R) eine Struktur, in der R = {(M1 , M2 ) | M1 , M2 ∈ 2N und |M1 | ≤
|M2 |}. Die folgenden Formeln sind gegeben:
Totalität: ∀x∀y (R(x, y) ∨ R(y, x))
Transitivität: ∀x∀y∀z (R(x, y) ∧ R(y, z) → R(x, z))
.
Antisymmetrie: ∀x∀y (R(x, y) ∧ R(y, x) → x = y)
Seien S1 und S2 Modellklasse mit: S1 = M od({Totalität, Transitivität, Antisymmetrie}) und
S2 = M od({Totalität, Transitivität}).
a) Begründen Sie ob A ∈ S1 und A ∈ S2 gelten.
b) Geben Sie einen Graphen G mit genau 4 Knoten an, so dass G ∈ S1 .
c) Geben Sie einen Graphen G mit genau 4 Knoten an, so dass G ∈ S2 \S1 .
AUFGABE 4. Prüfen Sie, ob die Literale der folgenden Literalmengen unifizierbar sind.
Begründen Sie und geben Sie im positiven Fall einen allgemeinsten Unifikator an.
a) L1 = {P (x, y), P (f (a), g(x))}
b) L2 = {P (y, g(x)), P (x, f (y))}
c) L1 = {P x1 , x2 , g(x1 , x2 , f (x2 )) , P (x3 , f (b), x4 ), P (b, f (x3 ), x5 )}
AUFGABE 5. Zeigen Sie durch Anwendung der Prädikatenlogischen Resolution, dass die
folgende Klauselmenge unerfüllbar ist:
K = {{¬P (x, y)}, {P (x, x), ¬Q(x, f (y))}, {Q(x, x), ¬R(x)}, {R(f (c))}}.
AUFGABE 6.
a) Sei f ein n-stelliges Funktionssymbol. Wir führen ein neues (n + 1)-stelliges Relationssymbol Rf ein. Geben Sie eine FO-Formel an, die besagt, dass sich die Relation Rf
funktional verhält, dass es also für jedes n-Tupel (x1 , . . . , xn ) genau ein y gibt, so dass
das Tupel (x1 , . . . , xn , y) in der Relation Rf steht.
.
b) Sei t1 = t2 eine atomare Formel mit beliebigen Termen t1 und t2 . Geben Sie zu dieser
.
eine äquivalente Formel an, die nur noch atomare Formeln der Form f (y1 , . . . , yn ) = x
verwendet, wobei die x, y1 , . . . , yn Variablen sind.
c) Erklären Sie, wie man mit a) und b) aus einer beliebigen Formel eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel konstruieren kann, die keine Funktionssymbole mehr enthält. Dabei
können Sie davon ausgehen, dass mithilfe der Teilaufgabe b) auch Funktionssymbole
innerhalb von atomaren Formeln der Form R(t1 , . . . , tn ) eliminiert wurden.
d) Laut der Vorlesung gibt es 1. keinen Algorithmus, der zu einer beliebigen FO-Formel
entscheidet, ob diese erfüllbar ist und 2. einen Algorithmus, der zu einer beliebigen, rein
relationalen FO∀ -Formel entscheidet, ob diese erfüllbar ist. Außerdem lässt sich jeder
FO-Satz durch Skolemisierung in einen erfüllbarkeitsäquvalenten FO∀ -Satz überführen.
Laut Aufgabe c) lassen sich beliebige Formeln jedoch erfüllbarkeitserhaltend in relationale Formeln übersetzen. Das würde dann aber 1. und 2. widersprechen. Erklären
Sie, wo der Fehler in dieser Argumentation liegt.