semantische Folgerung
Werbung
3. Logik
Inferenz
3. Logik
Zielrichtungen der Inferenz
Inferenz
3 Logik
Gegenstand der Logik:
Prognosen, logische Ableitungen erstellen
Es ist Fakten
und Regeln gegeben. Was
kann daraus gefolgert werden? Beispiel: Wenn
es regnet, dann ist die Straße naß. Was kann aus
der Tatsache, daß es regnet, gefolgert werden?
Repräsentation von Wissen durch Formeln eines
adäquaten Logikkalküls
Herleitung (Inferenz) von neuem Wissen auf Basis der Kalküls.
Erklärungen finden
Wie läßt sich ein Fakt
mit Hilfe der Regeln erklären? Beispiel: Die Straße ist naß. Wie kann
das sein?
Anwendungsgebiete der Logik in der Wissensverarbeitung:
Inferenz in Expertensystemen
Hypothesen prüfen
Können aus den Fakten
und den Regeln die Hypothesen hergeleitet werden? Beipiel:
Wenn es regnet, dann ist die Straße naß. Es regnet. Ist die Straße dann naß?
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automatisches Beweisen
Programmverifikation
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3. Logik
74
Inferenz
Arten der Inferenz
Deduktion
Zum Starten eines Autos ist eine aufgeladene
Batterie notwendig. Bei unserem Auto ist die Batterie leer. Wir schließen, daß wir unser Auto nicht
starten können.
Induktion
Wir haben wiederholt beobachtet, daß ein Auto
nicht startet und die Batterie leer ist. Wir haben
noch nie beobachtet, daß ein Auto mit leerer Batterie gestartet werden konnte. Wir schließen daraus, daß ein Auto, das eine leere Batterie hat,
nicht gestartet werden kann.
Abduktion
Zum Starten eines Autos ist eine aufgeladene
Batterie notwendig. Unser Auto läßt sich nicht
starten. Wir schließen, daß die Batterie leer ist.
77
Inferenz
Weitere Aspekte bei der Wissensverarbeitung mit
Logik
Qualifikationsproblem
unpräzise Angaben
3. Logik
probabilistische Aussagen und Regeln
räumlich-zeitliches Wissen
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75
Logikprogrammierung, deduktive Datenbanken
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76
3. Logik
Formeln
Aussagenlogik
Formeln ermöglichen es, Dinge der repräsentierten Welt auszudrücken.
Formeln entsprechen einer gewissen Syntax (sie sind wohlgeformt).
Diese Syntax legt eine Wissensrepräsentationssprache fest.
Formeln sind üblicherweise rekursiv aufgebaut.
Die atomaren Formeln ergeben sich aus der Signatur.
80
Mit logischen Verknüpfungsoperatoren (den Junktoren) werden aus
atomaren Formeln schrittweise komplexere Formeln aufgebaut.
Aussagenlogik
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Falls
und / aussagenlogische Formeln sind,
dann sind auch die folgenden Konstrukte aussagenlogische Formeln:
3. Logik
Signatur
Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems.
Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular,
d.h. eine Menge von Namen, die Dinge der realen Welt beschreiben
können.
78
Aussagenlogik
Die Elemente der Menge
sind aussagenlogische Formeln, die sogenannten atomaren Formeln.
Eine derartige Menge von Namen wird als Signatur bezeichnet und
üblicherweise durch gekennzeichnet.
Im folgenden benutzen wir üblicherweise Großbuchstaben als Aussagenvariablen.
79
Definition 3.2. Für eine aussagenlogische Signatur
ist die Menge !#"%$%&('*)#+,.- der aussagenlogischen Formeln wie folgt definiert:
Den Namen ist i.d.R. eine gewisse Stelligkeit zugeordnet.
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Aussagenlogische Formeln
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3. Logik
81
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Aussagenlogische Signatur
Definition 3.1. Eine aussagenlogische Signatur ist eine Menge von
(nullstelligen) Bezeichnern, den Aussagenvariablen.
ist eine aussagenlogische Signatur, die drei Aussagenvariablen zur
Verfügung stellt.
Beispiel 3.1. Die Menge
Aussagenlogik
3. Logik
3. Logik
3. Logik
Aussagenlogik
+,0
21
+
/3-
65
+
/3-
67
+
/3-
Bemerkung 3.1. Zur Vereinfachung der Schreibweise verzichten wir i.d.R. auf die Klammerung und
benutzen statt dessen die folgenden Bindungsprio1
4
5
7
ritäten: 098 8 8 8 .
:
Aussagenlogik
-Interpretation her-
83
3. Logik
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
/3-
24
+
-Interpretation
Die Syntax einer Logik legt ausschließlich deren äußere Form fest,
sie sagt aber nichts über die Bedeutung der Formeln aus.
Benötigt wird eine Verbindung zwischen den syntaktischen Elementen der Logik und den Objekten der zu repräsentierenden Welt.
Diese Verbindung wird durch eine sogenannte
gestellt.
Eine -Interpretation einer Signatur ist die Zuordnung von den Elementen der Signatur (Namen) zu den Elementen der zu repräsentierenden Welt.
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Aussagenlogik
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3. Logik
Aussagenlogik
Belegung
Erfüllungsrelation
Die Interpretation liefert uns nur einen Wahrheitswert für die atomaren Formeln.
eine aussagenlogische
Definition 3.3. Es sei
Signatur.
5
Wir benötigen eine Ausdehnung der Semantik
dc
auf alle Formeln
!E"%$%&('K)E+,.- .
Dieses stellt uns eine Erfüllungsrelation
82
eV
bereit.
Durch solch eine Erfüllungsrelation ist definiert,
ob eine Formel in einer -Interpretation ; wahr
ist oder nicht, d.h.
sie ordnet einer Interpretation und einer Formel
einen Wahrheitswert zu.
ONCP*Q
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85
D
F(M
+,.-
bezeichnet die Menge der Belegungen
für .
Beispiel 3.2. Für die Signatur aus Beispiel 3.1 ist
definiert durch
;
;R+
FED Q
B(DGF
! S%'GU('%$T
D PKZ
QY
;R+WSXJ
$
;R+WSXJ
Eine Erfüllungsrelation definiert hierzu im wesentlichen die Semantik der Junktoren.
ACBEDGF
Eine Abbildung ;=<>@?
$E8IH
)KJKL
heißt
aussagenlogische Interpretation oder Belegung
für .
Q[
$XUE'ES
Q
V
J]\
P
DGF
H_^
$
B(DGF
V
Sa`X-bV
D
H
$
F
)KJKL
eine mögliche Belegung.
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84
s
r{
p
o
|
q
c
!E"%$g&T'K)#+,.- (nichtDefinition 3.4. Es seien 8f/
atomare) aussagenlogische Formeln. Durch die folgenden Wahrheitstafel wird eine -Interpretation ;
von auf die Menge !E"%$g&T'K)#+h.- ausgedehnt:
;R+
s
q
r
B
H
O1
;R+
-i;R+h/3H
tu
Für
B
c
;
;R+
H
B
NCPKQ
H
und
;R+
/3B
H
B
H
B
+,>-
j5
/3-
B
B
v
/3-
H
B
O4
;R+
H
B
q
;R+,0
H
o
-
B
s
B
H
B
kc
!#"X$g&('*)#+,>-
H
gelte:
r
. Gilt
|
|
Semantik der Aussagenlogik
n
und
w Aussagenlogik
op
.
n
3. Logik
Modell
r
s
” und
v
r
bezeichnet die Menge aller -Modelle für
tu
als -Modell für
|
n
q
n
}
3. Logik
q
s
n
“ erfüllt
z
Definition 3.5. Es seien
so sagen wir
bezeichnen
s
;le V
.
n
n
w w s
s
,
87
Aussagenlogik
Für eine Menge
von Formeln gelte
gdw.
. ist dann ein Modell für die Formelmenge .
für alle
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x
ty
heißt
allgemeingültig (Tautologie) gdw. jede Interpretation ein Modell für die Formel ist.
n
~
88
Aussagenlogik
Die Begriffe werden in analoger Weise für Formelmengen !#"X$g&T'K)#+,>- verwendet.
89
falsifizierbar gdw. es eine Interpretation gibt, die
kein Modell für die Formel ist.
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~
aus Beispiel 3.2 ist ein Modell für die
unerfüllbar (Kontradiktion) gdw. es kein Modell
für die Formel gibt.
Modell (2)
erfüllbar gdw. es ein Modell für die Formel gibt.
86
3. Logik
Definition 3.6. Eine Formel
$
Beispiel 3.3. Die Interpretation
Formel
“Kräht der Hahn auf dem Mist, ändert sich das
Wetter oder es bleibt wie es ist”
n
kein Modell für die Formel
Besonders interessant sind Formeln, die für alle Interpretationen wahr bzw. falsch sind.
B(DGF
-mV
Dagegen ist
Erfüllbarkeit
Beweis mit Wahrheitstafeln ✎.
Aussagenlogik
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3. Logik
gdw. ;R+
3. Logik
Aussagenlogik
3. Logik
Aussagenlogik
Tautologie
Semantische Folgerung
Beispiel 3.4. Wichtige Tautologien sind:
Modus Ponens
In einem wissensbasierten System wollen wir
Fakten aus anderen Fakten und Regeln herleiten.
21
A]
V
1
CC
EM
8aCC8
entspricht
/3-I-
j5
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|
?
5
|
/3-
Oder-Introduktion
j5
24
+
/3-
Resolutionsregel
65
++
1
/3-
65
5
+,0
4
--
+,/
-
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3. Logik
90
Aussagenlogik
Semantische Folgerung (2)
c
8f/
!E"%$%&('K)E+,.-
aussa-
G heißt semantische Folgerung von
gdw. jedes Modell für F auch ein Modell für G ist.
In diesem Fall schreiben wir
e V/
Wir sagen auch “ / folgt logisch aus
folgt semantisch / ”.
.
” bzw. “aus
Für eine Formelmenge gelte ie V/ gdw. jedes Modell für auch ein Modell für G ist.
Für Formelmengen 8I gelte
c
/
für alle /
gilt.
e V
gdw.
e V
Aussagenlogik
93
gefolgert werden, d.h. gilt
0
Und-Elimination
Definition 3.7. Es seien
genlogische Formeln.
Semantische Folgerung (3)
die Aussage
|
3. Logik
Beispiel 3.5. Gegeben sei die Formelmenge
Kann aus
Ja! Beweis mit Wahrheitstafeln ✎.
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91
0m/3-
21
Damit können wir die Erfüllungsrelation e V auf
eine Beziehung zwischen Formeln und Formelmengen ausdehnen.
|
5
/3-
.
Unser übliches Verständnis von Folgerung läßt
sich so ausdrücken: Ist eine Formel / immer
dann wahr, wenn alle Formeln aus wahr sind,
dann folgt / aus .
/
1
++
+
w 5
+
Modus Tollens
Wir können eine Wissensbasis als eine Menge
!#"X$g&('*)#+,>- betrachten.
Eine solche Menge
1
der Konjunktion
j5
+
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92
3. Logik
Semantische Folgerung (4)
Aussagenlogik
3. Logik
ist unerfüllbar.
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96
Aussagenlogik
aussagenlogische Formeln. Dann gilt:
Semantische Folgerung (5)
Satz 3.1. Es seien
s
Bemerkung 3.2. Die Äquivalenzen können auf Formelmengen
ausgedehnt werden.
ist unerfüllbar.
ist Tautologie.
s
Beispiel 3.6. Wir wollen uns ein Haustier anschaffen und machen folgende Überlegungen:
)
gdw.
£
¢
ist Tautologie gdw.
gdw.
£
¢
¢
s
s
1. Es sollte nur ein Hund ( ), eine Katze ( ) oder ein Hamster (
sein.
2. Besitzer wertvoller Möbel ( ) sollten keine Katze anschaffen, da diese die Möbel zerkratzen würde.
3. Ein Hund erfordert ein freistehendes Haus ( ), damit sich kein Nachbar durch das Bellen gestört fühlt.
94
Aussagenlogik
w ¢
Wir vermuten: Für einen Besitzer wertvoller Möbel ohne freistehendes
Haus kommt nur ein Hamster in Frage.
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3. Logik
Beweis mit Wahrheitstafeln ✎.
95
|
w ¢
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¥
s
s
s
s
~
¤
¡
