MEUS_UE4_1

Mehrkrieterienoptimierung
Aufgabestellung: N.4_1 / 1
Lehrveranstaltung: Managemententscheidungsunterstützungssysteme
Fachbereich: Internationales Finanzmanagement
Aufgabestellung N.: 4_1
Thema: Mehrkriterienoptimierung
„Die Eigenschaften der Effektiven Lösung der Mehrkriterienoptimierungsaufgabe“
Übung N.1
Es ist gegebene folgende Mehrkriterienoptimierungsaufgabe:
f1(x) = 3x1 - x2  min
f2(x) = 2x1 + 3x2  max
bei den Nebenbedingungen
x1 + 2x2
-x1 + 2x2
6
4
 3
x1
x1, x2  0
Aufgabe:
a) Stellen Sie graphisch das Verfahren für die Bestimmung der Menge der effektiven
Lösungen dar!
b) Bestimmen Sie die Menge der effektiven Lösungen (MEL) für das angeführte
Mehrkriterienoptimierungsproblem!
Lösung:
a) Zuerst wir werden zwei partielle Einkriterienoptimierungsaufgabe lösen
Aufgabe LP1
f1(x) = 3x1 - x2  min
bei den Nebenbedingungen
x1 + 2x2
6
Prof. Dr. Michal Fendek
Institut für Operations Research und Ökonometrie, Wirtschaftsuniversität Bratislava
Mehrkrieterienoptimierung
Aufgabestellung: N.4_1 / 2
-x1 + 2x2
4
 3
x1
x1, x2  0
Aufgabe LP2
f2(x) = 2x1 + 3x2  max
bei den Nebenbedingungen
x1 + 2x2
-x1 + 2x2
x1
6
4
 3
x1, x2  0
Graphische Lösung beider Aufgaben ist in der nächsten Abbildung dargestellt
Prof. Dr. Michal Fendek
Institut für Operations Research und Ökonometrie, Wirtschaftsuniversität Bratislava
Mehrkrieterienoptimierung
Aufgabestellung: N.4_1 / 3
LP1_ Optimale Lösung
0
x1*    ,
 2
 
 
f 1 x1*  2 , f 2 x1*  6
LP2_ Optimale Lösung
3
x 2*    ,
1,5 
 
 
f 1 x 2*  7,5 , f 2 x 2*  10,5
Untersuchen wir noch die basische zulässige Lösung x3. Wir bekommen für die Lösung x3
folgende Charakteristiken.
 1 
x 3    ,
 2,5 
 
 
f 1 x 3  0,5 , f 2 x 3  9,5
Wir können uns leicht überzeugen, dass alle diese drei basischen zulässigen Lösungen sind
effektiv, bzw. Paretto-optimal.
 
 
f x  besser als f x 
von x1*  zu x 2* dann Wert f 1 x 2* schlechter als f 1 x1*

Wert
2
2*
2
1*
 
 
f x  besser als f x 
von x1*  zu x3 dann Wert f 1 x3 schlechter als f 1 x1*

Wert
2
3
2
1*
 
 
f x  schlechter als f x 
von x 2*  zu x1* dann Wert f 1 x 2* besser als f 1 x 2*

Wert
2
2*
2
2*
 
 
f x  schlechter als f x 
von x 2*  zu x3 dann Wert f 1 x3 besser als f 1 x 2*

Wert
2
3
2
2*
Prof. Dr. Michal Fendek
Institut für Operations Research und Ökonometrie, Wirtschaftsuniversität Bratislava
Mehrkrieterienoptimierung
Aufgabestellung: N.4_1 / 4
 
 
f x  schlechter als f x 
von x3  zu x1* dann Wert f 1 x1* besser als f 1 x3

Wert
2
1*
2
3
 
 
f x  besser als f x 
von x3  zu x 2* dann Wert f 1 x 2* schlecter als f 1 x3

Wert
2
2*
2
3
b) Die Menge der effektiven Lösungen MEL ist mit den zwei Strecken [ x1*, x3] und [x3 , x2*,]
gebildet. Für die Menge MEL dann gilt
MEL  MEL1  MEL2
wobei
MEL1  x x  x3  1   x2* ,   0,1

 1 
 3   3  2 

,   0,1 
MEL1  x x      1      
 2,5 
1,5   1   

MEL2  x x  x1*  1   x3 ,   0,1

 0
 1   1  

,   0,1 
MEL2  x x      1      
 2
 2,5   2,5  0,5 

Prof. Dr. Michal Fendek
Institut für Operations Research und Ökonometrie, Wirtschaftsuniversität Bratislava