Präsenzübung

INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Prof. Dr. U. Motschmann
P. Meier, M. Sc.
Rechenmethoden 1
WS 2014/15
1. Übungsblatt
Abgabe: keine (Präsenzübung)
Fragen zu den Aufgaben: P. Meier, Raum A223, Tel.: 391-5189, [email protected]
1. Hyperbelfunktionen
Wir betrachten die Hyperbelfunktionen
1 x
e − e−x
2
1 x
cosh(x) =
e + e−x
2
sinh(x) =
(Sinus Hyperbolicus)
(Cosinus Hyperbolicus)
(1)
.
(2)
In dieser Aufgabe sollen die wichtigsten Eigenschaften beider Funktionen diskutiert werden.
(a) Skizzieren Sie den Verlauf der Funktionen sinh(x) und cosh(x).
(b) Zeigen Sie:
1 = cosh2 (x) − sinh2 (x)
(3)
sinh(x ± y) = sinh(x) cosh(y) ± cosh(x) sinh(y)
(4)
cosh(x ± y) = cosh(x) cosh(y) ± sinh(x) sinh(y)
(5)
(c) Zeigen Sie:
sinh
x
2
r
=±
1
(cosh(x) − 1)
2
.
Dabei ist für x > 0 das positive und für x < 0 das negative Vorzeichen zu verwenden. Zeigen Sie
außerdem:
x r1
cosh
=
(cosh(x) + 1) .
2
2
(d) Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Zeigen Sie: Die Umkehrfunktion von sinh(x) ist
p
Arsinh(x) = ln x + x2 + 1
(Areasinus Hyperbolicus) .
Zeigen Sie außerdem, dass die Funktion cosh(x) für x ≥ 0 umkehrbar ist und die Umkehrfunktion
durch
p
Arcosh(x) = ln x + x2 − 1
(Areacosinus Hyperbolicus)
gegeben ist.
(e) Zwischen einer Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f¯ bestehen die Beziehungen
f f¯(x) = x und f¯ (f (x)) = x .
Rechnen Sie dies für die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen explizit nach.
Bitte wenden −→
(f) Zeigen Sie zunächst allgemein, dass die Ableitungen einer Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f¯
durch
f¯0 (x) =
1
f 0 f¯(x)
(6)
verknüpft sind. Verifizieren Sie dann Gl. (6) für die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen.
2. Trigonometrische Funktionen, Eulersche Formel und rechtwinklige Dreiecke
(a) Wir betrachten nun die Eulersche Formel
ei x = cos(x) + i sin(x) ,
(7)
die den Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen
beschreibt. Bestimmen Sie aus Gl. (7) die Ausdrücke für sin(x) und cos(x) in der Form von Gl. (1)
und (2). Zeigen Sie zudem
sin(i x) = i sinh(x)
cos(i x) = cosh(x) .
(b) Leiten Sie aus Gl. (3)–(5) die analogen Ausdrücke für sin(x) und cos(x) her.
(c) In einem rechtwinkligen Dreieck (s.u.) besteht zwischen den Seitenlängen a, b, c und dem Winkel φ
der Zusammenhang
b
sin(φ) = ,
c
cos(φ) =
a
c
.
.
a
b
φ
c
i. Zeigen Sie damit und den bisherigen Ergebnissen den Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges
Dreieck.
ii. Leiten Sie sin(φ) und cos(φ) für φ = π6 , φ = π4 und φ = π3 her.
Hinweis: Betrachten Sie für φ =
Dreieck.
π
4
ein gleichschenkliges und für φ =
π
6
bzw. φ =
π
3
ein gleichseitiges