Praktikum 3: Zustandsraumdarstellung

SiSy 2, 2009, dqtm
Praktikum 3: Zustandsraumdarstellung
Analyse von 3 mechanischen Systemen
Aufgabe 1 Mechanischer umgedämpft Oszillator.
y(t)
k
m
f(t)
(a) Bestimmen Sie die Differenzialgleichung, welche die Bewegung der Masse m beschreibt.
Nehmen Sie an die Masse bewegt sich reibungslos, y(t) ist die Position der Masse, f(t) ist die
externe Kraft (Anregungsfunktion), und k ist die Feder-Konstante.
(b) Beschreiben Sie dieses System in der ZVD, mit Position (x1) und Geschwindigkeit (x2) der
Masse als Zustandsvariablen.
(c) Berechnen Sie das Verhältnis
x& 2 dx 2
=
für f(t) gleich 0 .
x&1 dx1
Wir werden später dieses Ergebnis für das Konzept von Zustandskurve benutzen.
Aufgabe 2 Mechanische Schwingungsdämpfer.
Die Masse m1 vibriert aufgrund der sinusförmige Anregungskraft f(t). Die Masse m2 soll als
Schwingungsdämpfer wirken, so dass die Bewegung von m1 minimiert oder gleich null wird.
x1(t)
x2(t)
f(t)
k1
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m1
k2
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m2
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(a) Bestimmen Sie die Differenzialgleichung, die die Bewegung der Masse m1 beschreibt als
Funktion von m1, k1, k2, x2 und f(t) . Nehmen Sie an x1(0) = 0 und x2(0) = 0 .
(b) Bestimmen Sie die Differenzialgleichung, die die Bewegung der Masse m2 beschreibt als
Funktion von m2, k2 und x1 . Nehmen Sie an x1(0) = 0 und x2(0) = 0 .
(c) Transformieren Sie die beide Differenzialgleichung im Frequenzbereich mit der FourierTransformation.
(d) Bestimmen Sie die Frequenzgangfunktion G (ω ) =
X 1 (ω )
.
F (ω )
(e) Bestimmen Sie den Wert von m2 und k2 die geeignet sind, um die Schwingung von m1 zu
dämpfen wen f (t ) = cos(ω 0 t ) .
Aufgabe 3 Modellierung von gekoppelten Pendeln mit ZVD .
Wir wollen modellieren und untersuchen die Bewegung von N gekoppelten Pendeln, wie wir
damals in SiSy1 Praktikum 2 Aufgabe 1 für zwei Pendel berechnet haben. Das mathematische
Modell und numerische Werte für die Konstanten sind unten gegeben.
θ2
θ1
θn
θn-1
…
k
k
I =ml2
k
k
I
m = 0,2 Kg
l = 0,5 m
k = 0,025 Nm/rad
c = 0,0001 Nms/rad
g = 9,8m/s2
I
(a) Fangen Sie an, indem Sie das Modell für zwei Pendel als ein 4.Ordnung System in ZVD
Notation beschreiben. Nehmen Sie die folgende Variable als Zustandsvariable:
x1 = θ&1 ; x2 = θ&2 ;
x3 = θ1 ; x4 = θ 2 .
Bestimmen Sie dann die Matrizen A, B, C, D und verifizieren sie diese mit einer Simulation im
Matlab (benutzen Sie dafür den Vorlage-Skript pendel_zwei_zvd.m).
(b) Untersuchen Sie die Help-Beschreibung des Befehls lsim, und erklären Sie bitte, wie in diesem
Skript die homogene Antwort (free-response) des Systems berechnet wird.
(c) Erweiten Sie jetzt ihr Modell für 4 gekoppelten Pendel. Vergessen Sie nicht ihre A, B, C, D
Matrizen mit einer Matlab Simulation zu kontrollieren.
(d) Und schlussendlich als Challenge, schreiben Sie jetzt das ZVD Modell für N gekoppelte
Pendel, mit N als Variable in ihre Matlab Skript. Verifizieren Sie diese N parametrisches Modell,
indem Sie die Ergebnisse für N=2 und N=4 mit Teilaufgaben (a) und (c) vergleichen.
(e) Setzen Sie N=15, und untersuchen Sie die Eigenwerte der Matrix A. Machen Sie eine
Schätzung der Frequenz der Pendel-Schwingungen in free-response. Überprüfen Sie ihren
geschätzten Wert mit der Simulation.
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