4.¨Ubung zur Vorlesung “ Spieltheorie und Begriffsanalyse”

Prof. Dr. U. Faigle
B. Wienand
WS 2004/5
4. Übung zur Vorlesung “ Spieltheorie und Begriffsanalyse”
Abgabe und Besprechung am Donnerstag, dem 11. November
um 14:00 Uhr im Seminarraum des ZAIK
Aufgabe 1 (Zahlen)
L R
Zeigen Sie, dass jede Zahl G = {g1L , ..., gm
|g1 , ..., gnR } äquivalent zu einer Zahl
der Form {g L |g R } ist.
Aufgabe 2 (Intervallordnungen)
Geben Sie ein Beispiel einer Halbordnung an, die keine Intervallordnung darstellt.
Aufgabe 3
a) Zeigen Sie, dass eine Menge C genau dann konvex ist, wenn für alle x 1 , ..., xk ∈
C und λ aus dem Standartsimplex ∆k gilt
λ1 x1 + ... + λk xk ∈ C.
b) Zeigen Sie, dass eine Funktion f : Rn → R genau dann konvex ist, wenn für
alle x1 , ..., xk ∈ Rn und λ aus dem Standartsimplex ∆k gilt
f (λ1 x1 + ... + λk xk ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λk f (xk ).
c) Für eine Funktion f : Rn → R bezeichnet der Epigraph von f die auf Rn+1
definierte Menge
epi(f ) = {(x, z)|x ∈ Rn , z ∈ R, z ≥ f (x)}.
Zeigen Sie, dass f als Funktion genau dann konvex ist, wenn epi(f ) als Menge
konvex ist.
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Aufgabe 4 (Bodlaenders Spiel)
Die beiden Spieler L und R färben abwechselnd die Knoten eines Graphen unter der Vorgabe, dass benachbarte Knoten unterschiedlich gefärbt werden müssen.
Hierzu wählen sie Farben aus einer vorgegebenen Farbenmenge C. Der beginnende Spieler L gewinnt, wenn der Graph vollständig gefärbt wird, andernfalls
gewinnt R.
a) Geben Sie einen Baum (= kreisfreien Graphen) an, auf dem R gewinnen kann,
wenn nur 3 Farben zur Verfügung stehen.
b) Geben Sie für eine möglichst niedrige Göße der Farbenmenge C eine Gewinnstrategie für L auf Bäumen an.
Bemerkung: Die spielchromatische Zahl χg (G) ist definiert als die minimale Größe
der Farbenmenge C, bei der L eine Gewinnstrategie auf dem Graphen G hat.
Man kann zeigen, dass die spielchromatische Zahl eines Baums 4 ist. Da das allerdings nicht ganz so einfach ist, sollte der Beweis der Schranke 4 als “Sternchenaufgabe” verstanden werden.
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