Über kettenbruchähnliche Algorithmen.*)

Über kettenbruchähnliche Algorithmen.*)
Von
W. FRANZ MEYER in Königsberg i. Pr.
Euler**) hat, wie es scheint, zuerst versucht, den Algorithmus
von Euclid für den gröfsten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen auf
mehrere Zahlen auszudehnen, und damit zugleich das gewöhnliche Kettenbruchverfahren zu verallgemeinern. Durch Sätze Hermite's***) angeregt, hat bekanntlich Jacobif) die fragliche Ausdehnung in weiterem
Umfange aufgenommen.
Der Verfasser — der die grundlegenden Ideen schon vor einer
Reihe von Jahren Freunden mitgeteilt hat — hat im Folgenden die
Jacobi'sche Theorie auf Grund zweckmäfsiger Bezeichnungen und Begriffe wesentlich vereinfacht und weitergeführt. In letzterer Hinsicht
sei insbesondere auf das von Jacobi beiseite gelassene Annäherungsproblem verwiesen, das in § 6 theoretisch, wie praktisch erledigt wird.
In Rücksicht auf den zur Verfügung stehenden Raum konnte die Darstellung des Inhalts nur eine sehr knappe sein. Man vergleiche noch
die vorläufige Mitteilung in den Berichten der Königsberger phys. ökon.
Ges. Dez. 1897, wo der Fall d — 2 explicite durchgeführt ist.
*) Der Inhalt der Abhandlung konnte, aus Mangel an verfügbarer Vortragszeit, ebensowenig zum Vortrag gelangen, wie das ursprünglich angekündigte
Thema: „Die neuere Entwickelung der Algebra und Zahlentheorie".
**) Comment. Arithm. coU. 1849 Bd. n p. 99.
***) Journ. f. Math. Bd. 40, vgl. auch Liouville's Journal Bd. 14, sowie die
Abhandlung: „Sur la fonction exponentielle". Der von H. ausgesprochene Satz,
man könne n (irrationale) Gröfsen so durch n rationale mit demselben Nenner N
annähern, dafs die bezw. Abweichungen <
r
i-f-n
werden, tritt hier in einer
N
gewissen Modifikation auf (§ 7, XVc).
t) S. die beiden nachgelassenen Abhandlungen im Journ. f. Math. Bd. 69.
Auf die von Bachmann, Hurwitz, Hubert, Minkowski u. A. gegebenen
arithmetischen Fortsetzungen einzugehen, erschien hier nicht erforderlich.
B. Vorträge der Sektionssitzungen.
169
§1.
Seien r0, rlf ra, • • - rd, wo r0 > r± > r2 > • - • > rd*), d + l positive ganze Zahlen. Ein erster Quotient qn gebe an, wie oft r± in r0
enthalten ist, ein zweiter Quotient #22, wie oft r2 im Beste r0 — q^
ein dritter Quotient 2ss> wie oft rB im Reste r0 — qnr± — ^22^2 u- sendlich gebe ein dter Quotient qdd an, wie oft rd in
enthalten ist, während /d+i(Od) den „Schlufsrest"
bezeichne.
Verfährt man entsprechend mit dem System (rl9 r2, • • • ^4-1), so
entstehen rfneue Quotienten #2,i; ^3,2; 24,3 • • • 2d!+i,cz nebst einem zweiten
Schlufsreste ^4.2 (< ^+1), u. s. f. Bezeichnet man noch die negativ
genommenen Quotienten (— q) mit i/**), so findet die gemeinte Entwickelung ihren Ausdruck in dem Algorithmus:
I
Tn + V n +l,lF*+l + Vw+ 2,2 ^+2 + ' ' ' + ^w-M^n-l-d = «"w + d+l
(n — 0,1,2,-.-),
wo stets rn<rn— i ist. Der letzte der Schlufsreste y n (w>d), der
nicht verschwindet, sei ru. Führt man noch d weitere verschwindende
Schlufsreste rw_j-i, ru+%, • • • ru+d als „überletzte" ein, so endet der
Algorithmus I mit den d + l Gleichungen:
H
Jeder gemeinsame Teiler von r0, rt, • • • rd geht in rw auf, und umgekehrt jeder Teiler von ru in r0, r1; • • - rd; rM ist also der gröfste
gemeinsame Teiler von r0, r± • • • rd.
*) Diese Anordnung ist nur der Bequemlichkeit halber getroffen.
**) Die vn j sind von Null verschieden, die vn 2, vn 3 • • • können teilweise
oder sämtlich verschwinden. In dem Falle, dafs alle vn 2, vn 3, • • • vn d verschwinden, wird die ganze Theorie der der gewöhnlichen Kettenbrüche sehr ähnlich, wenn sie auch durchaus nicht mit ihr koincidiert.
170
H. Teü: Wissenschaftliche Vorträge.
§2Substituiert man in I succ. die Ausdrücke für rd+i, ^+2, • • •
jeweils in die nächstfolgende Gleichung, so wird jedes rn (n > d) eine
„lineare Kombination" der r0, ri} • • • rdy nämlich:
III
rn = roPo,, + nPi,* H ----- 1- rdPd,n (n > Ä),
wo die Pi,n ganze Zahlen sind. Schreibt man rn+d einmal in der Gestalt III, das andere Mal gemäfs I und ersetzt hier wieder die
Vn+d— 1; Vn+d— 2, ' * ' ^n, ^n—l
durch ihre Werte in III, vergleicht sodann die Koeffizienten von
rt (i = 0, l, • - - d\ so hat man das Rekursionsgesetz der P:
IV
P*,n-fd
=
v
n+d— l,dP{,»+<i— l + Vn-{-d_2,d— lP*,w-J-d— 2 + • • •
Der Beweis bleibt in der That bis zum Anfangswerte n = l gültig,
sobald man auch die r0, r19 • • • rd in die Gestalt III bringt, d. h. wenn
man noch die Gröfsen einführt:
m»
P,, = I, p„_o
Setzt man zur Abkürzung die Determinante:
(1) | #,„, Pi>n+1, • • • P,,„+d | (i - 0, l, • • • S) = (n, n + l, • • -, n + d\
so führt die Elimination der v aus IV (bei festgehaltenem Index n) zu:
und, da infolge der Festsetzungen III* (0, l, 2, • • •, d} den Wert + l
besitzt, zu der Fundamentalrelation:
V
(n, n + l, n + 2, - - -, n + d) = (— !)<**.
Es haben also nicht nur die Elemente irgend einer Reihe oder Kolonne
von V den gröfsten gemeinsamen Teiler Eins, sondern auch die zugehörigen Unterdeterminanten.
§3.
Besitzen im besondern die r0, rl9 • • •, rd den gröfsten gemeinsamen
Teiler Eins, so gehen die Formeln III für n = u, w + l, • • -, w-f-rf
über in:
0,
Ha
w-M H" ri P
B. Vortrage der Sektionssitzungen.
171
Bedeuten JfI0,M; Jfli,tt, • • •, IIdtU die TInterdeterminanten der
-Po,ti; P±,uy ' ' '9 *d,u
in (M, u + l, • • •> w + d\ so ergiebt die Auflösung der Gleichungen IIa
nach den r0, rx, • • • rd:
VI
n = J?;>(i = o, l , - - - , rf).
Die Formeln II* und VI enthalten die „Auflösung" der homogenen
linearen diophantischen Gleichung:
(3)
roSo + 'iSi + --- + '«fci-0,
d. i. die Aufstellung aller ganzzahligen Lösungen (|) von (3) mittelst
d ganzzahliger Parameter. Denn nach IIP sind
(P<,B+1), (P,,„+a), • - - (Pf)„+(J) (i - 0, l, . • • d)*)
d Lösungssysteme von (3), folglich:
(4) k — hP<,.+i + hP<,u+* + -~ + l*Pi,u+* (• — 0 , l , . - . r f )
bei ganzzahligen, arbiträren A eine oo* Schar von Lösungssystemen
von (3). Umgekehrt sei (fj/) irgend ein Lösungssystem von (3), es
sei also simultan (mit Rücksicht auf II a):
(5)
Da aber nach Voraussetzung die r0, rl9 • • • rd den gröfsten gemeinsamen Teiler Eins haben, so zeigt die Auflösung von (5) nach den
Verhältnissen der r:
„dafs die Unterdeterminanten der
(6)
Po,u+k, Pi,u+*> - • -, Pd,u+* (* = l, 2, - • - d}
in der
aus den & und den PftU+k gebildeten Determinante, jeweils gleich
sind den mit einem gewissen ganzzahligen Faktor A/ multiplizierten
Werten der r0, rl9 • • •, rd."
Ersetzt man andererseits in (4) die |,- durch das beliebig gewählte
Lösungssystem der |/, so giebt es sicher zugehörige rationale Werte
der A; die Auflösung von je d der Gleichungen (4) nach den A liefert
aber, wegen VI, für die A»r0, A^, • • -, At-rd gerade die Werte der
in (6) aufgeführten Unterdeterminanten, d. h. es ist:
(7)
z, -v
(»-1,2,. .-d);
somit sind die A,- ganzzahlige Parameter. Haben die |' den gröfsten
gemeinsamen Teiler Eins, so auch die A und umgekehrt.
*) Bedeutet d. den gröfsten gemeinsamen Teiler von ^ » ri r ' ' r* — i » r» 4- 1 » ' ' ' rd »
so ist d- zugleich der gröfste gemeinsame Teiler von P. u^, -P,-jM+2' " ' Pi u+d •
172
U. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
§4.
Hiermit ist man auch im Besitze der „Auflösung" der linearen,
nicht homogenen, diophantischen Gleichung*):
(8)
rQx0 + r±x± H ----- 1- rdxd = E.
Eine erste Lösung (#/) von (8) fliefst aus der ersten Gleichung II* :
(9)
*/=-ßP«,»
(.-O, l , . - - «Q.
Alle weiteren Lösungen von (8) stimmen überein mit denen der
homogenen Gleichung:
(10)
Durch Kombinierung von (9) mit (4) erhält man die „Auflösung"
von (8):
VII
SB,
wo die A alle ganzen Zahlen (inkl. 0) zu durchlaufen haben. Umgekehrt
lassen sich die; einer beliebigen Lösung (#,•) von (8) korrespondierenden
/ aus VII entnehmen. Denn man kann VII als d + l lineare Gleichungen in den d + l Unbekannten B, A1? A2, • - • ^ auffassen. Wegen
VI und VII kommt nämlich für B: E = 27r/#,-, was nach Voraussetzung identisch erfüllt ist, und für die Ä* (k = l, 2, - - • d)
(11)
A* = | P,>; Pi
§5.
Ist von den Verhältnissen r0 : r± : r% : • • • : rd wenigstens eines
irrational, so bricht der Algorithmus I nicht ab, während seine Gleichungen im übrigen für einen beliebigen Wert von n ihre Form behalten, und auch die Relationen III, IV, V stets gültig bleiben.
Unter einem „periodischen" Algorithmus I verstehen wir einen
solchen, für den bei einem gewissen**) Werte von w(> d) eine Proportion von der Art
*) In einer diophantischen Gleichung von der Form (8) darf stets angenommen
werden, dafs die r positiv, ungleich, und der Gröfse nach geordnet sind, sowie den
gröfsten gemeinsamen Teiler Eins besitzen.
**) Sobald nämlich Vm för einen gewissen Wert von n gilt, ist auch —
r
wie aus der in § 8 gegebenen Darstellung von
hervorgeht — für jeden
B. Vortrage der Sektionssitzungen.
173
VIII rn : rn+i : rn+2 : • • • : rn+d = rn+P :
existiert, wo p eine positive ganze Zahl (^ 1) ist.
Man fasse r0, r1? • • • rd als die homogenen Koordinaten eines
Punktes (r) in einem linearen Räume Md von d Dimensionen auf.
Die Forderung VIII, die mit der anderen äquivalent ist, dafs alle
Determinanten der Matrix
viir
:0
rn+P,
sind, sagt, nach Substitution der bezw. Ausdrücke III, aus, dafs der
Punkt (r) dem Punkt-(d? + l)-tupel angehört, in dem sich die „F2"
der Matrix VIII' schneiden. Vermöge des Parameters i:
/1 O\
( '
7-
=
n
»-f-1
7T~
7TTT "
'n+j> "*'n-{-p-\-l
n-\-d
""»+})+d
r . .,
hängt die Bestimmung des (d -f- l)-tupels ab von der ganzzahligen
Gleichung (d -\- l)ten Grades (deren erster und letzter Koeffizient nach
V gleich (— 1)*» resp. (- !)««•+*) ist):
IX
J&+i =
= 0.
Dem Punkte (r) entspricht eine bestimmte Wurzel k' (> 1) der Gleichung; umgekehrt kommt man von &' vermöge (12) zu (r) zurück.
Wir sagen kurz:
IXa „Ist der Algorithmus I periodisch, so ist (r) eine
Irrationale (d + l)ten Grades."
Auf die sehr wahrscheinliche Umkehrung des Satzes gehen wir
hier nicht ein.
§6.
Es soll das durch I involvierte Näherungsverfahren studiert werden.
Wie die Formeln VI erwarten lassen, werden die JI0,W : JIijW : • • •: JIdjW
Näherungsbrüche für die r0 : rx : • • •: rd liefern, deren Genauigkeit mit
wachsendem n zunimmt.
Bezüglich des Wachstums (und Vorzeichens) der P^n läfst sich
*r+ = nr+?+ ^ und die qnJ± , qn^, • • • qn d weisen je
n
n+p
'
'
eine p-gliedrige Periode auf und umgekehrt. Hieraus ist leicht zu erkennen, was
eintritt, wenn die gemeinte Periodicität nur eine teilweise resp. eine ungleichmlifsige ist.
gröfseren Wert von n:
174
II. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
aus den Rekursionsformeln IV unmittelbar nichts folgern, da die v
negativ sind.
Um die Rekursionsformeln für die n^n zu finden, müssen wir
erst eine geeignete Bezeichnung einführen. Wir denken uns eine
Matrix aus d Reihen und d + l Kolonnen gebildet von der Art:
(13) | P0,»t, P,,.,, PS,,«,, - • -, P^ | (k = l, 2, • • • d, nt + M*)
und verstehen unter
(14)
JIi;Sl,»2,.,„d(i = 0,l,...d)
ihre (sc. mit alternierendem Vorzeichen genommenen) Determinanten,
sodafs speziell für % = w + l, n2 = n -f- 2, - • •, nd = n -f- d gemäfs
der schon in VI verwandten Bezeichnung:
(15)
JIt.;n+1|WH.2,...,M+d = n^n
ist, so ergiebt sich auf Grund von IV successive:
mithin durch Zusammenfassung:*)
x
^„=
Um hiermit zu rechnen, sowie um weitere Schlüsse zu ziehen,
bedarf es der wirklichen Berechnung der Bildungen U mit den
niedrigsten Indices, d. i. der (d -J- l)2 Gröfsen
J7i,_i, IZ^o, /Zi,i, • • •, IT^flS—i.
Diese 17 sind nach III, IIP, IV einer Matrix von (d + 1) Kolonnen und d2 Reihen zu entnehmen. Die (d + 1) ersten Reihen bestehen aus Nullen exkl. der Diagonal-Einer; die (d -f- 2)te Reihe aus
die folgenden (d — 2) Reihen von Gröfsen
*) Aus X entnimmt man noch die Darstellung der gfw>1, gW}2, • • -, qn^d als
(d + 1)- reihiger Determinanten der U.
B. Vorträge der Sektionssitzungen.
175
lassen sich, eben wegen ihrer linearen Zusammensetzung III, und da
sie nur als Elemente von Determinanten II betrachtet werden, ersetzen
durch resp.
(0, l, 1/21, 1/3,2, V 4j s, • • *, Vd,d—l),
(0, 0, l, 1/31, 1/^2,
(0, 0, 0, • • -, 0, l,
Vd _ M ,
• • •, l/d,d—2), ' ' •,
v^.
Um das Endresultat zu fixieren, bedienen wir uns der Abkürzungen:
-,-i
=
(17)
l
0
V 1
'"'
1
0
0
l
0
, etc.,
dann kommt für die fraglichen TL^n (^J^LVö'-.d—1):
|H.(f <»-!)-(- l)~(*-i>-« JVH-M+i-25
lfl*.(« ^ * - 1) - 0 exkl. J7*-! = (- iy.
Da JVi,n selbst stets das Vorzeichen (— 1)* hat, so kommt die
Vorzeichenregel für die JZi)TO einfach darauf hinaus, dafs die U bei geradem d niemals negativ sind, bei ungeradem d das Vorzeichen (— l)w
haben. Wegen X gilt diese Eegel für sämtliche J7ilW, d. h. auch wenn
n^d ist, und es gilt somit der Fundamentalsatz:
XII „Die absoluten Werte der TI^n sind mit n stets wachsende (ganze) Zahlen, die man vermöge (17), X, XI berechnet.
Die U^n selbst haben das Vorzeichen von (— l)dw, sind also
bei geradem d positiv (abgesehen von einigen verschwindenden Anfangswerten), bei ungeradem d dagegen und festgehaltenem i von konstantem, bei wachsendem n von alternierendem Vorzeichen."
Die einzige Schwierigkeit bei der Herleitung der Formeln XI
liegt in der Bestimmung des Vorzeichens der JIf,w, das aus den Determinanten schwer zu ersehen ist. Man kann aber die von Null verschiedenen n^n — wenn man entweder den ersten oder aber den
zweiten Index festhält — als homogene Unbekannte in linearen Hilfsgleichungen auffassen, die von folgendem Typus sind:
176
II. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
#2 = 0, l>;+i,2#i + V;+i,i#2 + #3 = 0,
0,
also, wegen der Negativität der v, sofort erkennen lassen, dals die
Verhältnisse der Unbekannten positiv ausfallen. Dadurch reduziert
sich die ganze Vorzeichenbestimmung bezw. der Il^n auf die Feststellung des Vorzeichens einer einzigen Determinante, die aufser
Nullen nur Diagonal-Einer aufweist, also positiv ist.
Die Auflösung der für die Indices w, n -f- l, • • •, n -\- d angesetzten Relationen III nach den r0, r1? • • •, rd gemäfs V und (17)
ergiebt:
*+* H
XIII
+ (-l)^r„+dJTf,„_1
(,--.0,1,...*),
wo also alle JT rechterhand das Vorzeichen von (— l)dn besitzen,
sodafs nach dessen Hebung auf beiden Seiten nur positive Zeichen auftreten. Da aber die absoluten Werte aller H rechts mit n stets
wachsende (ganze) Zahlen, und die r/ selbst positiv sind, so folgt:
XIV „rw wird mindestens unendlich klein wie -=—."*)
i, n
%1.
Wir zeigen jetzt das Gesetz, nach dem sich die 770)w: JJi,w: • • •: J7ÄjW den
r0 : ^ : • • •: rd nähern. Zu dem Behuf betrachten wir gleich d + l konsekutive Wertsysteme der ZT, die mit (n — 1), (w), (n -f-1), • •«, (n -f- d— 1)
bezeichnet seien, und interpretieren sie (§ 5) als Punkte — mit den
rechtwinkligen Koordinaten**)
in einem linearen Eaume Md von d Dimensionen. In Md bilden die
d + l Punkte, vermöge verbindender Md—i, den geschlossenen Raum
eines „(d + l)-eders", dessen absoluter Inhalt 4n+d, mit Rücksicht
auf V, bestimmt wird durch:
1
(19)
dl 4n+d =H-=U-n
'''
*) Die Verhältnisse Ut. n : JI^^ sind, wie aus § 7, XVa hervorgeht, in endlichen Grenzen eingeschlossen.
**) Die Bevorzugung des Index d ist selbstredend nur eine äufserliche.
B. Vorträge der Sektionssitzungen.
177
Der nächstfolgende Punkt (n + d) bildet mit je d Ecken von
4*+* ein „Teil-(d + l)-eder", dessen absoluter Inhalt mit ^/ w+d _ t (i = l, 2, • • •, d + 1) bezeichnet sei, wenn (n -}- d — i) die ausgeschlossene Ecke war.
Dann ergiebt sich auf Grund von X:
f^~
(*>)'
mithin durch Addition, wiederum wegen X:
(21)
4n+d = 4n+ä-l + 4n+*~* + • • • + 4, + -4,-1,
d. h. die Summe der absoluten Inhalte der d -f- l Teil-(rf -f- l)-eder ist
gleich dem absoluten Inhalte des ursprünglichen (d -f- l)-eders.
Das ist aber nur so möglich, dafs der Punkt (n-\-d) im Innern*)
von Jn+d liegt.
Nun folgt aus elementargeometrischen Gründen, dafs, wenn ein
Punkt P im Innern eines Dreiecks A19 A2, A3 liegt, jede Strecke
PAi (i = l, 2, 3) sicher kleiner ist, als wenigstens eine Seite des
Dreiecks, — ein Satz, der sich durch vollständige Induktion auf ein
(d + l)-eder in Md übertragen läfst.
Andererseits ist aber auch der elementare Satz, dafs irgend eine
Seite eines Dreiecks stets kleiner ist, als die Summe der beiden anderen,
in dem Sinne auf ein (d + l)-eder (n — 1), (w), (n + 1), • • • (n + d — 1)
ausdehnbar (wiederum durch vollständige Induktion), dafs irgend eine
Kantenstrecke des (d -f- l)-eders sicher kleiner ist als die Summe der
Strecken:
(n _ i), (H) _|_ (n)}
(n +
l) + ... _|_ (w +
ä
_ 2), » + (d - 1).
Bezeichnet man daher unsere Punkte (n), • - • als „Näherungspunkte", das von (d + 1) konsekutiven gebildete (d -f- l)-eder als
ein „Näherungs-(d + l)-eder", und sieht die absolute Strecke zwischen zwei Näherungspunkten als Mafs für die Abweichung der
bezw. Wertsysteme H von einander an, so lautet das Ergebnis:
XVa. „Irgend ein Näherungspunkt (n -f- d) liegt stets im
Innern des von den d + l voraufgehenden gebildeten Nähe*) Daraus geht sofort der bereits in § 6 benützte Satz hervor, dafs die Verhältnisse II0n: üln: • - • : IId n in endlichen Grenzen eingeschlossen sind.
Verb. d. 1. Internat. Math.-Kongr. Zürich 1897.
12
178
H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
rungs-(d -f- l)-eders dn+d. Die Abweichung zwischen (n -f- S)
und (n + d— 1) ist kleiner als die Summe der d Abweichungen
Nunmehr ziehen wir den Punkt (r) selbst heraus. Die Ausführung der Formel XIII mit Hilfe der Rekursionsformeln (16) liefert
(t-O,!,...,*):
(— iyn,tU-t-&n+(— l)*dni>n-.d(rnq^d+rH+1)
XIIT |
Versteht man unter EI die mit rw dividierte rechte Seite von XHT,
sodafs für die Verhältnisse der r0, r19 • • •, rd gilt:
(22)
rQ:r1:..-:rd = R0:Ri:-.-:Ed,
so bemerke man, dafs, da nach I rn < yw-_i,
M
'~1 = g Wj i ^ l, und
kein # W)2 , gMj3; • • - negativ sein kann, durch Vergleichung mit X folgt:
(23)
Ri>n,%«
(t-0,l,...,d().
Auch der Punkt (r) bildet mit je d Ecken von 4n+d ein Teil(d + l)-eder, dessen absoluter Inhalt 4(n\.d-i sei, wenn (n •}- d — i)
die ausgeschlossene Ecke war.
Eine Rechnung, die der zur Erzielung von (20), (21) ausgegebenen
ganz analog — gestützt auf XIII' — verläuft, liefert:
(210
4»+* - ^M-i + ^H-s + ' ' ' + 4$ -f 4T2_i ,
also auf Grund der oben benützten geometrischen Hilfssätze:
XVb. „Der Punkt (r) liegt im Innern sämtlicher Näherungs-(d + l)-eder. Seine Abweichung von irgend einem
Näherungspunkte (n -f- d — 1) ist kleiner als die Summe der
d Abweichungen:
(»-!), 00 + ÖÖTÖM7!) + • • • + (n + d-2),(n + d-l).«
Um endlich über die Abweichung zwischen zwei konsekutiven
Näherungspunkten (n — 1), (n) Genaueres zu erfahren, leiten wir aus V
nach einem bekannten Determinantensatze die Formel ab:
YVT
AVI
n
n
*'*
*,n — l
nn+d
-=
-- j=
=l-=L—
j=ll
U
i l
^
1
\\
(* =AU,
l, •J••, a—
L),
B. Vorträge der Sektionssitzungen.
Pd,n
wo der Zähler rechts die zu
179
komplementäre Unter-
Pd,n+d
determinante von V bedeutet. Aus XVI ergiebt sich sofort die „Abweichung" s„_i,w zwischen den beiden Wertsystemen (n — 1) und (n)
durch:
ä
xvi- 4-^ - L
\)*
2(^«+«)
\ d n — l d,n/
t
(* = o, i, . . ., <* - 1)
t
Über das Wachstum der 11%%+ & resp. der rn— i,w läfst sich ebensowenig Genaueres eruieren, als über das der P^n selbst (cf. § 6, Anfang). Wir werden daher über die Abnahme der Abweichung SOT_ i,w
(bei wachsendem n) ein Kriterium zu suchen haben, das nur von den
/Z,-, * abhängt, und doch möglichst viel aussagt.
Zu einem solchen Kriterium gelangen wir durch Anleitung der
Sätze XVa, XVb, indem wir das Produkt gerade der Abweichungen
untersuchen, deren Summe dort auftrat, nämlich:
(24)
S«
Hier läfst sich der zweite Faktor rechterhand in einer bemerkenswerten
Art umgestalten. Der Nenner ist nämlich — wie auf Grund des schon
bei XVI benützten Determinantensatzes, sowie des Laplace'schen Zerlegungssatzes ohne Schwierigkeit hervorgeht — als eine einzige
J-reihige Determinante darstellbar, deren Elemente gerade die in den
n» -i,*, • • •; rn+d-2,n+d-i des Zählers figurierenden 71(*>d) sind, in
Zeichen:
(25)
=| n
Darauf gestützt, ziehe man aus jeder der Quadratwurzeln
*»-!,», *
je eine gewisse der Gröfsen
als Faktor heraus, und setze das Produkt dieser Faktoren als Nenner
des Nenners (25) an. Wie auch die Verhältnisse der nunmehr in den
r verbleibenden UM beschaffen sein mögen, stets läfst sich die angegebene Manipulation so vollziehen, dafs der in Rede stehende zweite
12*
180
II. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.
Faktor rechts von (24) zu einem Quotienten wird, dessen Zähler eine
endliche, angebbare Grenze nicht überschreiten kann, während umgekehrt der Nenner — eben weil jeder Faktor links in (25) mit n
jede Grenze übersteigt — nicht unter eine endliche, angebbare Grenze
heruntersinken kann, d. h. der zweite Faktor rechts in (24) ist selbst
zwischen endlichen Grenzen eingeschlossen.
Damit ist das wichtige Resultat gewonnen:
XVC. „Das Produkt der Abweichungen
(n-!),(«), (»), (» + 1), • • -, (n + rf_2),(» +
a
rf_l)
b
— deren Summe den Kern der Sätze XV , XV bildete — wird
bei unbegrenzt wachsendem n unendlich klein wie
§8.
Die explicite Darstellung der kettenbruchähnlichen Algorithmen
für die Näherungsbrüche JJ0)W : JIljW : • • • : ü^n resp. für die r0 : ^ : • • • : rd
selbst stöfst auf keine prinzipielle Schwierigkeit.
Der blofse Anblick der Formeln X führt zu der Regel:
XVII. „Dadurch, dafs man q nl vermehrt um
M+1 2
' , q n ^ um
*+1'3;...; q^^i um *+M, endlich qn,d um —- — , gehen die
»»+1,1
über in die nächstfolgenden J7olW-fi : ^Ii,w-f-i : • • • : /!*;«+ i-Ä
Hieraus fliefst, mit Rücksicht auf die in XI angegebenen Werte
der II mit niedrigsten Indices, die gemeinte Darstellung der
„ .
n0tn : flk,. : - - - : JIrf>w
von selbst.
„So erhält man für d=2:
(26)
\
*M +
^TV
B. Vorträge der Sektionssitzungen.
J81
während die jeweils unter dem Hauptbruchstrich stehenden Nenner die
IL o Hj o n, A
Werte der =-*-, -j^1-, rf2" e*c- repräsentieren."
Die entsprechende Darstellung der r0 : r±: • • •: rd ergiebt sich
hieraus und durch Vergleich mit XIIF, (22). Bei der Ausführung
empfiehlt es sich, in den mit rn dividierten rechten Seiten von XIII'
systematisch die Quotienten:
(27)
!Api = #*(>!)
einzuführen.
XVIII. „Die Darstellung der r0 : r±: • • •: rd bricht dann mit
den d Quotienten xn) xn+i> • • •, xn+d—i ab, und umgekehrt gelangt man von ihr zu der der obigen der JfI0,n : #1,« : • • •: 77rfjW
zurück, indem man x n ersetzt durch \Xn\ = q„ti und
durch
W-f-l
Selbstredend resultiert die nicht abbrechende Entwickelung der
o '• i:''': rd, indem man in der für die 7J0,W : IZi|W : • • •: JTd|W den
Index n unbegrenzt wachsen läfst.
r
r