BlattP2

Übungen zur Geometrischen Linearen Algebra (2-Fach-Bachelor), L. Hille
Wintersemester 2012/13
Übungsblatt P2, Präsenzblatt 5. Woche
Aufgabe 1. (Euklidischer Algorithmus über k[X])
Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
a) X 2 − 2X + 1 und X 3 − 1,
b) X 4 + 1 und X 4 − 1,
4
5
4
c) X − 1 und X − 1
d) X + 11 und X 5 + 1.
Aufgabe 2. (Logik)
Hier seien p, q, r, ... beliebige Aussagen und f eine Funktion in eine Menge M , die ein Element 0
enthält. Die Elemente x und y sind jeweils aus den richtigen Mengen, sodass die Formeln einen Sinn
ergeben. Welche der folgenden Aussagen sind immer korrekt und welche Aussagen lassen sich noch
verschärfen? Finden Sie für jede Formel unten eine einfache Entsprechung durch mathematische
Aussagen.
a) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q) ,
b) (p ∨ q) ⇒ (p ∧ q),
c) (p ∨ q) ⇒ (q ∨ p),
d) ((p ∧ q) ∨ r) ⇒ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r)),
e) (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p),
f) ∀x∃y : f (x, y) = 0 ⇒ ∃y∀xf (x, y) = 0,
g) ∀x∃y : f (x) = y
Aufgabe 3. (Einfache Beweise finden und aufschreiben)
Suchen
P Sie diePkorrekte Formel und geben Sie einen Induktionsbeweis an.
a) Pni=0 i =, ni=m i =,
n
b) P i=0 (2i + 1) =,
n
c) i=0 i2 =,
Pn
Pn
Pn+1
d) i=0 f (i) = i=1 f (i − 1) + f (n) = i=1 f (i − 1).
Aufgabe 4. (Komplexe Zahlen)
Berechnen Sie für die komplexe Zahl z = x + iy folgende Ausdrücke:
a) z 2 , b) z 3 und c) z −1 .