Beispiele der Stochastik - staff.uni

Beispiele der Stochastik
Achim Klenke
WS 2009/10
Serie 8
1. Seien X1 , X2 , . . . reelle Zufallsvariablen. Für r > 0 bezeichne Mr (Xn ) = E[|Xn |r ] das absolute
r-te Moment. Für k ∈ N bezeichne mk (Xn ) = E[Xnk ] das k-te Moment, falls Mk (Xn ) < ∞.
(i) Sei X eine reelle Zufallsvariable und (Xnl )l∈N eine Teilfolge mit
l→∞
PXnl −→ PX schwach.
Es gebe es ein r > 0 mit supn∈N Mr (Xn ) < ∞. Zeige: Für jedes k ∈ N ∩ (0, r) und jedes
s ∈ (0, r) gilt Ms (X) < ∞ sowie
l→∞
Ms (Xnl ) −→ Ms (X)
und
l→∞
mk (Xnl ) −→ mk (X).
(ii) Für jedes k ∈ N existiere der Grenzwert mk := limn→∞ mk (Xn ) und sei endlich (dabei
dürfen für jedes k endlich viele der mk (Xn ) undefiniert sein.) Zeige: Es existiert eine
reelle Zufallsvariable X mit mk (X) = mk für jedes k ∈ N sowie eine Teilfolge (Xnl )l∈N
mit
l→∞
PXnl −→ PX schwach.
(iii) Zeige den Satz von Fréchet-Shohat: Ist in (ii) die Verteilung von X durch die Momente
mk (X) = mk , k ∈ N, eindeutig bestimmt (siehe Korollar 15.32), so gilt
n→∞
PXn −→ PX schwach.
2. Seien X1 , X2 , . . . u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit E[X1 ] = 0 und E[|X1 |k ] < ∞ für jedes
k ∈ N.
(i) Zeige: Es gibt (von der Verteilung PX1 abhängige) endliche Zahlen (dk )k∈N , sodass für
jedes k, n ∈ N gilt:
E (X1 + . . . + Xn )2k−1 ≤ d2k−1 nk−1
und
(2k)! k E (X1 + . . . + Xn )2k − k E X12 nk ≤ d2k nk−1 .
2 k!
Hinweis: Man multipliziere die Klammer aus, sortiere nach den unterschiedlichen gemischten Momenten und bestimme die Anzahl der jeweiligen Summanden. Eine besondere Bedeutung kommt der Anzahl der Summanden vom Typ E[Xl21 · · · Xl2k ] für
unterschiedliche l1 , . . . , lk zu.
(ii) Sei Y ∼ N0,1 . Zeige mit Hilfe von Satz 15.31(i): Für jedes k ∈ N gilt
E Y 2k−1 = 0
und
(2k)!
E Y 2k = k .
2 k!
p
(iii) Sei Var[X1 ] > 0 und Sn∗ = (X1 +. . .+Xn )/ n Var[X1 ]. Folgere mit Hilfe von Aufgabe 1
die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes (vergleiche Satz 15.37)
n→∞
PSn∗ −→ N0,1 schwach.
Besprechung: Donnerstag, 07.01.2010