Mathe II für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 23.03.17
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Mathe II für Naturwissenschaften 23.03.17 Dr. Christine Zehrt Übung 4 Uni Basel Besprechung der Lösungen: 27.–30. März 2017 in den Übungsstunden In der Pharma-Übungsstunde vom 30. März bei Clemens (32621-04) wird der neue Termin ab der Woche vom 10. April zusammen mit den anwesenden Studierenden festgelegt. Aufgabe 1 Ein Würfel wird 5-mal geworfen. Erfolg sei das Werfen der Augenzahl 6. (a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei den 5 Würfen (i) genau 4 Erfolge (ii) höchstens 2 Erfolge (iii) mindestens 3 Erfolge zu erzielen? (b) Wieviele Erfolge kann man auf lange Sicht (bei vielen Wurffolgen mit 5 Würfen) erwarten? (c) Sei X die Zufallsgrösse X = (Anzahl Erfolge bei den 5 Würfen). Berechnen Sie die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung und stellen Sie diese in einem Balkendiagramm dar. Aufgabe 2 (a) Wir nehmen an, dass die Anzahl der Druckfehler pro Seite eines bestimmten Buches durchschnittlich gleich 0,2 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit (Annahme einer Poissonverteilung) befinden sich mehr als 2 Fehler auf 10 Seiten? (b) Bei der Herstellung von CDs treten störende Staubteilchen auf. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Staubteilchen poissonverteilt ist, mit durchschnittlich 0,05 Staubteilchen pro cm2 . Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, auf einer CD von 100 cm2 weniger als 3 Staubteilchen zu finden? Aufgabe 3 Etwa 6 % aller freiwilligen Blutspender, welche sich in zufälliger Reihenfolge an einer örtlichen Blutspendeaktion beteiligen, haben Blutgruppe AB. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird spätestens der achte Spender Blutgruppe AB aufweisen, das heisst, wird unter den ersten acht mindestens ein AB-Spender sein? (b) Wieviele Spender sollten sich an der Blutspendeaktion beteiligen, damit die Wahrscheinlichkeit für wenigstens einen AB-Spender grösser als 99 % ist? Aufgabe 4 Bei der Produktion von Schoggi-Hasen gehen wir davon aus, dass 2 % der Schoggi-Hasen fehlerhaft (d.h. nicht für den Verkauf geeignet) sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden wir unter 50 Schoggi-Hasen (a) keinen (b) höchstens 2 fehlerhafte Schoggi-Hasen? Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten exakt und mit Hilfe einer Näherung mit der Poissonverteilung. Zusatzaufgaben Aufgabe 5 Vladimir Petkovic, der Trainer der Schweizer Fussballnationalmannschaft, hat 23 Spieler zum WM-Qualifikationsspiel vom 25.03.17 gegen Lettland aufgeboten, davon sind 3 Torhüter, 8 Verteidiger, 10 Mittelfeldspieler und 2 Stürmer. Wieviele Möglichkeiten für die Startelf hat er, wenn er mit 4 Verteidigern und 1 oder 2 Stürmern spielen lässt? Aufgabe 6 Bei einer radioaktiven Substanz werden mit einem Geiger-Müller-Zählrohr in einer Stunde 1961 Zerfallsakte registriert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Intervall von 10 Sekunden genau drei Zerfallsakte stattfinden. Gehen Sie von einer Poissonverteilung aus. Aufgabe 7 Zeigen Sie, dass für die Wahrscheinlichkeiten P (k) einer Poissonverteilung gilt, dass ∞ X P (k) = 1 . k=0 Aufgabe 8 Sei X eine Zufallsgrösse und a, c reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass V ar(aX + c) = a2 V ar(X) . Aufgabe 9 Zeigen Sie, dass für eine poissonverteilte Zufallsgrösse X gilt V ar(X) = λ.
