Das Zahlenbeispiel
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Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Das Zahlenbeispiel
Wir betrachten die Formel
F = ∀x P(x, f (x)) ∧ Q(g (a, z))
Grundbereich sei N, P sei die <-Relation, Q die Primzahleigenschaft,
f die Nachfolgerfunktion auf N, g die Addition, a die Konstante 2,
d.h. a ist eine nullstellige Funktion mit dem Wert 2.
Schließlich geben wir der Variablen z den Wert 3.
Wie ermitteln wir die Bedeutung der Formel F ?
Mit der gegebenen Struktur haben wir die folgende Interpretation:
Für alle Zahlen x gilt: x < x + 1, und die Summe von a und z ist eine Primzahl.
Ist F wahr?
Einheit 18
x < x + 1 ist richtig. Die Summe von 2 und 3 ist eine Primzahl.
Also ist die Formel unter der gegebenen Interpretation wahr.
– Folie 18.1 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Das abstrakte Beispiel
Wir gehen von einer gegebenen Formel aus – beispielsweise von
der auf der letzten Folie. Nun bilden wir UA aus allen Termen,
die man mit den beteiligten Funktionen bilden kann, ohne
Variablen zu benutzen:
{a, (f (a), f (f (a)), f (f (f (a))), . . . , g (a, a), g (f (a), a), f (g (a, a)), . . . }
Hier haben wir also die nullstellige Funktion a, die einstellige
Funktion f und die zweistellige Funktion g benutzt.
In a kann nichts eingesetzt werden.
In f kann bzw. muss man jeweils einen vorher gebildeten Term einsetzen.
In g werden jeweils zwei vorher gebildete Terme eingesetzt.
Wir brauchen also eine induktive Definition!
Einheit 18
– Folie 18.2 –
18.05.2017
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Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Das abstrakte Beispiel (Forts.)
Induktive Definition von UA :
Alle vorkommenden nullstelligen Funktionen gehören zu UA .
Und wenn es keine gibt? – Dann a ∈ UA .
Wenn fi k eine vorkommende k-stellige Funktion ist und
t1 , . . . , tk Elemente von UA sind, dann gehört auch
fi k (t1 , . . . , tk )
zu UA .
Wie definiert man dann IA ?
Jedes t ∈ UA ist gebildet worden wie ein Term, es liegt daher
nahe, für alle t ∈ UA zu definieren: IA (t) = t.
Man beachte: Das t auf der rechten Seite ist ein Element von UA , also
ein Individuum. Das t in der Klammer ist dagegen ein Term.
Einheit 18
– Folie 18.3 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Passende Strukturen
Ähnlich wie in der Aussagenlogik passende Belegungen definiert
wurden, wollen wir jetzt festlegen, was eine passende Struktur für
eine gegebene prädikatenlogische Formel ist:
Die Struktur A = (UA , IA ) ist eine zu F passende Struktur,
falls IA jeder in F vorkommenden Variablen einen Wert aus
UA zuweist, jedem in F vorkommenden Prädikatsymbol Pik
ein k-stelliges Prädikat über UA , und jedem in F vorkommenden Funktionssymbol fi k eine k-stellige Funktion auf UA .
Einheit 18
– Folie 18.4 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Erfüllbarkeit, Gültigkeit, Modell
Eine zu F passende Struktur A nennen wir ein Modell für F ,
wenn der Wahrheitswert der Formel in der Struktur A der
Wert 1 ist, d.h. wenn A(F ) = 1 gilt.
Man sagt dann auch F gilt in A und schreibt A |= F .
Eine prädikatenlogische Formel F heißt erfüllbar, wenn es
ein Modell für F gibt.
Man nennt eine prädikatenlogische Formel F allgemeingültig,
wenn alle zu F passenden Strukturen Modelle für F sind.
Dann schreiben wir |= F .
Wenn F nicht allgemeingültig ist, schreiben wir 6|= F .
Einheit 18
– Folie 18.5 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Bemerkungen
• Abkürzungen wie → und ↔ wie bei Aussagenlogik.
• F gültig gdw. ¬F unerfüllbar wie bei Aussagenlogik.
• Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Aussagenlogik als
Teil der Prädikatenlogik aufzufassen:
z.B. nur nullstellige Prädikatsymbole, oder
nur Formeln ohne Variablen.
• KNF und DNF für Formeln ohne Quantoren wie zuvor.
(Allgemein: KNF und DNF für Matrix der Formel F .)
• Keine Quantifizierung über Funktionen oder Prädikate.
(Dafür braucht man Prädikatenlogik zweiter Stufe.)
Einheit 18
– Folie 18.6 –
18.05.2017
