Formale Methoden 2 - LS1 - Logik in der Informatik

Formale Methoden 2
Gaetano Geck
Blatt 4
Aufgabe 1
(Lehrstuhl I – Logik in der Informatik)
Beispiellösung
[Wiederholung: Formeln auswerten]
WS 2015/16
3 Punkte
Gegeben sei die Datenbank D = (U, Schueler, LK, B) mit
•
•
•
•
dem Universum U = {Amelie, Johann, Vanessa, Mathematik , Informatik , Musik , Deutsch},
der unären Relation (Menge) Schueler = {Amelie, Johann, Vanessa},
der unären Relation (Menge) LK = {Mathematik , Informatik , Musik , Deutsch},
der binären Relation
B
=
{(Amelie, Mathematik ), (Amelie, Informatik ), (Johann, Informatik ),
(Johann, Musik ), (Vanessa, Musik ), (Vanessa, Deutsch)}.
Bestimme den Wahrheitswert folgender Formeln unter der Belegung β, die nur für die Datenwerte im Universum U und die Variable x definiert ist (es gelte β(x) = Informatik ).
1. ∃y∃z B(y, x) ∧ B(z, x) 2. ∃y B(y, x) ∧ B(y, Musik )
3. ∀yB(x, y)
Beispiellösung zu Aufgabe 1
1. Es gilt [[∃y∃z B(y, x) ∧ B(z, x) ]]β = 1, da für β 0 := β[y7→Amelie] gilt, dass [[∃z B(y, x) ∧ B(z, x) ]]β 0 = 1
ist.
0
00
00
00
Letzteres gilt, da für β 00 := β[z7
→Amelie] gilt, dass [[ B(y, x) ∧ B(z, x) ]]β = 1 ist wegen β (y), β (x) =
(Amelie, Informatik ) ∈ B und β00 (z), β 00 (x) = (Amelie, Informatik ).
2. Es gilt [[∃y B(y, x) ∧ B(y, Musik ]]β = 1, da für β 0 := β[y7→Johann] gilt, dass [[ B(y, x) ∧ B(y, Musik ) ]] = 1
ist.
3. Es gilt [[∀yB(x, y)]]β = 0, da nicht für jede Belegung β 0 , die β um die Variable y erweitert,
[[B(y, x)]]β 0 = 1
gilt. Beispielsweise gilt für β ∗ := β[y7→Musik ] , dass [[B(y, x)]]β ∗ = 0 ist, da β ∗ (y), β ∗ (x) = (Musik , Informatik ) ∈
/
B ist.
Formale Methoden 2 (WS 2015/16)
Aufgabe 2
Blatt 4
[Induktive Definitionen]
2 Punkte
Gib eine induktive Definition für die Abbildung len : AL → N0 an, die jede aussagenlogische Formel ϕ ∈ AL
auf ihre Länge abbildet. Die Länge soll sich dabei als Anzahl der Symbole (inklusive Klammern) ergeben.
Vereinfachend weisen wir jedoch jeder aussagenlogischen Variablen, die Länge 1 zu, auch wenn diese mit Index
geschrieben wird (Beispiel: len(A) = 1 und len(B5 ) = 1).
Definiere den Wert der Abbildung len für jeden der folgenden Fälle:
len(ϕ) = . . . ,
len(ϕ) = . . . ,
len(ϕ) = . . . ,
len(ϕ) = . . . ,
falls
falls
falls
falls
ϕ = X ∈ AV
ϕ = ¬ψ
ϕ = (ψ1 ∧ ψ2 )
ϕ = (ψ1 ∨ ψ2 )
Bestimme unter Verwendung deiner Definition durch rekursive Auswertung der Abbildung die Länge der folgenden Formeln:
• ϕ1 = (A ∧ B3 )
• ϕ2 = ((¬A ∨ A) ∨ C)
• ϕ3 = (A3 ∧ A2 ) ∨ (¬B ∧ ¬C)
Beispiellösung zu Aufgabe 2
Wir definieren
len(ϕ) = 1
len(ϕ) = 1 + len(ψ)
len(ϕ) = 3 + len(ψ1 ) + len(ψ2 ),
len(ϕ) = 3 + len(ψ1 ) + len(ψ2 ),
falls
falls
falls
falls
ϕ = X ∈ AV
ϕ = ¬ψ
ϕ = (ψ1 ∧ ψ2 )
ϕ = (ψ1 ∨ ψ2 )
und erhalten damit beispielsweise
len((A ∧ B3 )) = 3 + len(A) + len(B3 ) = 3 + 1 + 1 = 5
und
len (¬A ∨ A) ∨ C
Aufgabe 3
=
=
=
=
3 + len((¬A ∨ A) + len(C)
3 + 3 + len(¬A) + len(A)
+ len(C)
3 + 3 + (1 + len(A))
+
1
+1
3 + 3 + (1 + 1) + 1 + 1 = 10.
[Aussagenlogik: Auswertung]
3 Punkte
Werte die Formel
ϕ = (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ B)
unter allen passenden Belegungen aus. Gib dazu eine vollständige Wahrheitstabelle für die Formel und alle ihre
Teilformeln an. Entscheide anschließend anhand der Tabelle, welche der folgenden Eigenschaften die Formel
besitzt und begründe deine Antwort. Die Formel ist
• erfüllbar,
• allgemeingültig,
• unerfüllbar.
Beispiellösung zu Aufgabe 3
Die Formel
ist erfüllbar, wie die Interpretation α mit A 7→ 0 und B 7→ 1 belegt (es gilt also [[ (¬A ∨ B) ∧
(A ∨ B) ]]α = 1). Demnach ist die Formel nicht unerfüllbar. Zu klären ist noch, ob es sich um eine Tautologie
handelt. Die Formel ϕ ist keine Tautologie, da etwa die Belegung α0 mit A 7→ 0 und B 7→ 0 sie nicht erfüllt.
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Aufgabe 4
Blatt 4
[Aussagenlogik: Äquivalenz]
3 Punkte
Zeige durch einen direkten Beweis (gegebenenfalls mit Fallunterscheidung), dass für alle aussagenlogischen
Formeln ϕ, ψ die folgende Äquivalenz gilt:
ϕ→ψ
≡
¬ψ → ¬ϕ.
Verwende dazu die Beobachtung von Folie 20 (und nutze keine anderen Äquivalenzen).
Beispiellösung zu Aufgabe 4
Sei α eine beliebige Interpretation, die passend ist für ϕ und ψ. Dann gilt [[ψ]]α = 1 oder [[ψ]]α = 0.
1. Fall ([[ψ]]α = 1): Dann gilt insbesondere [[ϕ]]α ≤ [[ψ]]α und damit, nach der Beobachtung auf Folie 20,
auch [[ϕ → ψ]]α = 1. Nach der dem betrachteten Fall zugrundeliegenden Annahme gilt [[ψ]]α = 1 und damit
auch [[¬ψ]]α = 0, also [[¬¬ψ]]α = 1. Daraus können wir für die Disjunktion ¬¬ψ ∨ ¬ϕ, welche die abkürzende
Schreibweise ¬ψ → ¬ϕ repräsentiert, folgern: [[¬¬ψ ∨ ¬ϕ]]α = 1. Damit haben wir [[ϕ → ψ]]α = [[¬ψ → ¬ϕ]]α
gezeigt.
2. Fall ([[ψ]]α = 0): Dann gilt, wieder nach der Beobachtung von Folie 20, [[ϕ → ψ]]α = 1 genau dann,
wenn [[ϕ]]α = 0 gilt. Dies ist aber gleichbedeutend damit, dass [[¬ϕ]]α = 1 gilt. Damit gilt für die Disjunktion
[[¬¬ψ ∨ ¬ϕ]]α = 1 genau dann, wenn [[¬ϕ]]α = 1, da [[¬¬ψ]]α = 0 nach Annahme des gegenwärtigen Falles. Wir
haben demnach [[ϕ → ψ]]α = [[¬¬ψ → ¬ϕ]]α gezeigt.
Da die Formeln für alle Interpretationen denselben Wahrheitswert annehmen, sind sie äquivalent.
Aufgabe 5
[Zusatzaufgabe: Formeln erstellen]
3 Punkte
Konstruiere eine aussagenlogische Formel ϕ mit den Variablen A1 , A2 , A3 die genau für die Interpretationen α
wahr wird, für die α(A1 ) + α(A2 ) + α(A3 ) = 1 gilt. Erläutere deine Konstruktion und gib eine vollständige
Wahrheitstabelle für ϕ an.
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