Vorlesung Mathematik

Prof. Dr. Friedel Bolle
LS für Volkswirtschaftslehre insb. Wirtschaftstheorie (Mikroökonomie)
Vorlesung Mathematik – WS 2008/2009 –
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Vorbemerkung
1.
Weshalb Mathematik für Ökonomen?
Das werden Sie selbst sehen im Grundstudium in
- Mikroökonomie
Vorlesung Mathematik
- Statistik
- Makroökonomie
- BWL: Produktion
WS 08/09
und dazu in einer Reihe von Hauptstudiumsveranstaltungen wie z.
B. Finanzwissenschaft.
Friedel Bolle
2.
Was setze ich voraus?
- Grundbegriffe der Mengenlehre
- Die Mengen IR = reelle Zahlen und IRn = reelle n-dimensionale
Vektoren
- Bruchrechnung (nichts zu lachen!)
- algebraische Umformungen
- Lösung von linearen und quadratischen Gleichungen
- Beispiele von Funktionen: Polynom, Exponentialfunktion,
Logarithmusfunktion, ....
3.
Was wird schnell wiederholt?
- Funktionen
- Folgen
- Stetigkeit
- Differentialrechnung mit einer Variablen
4.
Was wird ausführlich behandelt?
Der Rest der in der Gliederung aufgeführten Themen.
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Gliederung Mathematik
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1.
Wiederholung von Grundbegriffen
1.
Wiederholung von Grundbegriffen
2.
Differentialrechnung reeller Funktionen IR1 → IR1
(a) Mengenlehre
3.
Kurvendiskussion
• offen, abgeschlossen, beschränkt
4.
Differentialrechnung reeller Funktionen IRn → IR1
5.
Maximierung: Notwendige Bedingungen
• Norm, Abstand, Umgebung
• Konvexität von Mengen
• IR1, IRn
(Karmann,
S. 6 – 33)
(b) Funktionen
6.
Zinsrechnung
7.
Integralrechnung
8.
Lineare Algebra
9.
Spieltheorie
4
• injektiv, surjektiv, bijektiv
• Umkehrfunktion
• Verkettung von Funktionen
• reelle Funktionen: monoton, konvex, homogen
Beispiele
In den Abschnitten 1 - 8 enge Anlehnung an
Karmann, A.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 6. Auflage,
Beispiel 1: konvexe Menge M∈IRn
Oldenbourg, 2008.
•
x1
•
x2
Bedingung für Konvexität: Mit x1, x2 ∈M liegt auch die Verbindungsstrecke in M.
{x = x1 + λ (x2 – x1), 0 ≤ λ ≤ 1} beschreibt die Verbindungsline.
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(c) Folgen und Stetigkeit (Karmann, S. 142 – 146)
Definition. Die Abbildung
•
f : IN → IR
•
x1
x2
k a xk
heißt Folge (sequence) reeller Zahlen.
D.H. jedem k ∈ IN ist ein x k ∈ IR zugeordnet.
Schreibweisen.
Nicht konvexe Menge.
(xk)kε IN, (x1 , x 2 , x 3 ,K) oder (x k ) ;
allgemeiner:
Fragen:
(x k )k ≥ k 0
1.Welches sind die konvexen Mengen in IR?
(
2. Beschreiben eine Kugel, eine Pyramide, ein Fahrradschlauch konvexe
Beispiele:
Mengen?
(1)
Beispiel 2:
(2)
f(x2)
x
Bedingung für Konkavität (Konvexität): Die Verbindungslinie der Punkte
(x1, f(x1)) und (x2, f(x2)) liegt zwischen x1und x2 unterhalb (oberhalb) der
Kurve f(x).
1−k
k
1 2 3 4


 0 ,− ,− ,− ,− ,K
2 3 4 5


f(x)
x2
IN → IR
k→
f(x)
f(x1)
1
k
 1 1 1 1

1, , , , ,K
 2 3 4 5

konvexe Funktion
konkave Funktion
x1
IN → IR
k→
(3)
)
oder x k 0 , x k 0 +1 , x k 0 + 2 .K , wobei k 0 = ganze Zahl.
IN → IR
k → 2k
(2, 4, 6, 8,...)
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(2 k )k =1,2 ,K
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Definition. Sei (xk)k∈ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konver-
(3)
gent gegen a ∈ IR, falls gilt:
gegen ein endliches a konvergieren, dann gibt es k 0 mit 2 k 0 > a . Aber:
zu jedem ε > 0 gibt es eine natürliche Zahl K (ε ) ∈IN, so dass
x k − a < ε für alle k ≥ K (ε ) .
divergiert, denn angenommen die Folge würde
Für alle k > k 0 ist 2 k − a > 2 k 0 − a , d.h. die Folge kann nicht gegen a
konvergieren.
a heißt auch der Grenzwert oder Limes der Folge (xk)k∈
Definition. Eine Folge (x k ) reeller Zahlen heißt
Schreibweisen.
lim x k = a, lim x k = a
k →∞
oder
monoton wachsend (bzw. fallend), wenn für alle Folgenglieder x k gilt:
xk → a .
x k ≤ x k +1 (bzw. x k ≥ x k +1 );
D.h. die Glieder der Folge x k ∈ IR müssen dem Zahlenwert a ∈ IR be-
streng monoton wachsend (bzw. fallend), wenn für alle Folgenglieder x k
liebig nahe kommen.
gilt:
Ist a = 0, so wird (x k ) auch Nullfolge genannt.
x k < x k +1 (bzw. x k > x k +1 );
Definition: Eine Folge (x k ) reeller Zahlen heißt divergent, wenn sie
beschränkt, wenn N und M ∈ IR existieren mit:
N ≤ x k ≤ M für alle k ∈ IN.
gegen keine reelle Zahl konvergiert.
Beispiele von oben:
(1)
Die Folge konvergiert gegen 0, denn für k >
Beispiele:
1
ε
gilt
(1)
und ist beschränkt: 0 ≤ x k ≤ 1
1
1
−0 =
k
k
(2)
1
1
(3)
<
ist eine streng monoton fallende Folge
ist eine monoton fallende Folge
und ist beschränkt: − 1 ≤ x k ≤ 0
ist eine monoton wachsende Folge
ε
und ist nicht beschränkt
=ε
Definition. Sei f : X → IR mit X ⊆ IR eine Funktion und a ∈ X . Die
(2)
Zeigen Sie selber, dass
Funktion f heißt stetig (continuous) im Punkt a, falls für jede Folge

1
1 − k 
=  −1
gegen –1 konvergiert.


 k =1,2 ,K
 k  k =1,2 ,K  k
x k → a gilt
lim f (x k ) = f (a ) .
k →∞
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Man schreibt dann auch
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 x für x ≤ 1
g( x ) = 
1 für x > 1
(4)
lim f (x ) = f (a ) .
ist stetig.
x →a
Wenn man die Funktion zeichnet, so zeigt der Graph der Funktion keine
„Sprünge“.
Satz 1.1. (Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen und Funktionen).
Die beiden Funktionen f und g seien in einer Umgebung der Stelle x 0
definiert. Für gegen a konvergente Folgen (x k ) besitzen beide Funktio-
Definition: f heißt stetig in X, falls f in jedem Punkt von X stetig ist.
nen einen Grenzwert, und es gelte:
lim f : = lim f (x ) = c1 ,
x →a
lim g : = lim g (x ) = c 2
x →a
mit
c1 , c 2 ∈IR.
Beispiele für stetige Funktionen sind etwa die Identität, konstante Funkti-
Dann gelten folgende Rechenregeln:
onen, der Absolutbetrag, Polynome, die Quadratwurzel, die Exponential-
[G1] lim d = d
d = const . ∈ IR
funktion, die Logaritmusfunktion und trigonometrische Funktionen.
[G2] lim(λ1f ± λ2 g ) = λ1 lim f ± λ2 lim g = λ1c1 ± λ2 c2
λ1 , λ2 ∈ IR
Die Treppenfunktion jedoch besitzt in den Unterteilungspunkten Unste-
[G3] lim(f ⋅ g ) = lim f ⋅ lim g = c1 ⋅ c2
tigkeits- bzw. Sprungstellen.
[G4]
Beispiele:
(1)
f (x ) = x ist eine stetige Funktion, denn wenn x → a gilt,
dann gilt natürlich auch f (x ) → f (a ) .
(2)
f (x ) = c (Konstante c) ist eine stetige Funktion.
(3)
+ 1 falls x > 0

f (x ) = sign(x ) =  0 falls x = 0
- 1 falls x < 0

lim
c2 ≠ 0
c
f
lim f
=
= 1
g lim g c2
[G5] lim(g o f ) = lim(g (f )) = g (lim(f )) = g (c1 )
falls: siehe *
[G6] lim f k = (lim f )k = c k
1
k ∈ IN
[G7] lim k f = k lim f = k c
1
k ∈ IN; f , c1 ≥ 0
[G8] lim e f = e lim f = e c1
[G9] lim(ln f ) = ln (lim f ) = ln c1
f , c1 > 0
ist nicht stetig in x = 0 .
z.B.
(x k ) =  1 
k 
* falls g in der Nähe von c1 definiert ist und lim g(x) = g(c1). Mit andehat Grenzwert 0
(f (x k )) = (+ 1) hat Grenzwert 1
aber f (0 ) = 0 .
x →c1
ren Worten: Der Grenzwert einer Folge von Funktionswerten ist in den
obigen Beispielen gleich dem Funktionswert des Grenzwertes der Folge.
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Beispiel: h( x ) = x , lim h( x ) = lim x = a f ( x ) = x ⋅ x , g ( x ) = 1 − x
x →a
x →a
lim f (x ) = lim x 2 = a 2 , lim g (x ) = lim (1 − x ) = 1 − a
x →a
x →a
x →a
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Satz 1.2.
Sind Funktionen f und g in X ⊆ IR stetig, dann sind auch fol-
gende Funktionen stetig:
1. f ± g ,
x →a
2. f ⋅ g ,
lim f (x )g (x ) = a 2 (1 − a )
x →a
3.
Beweisskizze für G 3:
f
g
(für g (x ) ≠ 0 , x ∈ X )
Aus diesen Sätzen folgt,
-
Nennen wir f(xk) = yk und g(xk) = zk
-
(yk) konvergiert gegen c1, heißt:
- dass alle Polynome y = P (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n stetige
Funktionen sind.
zu jedem ε1 gibt es K1 (ε1) so dass y k − c1 < ε1 für alle k > K1 (ε1).
- dass alle rationalen Funktionen
P (x )
mit P (x ), Q (x ) Polynome stetig sind, außer (unter UmstänQ(x )
(zk) konvergiert gegen c2, heißt:
y=
zu jedem ε2 gibt es K2(ε2), ...
den) an den Stellen x mit Q(x ) = 0 .
- zu zeigen: (yk zk) konvergiert gegen c1 c2, d. h. zu jedem ε gibt es K(ε),
so dass y k zk − c1c 2 < ε für alle k > K (ε)
Satz 1.3.
- Umformen:
y k z k − c1c 2 = y k z k − c1c 2 − ( y k c 2 − c1c 2 ) − ( z k c1 − c1c 2 ) + ( y k c 2 − c1c 2 ) + ( z k c1 − c1c 2 )
= ( y k − c1 )( z k − c2 ) + c2 ( y k − c1 ) + c1 ( z k − c2 )
≤ y k − c1 ⋅ z k − c2 + c2 ⋅ y k − c1 + c1 ⋅ z k − c1
und f ( X ) ⊆ Y . f sei in X und g in Y stetig. Dann ist die verkettete Funktion
g o f : X → IR stetig in X.
Beispiel:
f : IR → IR
< ε1 ε2 + c2ε1 + c1ε2
x → x3
falls k > K(ε1), K (ε2)
g : IR + → IR
<ε
falls ε1 , ε 2 <
Seien f : X → IR und g : Y → IR Funktionen mit X, Y ⊆ IR
ε
3
, ε1 <
ε
3 c2
,ε2 <
ε
3 c1
c1 , c 2 ≠ 0 , (falls = 0, sowieso kein Problem)
y → ln y
Satz anwendbar auf g o f ? Nein! f(IR) ⊄ IR +!
Also nicht ohne weiteres ln x 3 betrachten! (f auf IR + beschränken!)
Satz aber anwendbar auf f o g , weil g(IR +) ⊆ IR.
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Satz 1.4.
Beispiel 2:
Sei f : X → IR mit X ⊆ IR streng monoton und stetig in X,
dann existiert die Umkehrfunktion f −1 : f ( X ) → X und ist ebenfalls streng
X = ]− 1, 1[
monoton und stetig.
 x 2 für x ≤ 1
2
f(x) = 
 1 4 sonst
Beispiele:
(a) Ist der Satz anwendbar?
(1)
y = f (x ) = 2 x + 3 ist eine monoton steigende auf IR definierte
(b) Gelten die Aussagen des Satzes?
Funktion.
(2)
y −3

⇒ Die Umkehrfunktion existiert  x = f −1 (y ) =
.
2 

Die vorangegangenen Betrachtungen sollen nun auf den mehrdimensio-
g: IR → IR, y = g (x ) = x 2 ist monoton fallend für x ≤ 0 und mono-
man sich noch „vorstellen“, z. B. f(x, y) als Funktionswert über der (x, y)-
ton steigend für x ≥ 0 . Die Umkehrfunktion existiert nicht. Aber für
Ebene. Welche Gestalt hat f (x, y) = x + y?
nalen reellen Raum übertragen werden. Funktionen f: IR2 IR kann
~ (x ) = x 2 existiert g
~ −1 .
~ : IR+ → IR+, y = g
g
Grenzwerte und Stetigkeit im n-dimensionalen reellen Raum
Satz 1.5.
Sei X ein abgeschlossenes Intervall in IR und f : X → IR ste-
tig, dann gilt:
(
Definition. Sei x k mit x k = x k1 , x k 2 ,K , x k n
) eine Folge von Punkten
1. f ist beschränkt.
im IRn. (Lies x k i als j-te Komponente von xk .) (x k ) heißt konvergent
2. f nimmt in X ihr Maximum und Minimum an.
gegen den Punkt a = (a1 , a2 ,K , an ) ∈ IRn, wenn zu jeder beliebig kleinen
3. f nimmt in X jeden Zwischenwert zwischen ihrem Maximum und
Umgebung U von a, beispielsweise zu jedem Quader, der a enthält, ein
Minimum (mindestens einmal) an.
K ∈ IN existiert, so dass gilt:
xk ∈ U
für alle k ≥ K .
Beispiel 1: X = [0,1] = abgeschlossenes Intervall zwischen 0 und 1.
f (x ) =
1
1+ x
f ist auf X stetig.
Schreibweise.
lim x k = a .
k →∞
Also ist der Satz anwendbar, also nimmt f auf X ein Maximum
Offensichtlich ist die Konvergenz von Punktfolgen im IRn eine Verallge-
und ein Minimum an.
meinerung der Konvergenz von Folgen reeller Zahlen. Der folgende Satz
stellt den Zusammenhang dar.
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Satz 1.6.
Der folgende Satz ist das Gegenstück zu Satz 1.5. Allerdings kann die
Eine Folge (x k ) von Punkten im IRn konvergiert genau dann
gegen den Punkt a ∈ IR , wenn für jedes i = 1, 2, ..., n gilt:
n
lim x k i = ai .
Aussage über den Zwischenwert im Intervall nicht übertragen werden.
(Hierzu müsste noch gefordert werden, dass die Menge X zusammen-
k →∞
hängend ist. Zusammenhängend bedeutet, dass je zwei Punkte der
Mit anderen Worten erfolgt die Konvergenz im IRn also komponenten-
Menge durch eine Linie verbunden werden können, die ganz in der
Menge liegt.)
weise.
Die Stetigkeit einer Funktion ist analog für Funktionen f : IRn → IRm definiert.
Definition: X ⊆ IRn ist abgeschlossen, wenn mit jeder konvergenten
Folge (x k ) von Punkten in X auch der Grenzwert der Folge in X liegt. X
Anpassung der Definition für Stetigkeit für f : IRn → IR1.
Definition. Sei f : X → IR mit X ⊆ IRn eine Funktion und a ∈ X . Die
ist beschränkt wenn es a∈IR gibt mit xj< a für alle x∈X. X ist eine
kompakte Teilmenge des IRn, wenn X beschränkt und abgeschlossen
ist.
Funktion f heißt stetig (continuous) im Punkt a, falls für jede Folge
(
)
x k = x k1 , x k 2 ,K , x k n gilt
Satz 1.8.
lim f (x k ) = f (a ) .
Sei X eine kompakte Teilmenge des IRn und f : X → IR ste-
tig, dann gilt:
k →∞
1. f ist beschränkt.
Man schreibt dann auch
lim f (x ) = f (a ) .
2. f nimmt in X ihr Maximum und Minimum an.
x →a
Satz 1.1 und Satz 1.2 gelten analog für Funktionen f : IRn → IR1, d.h. f+g
Beispiele:
und f⋅g sind stetig, wenn f und g stetig sind. f/g ist stetig für stetige f und
(1)
X = [0,1] × [0,1]
g in Punkten x∈ IR , für die g(x)≠0 gilt.
wobei [0,1] das abgeschlossene Intervall zwischen 0 und 1 be-
Beispiel: g1(x1,x2,x3)= x1, g2(x1,x2,x3)= x2 , g3(x1,x2,x3)= x3 sind stetige
zeichnet.
n
Funktionen. Deshalb ist auch f(x1,x2,x3)= x1+x2+x3 eine stetige Funktion.
f (x , y ) =
x2
1+ y
für (x , y ) ∈ X .
Eine Abbildung f = (f1 , f2 ,K , fm ) : IRn → IRm ist genau dann
Nimmt f ein Maximum auf X an? Ja, denn X ist abgeschlossen und
stetig, wenn alle Komponenten fi : IR → IR mit i = 1, 2, ..., m stetig sind.
beschränkt, und f ist stetig (Satz 2 und 7). Damit ist Satz 8 an-
Satz 1.7.
n
wendbar.
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(2)
X = [0 ,1] × ]0 ,1[
wobei ]0 ,1[ das offene Intervall zwischen 0 und 1 bezeichnet.
Nimmt f ein Maximum auf X an?
- Der Satz ist nicht anwendbar, weil X nicht kompakt ist.
- f nimmt kein Maximum auf X an, weil f (x , y ) monoton steigend
in x ist, und monoton fallend in y ist, aber (x , y ) = (1,0 ) ∉ X .
(3)
X = ]0 ,1] × [0 ,1[
Ist der Satz anwendbar? Nimmt f ein Maximum auf X an?