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Zusammenfassung Physik II
Physik II Zusammenfassung
D-ITET
WS 05/06
19.02.2006
von Stefan Scheidegger
Ideale Gase
I. Thermodynamik
1. Einführung
Zustandsgrössen
Messbare (p, V, T) und
kalorimetrische (innere Energie, Entropie, Enthalpie)
∂
Gleichgewicht
( Zust.) = 0
∂t
Extensive Grössen
abhängig von der System-Grösse
V, Masse, Stoffmenge, innere Energie
Intensive Grössen
unabhängig von der System-Grösse
Druck, Temperatur
ext.Grösse
V
1
= int .Grösse , z.B.
=
Menge
M ρM
0./1. Hauptsatz
Im Thermodynamischen Gleichgewicht haben alle Bestandteile des
Systems dieselbe Temperatur.
Trippelpunkt des Wassers
TTr = 273.16K
Thermische Ausdehnung
Δl
Festkörper
= α ⋅ ΔT , l2 = l1 ⎡⎣1 + α ( ϑ2 − ϑ1 ) ⎤⎦ ,
l
ΔV
= γ ⋅ ΔΤ , V2 = V1 ⎡⎣1 + γ ( ϑ2 − ϑ1 ) ⎤⎦ , γ = 3 ⋅ α
V
Flüssigkeiten
Volumen wie Festkörper, γ grösser. (Nur Volumenausdehnung!)
Spezialfall Wasser: maximale Dichte bei 4°C
F
Druck
p = = ρ⋅g⋅h
A
FA = ρ ⋅ g ⋅ VK , VK Volumen des eingetauchten Körpers
Auftrieb
Gase
V = V ( p, T )
Gay-Lussac
p = konst. , V ( ϑ) = V0 (1 + γϑ) (gilt nicht bei tiefen Temp.)
idales Gas: γ = 0.003661K −1 =
V=konst.
p⋅V
p ⋅V
m
= konst. = n n , p n = 101325Pa , Tn = 273.15K , Vn =
T
Tn
ρn
p⋅V
pn
=
⋅ m = Ri ⋅ m
Boyle-Mariotte
T
Tn ⋅ρn
R
R i = m individuelle Gaskonstante ( R i = R i ( ρn ) )
M mol
[ν ] = mol , Molvolumen Vmol = 22.414
dm3
, Vn = ν ⋅ Vmol
mol
Stickstoff Molmasse M mol = 28 ⋅ g ⋅ mol−1
p ⋅ V p n ⋅ Vmol
=
ν = Rm ⋅ν Æ p ⋅ V = ν ⋅ Rm ⋅T
Ideale Gasgleichung
T
Tn
J
universelle Gaskonstante R m = 8.3145
mol ⋅ K
Teilchenzahl N
N = ν ⋅ N A , Avogadrozahl N A = 6.02 ⋅1023 mol−1
R
J
Bolzmann
Bolzmannkonstante k B = m = 1.38065 ⋅10−23
NA
K
Æ p ⋅ V = N ⋅ k B ⋅ T ( ν ⇔ Mol-Volumen, k B ⇔ Teilchenzahl)
2. Kinetische Gastheorie
Annahmen
Teilchen im Würfel
Grundgleichung
1
(p →0)
273.15K
T V
,
= konst. , T0 = 273.15K
T0 T
p
p
p ( ϑ) = p0 ⋅ (1 + γ ⋅ ϑ ) , p ( T ) = 0 T , = konst.
T0
T
Absolute Temperatur V ( T ) = V0
Stoffmenge ν
I Thermodynamik
1. viele gleichartige Teilchen. 2. Geringes Eigenvolumen der Atome.
3. Keine zwischenatomare Kräfte. 4. elastische Stösse.
Seitenlänge a, Molekularmasse m M
Mittlere Kraft auf Wand
Δp 2 ⋅ m M ⋅ v xi m M ⋅ v 2xi
Fi = i =
=
Δt
2 ⋅ a v xi
a
Mittlerer Druck
F m ⋅ v2 m ⋅ v2
pi = i = M 3 xi = M xi
A
a
V
1N
1
m M v 2 = ⋅ρ ⋅ v 2
Druck im Raum p =
3V
3
N
2
( p = m M v eindimensional)
V
Mittlere Geschwindigkeit
v m = v rms = v 2 , v 2 : mittleres Geschwindigkeitsquadrat
N
3p
1
vm =
, v x2 = v 2 (räumlich), v 2 =
3
ρ
∑v
n =1
2
i
N
1
3⋅ k ⋅ T
3⋅ R m ⋅ T
Kinetische Gastheorie p ⋅ V = ⋅ m M ⋅ v 2 = N ⋅ k ⋅ T Æ v m =
=
3
mM
M
Energie
M: Molmasse (Beispiele: v m > cSchall !)
1
3
E kin = ⋅ m M ⋅ v 2 = ⋅ k ⋅ T
2
2
2 / 36
Zusammenfassung Physik II
I Thermodynamik
f
1
⋅ k ⋅ T Æ E kin = ⋅ k ⋅ T
2
2
Gleichverteilungssatz Energie pro Freiheitsgrad E f =
Barometrische Höhenformel Druck p = p0 ⋅ e
−
ρ0
⋅g ⋅ h
p0
, p = p0 ⋅ e
Massendichte ρ = ρ0 ⋅ e
Teilchenzahldichte
Energieniveaus
−
−
ρ0 ⋅T0 ⋅g⋅h
p0 ⋅T
= p0 ⋅ e
−
n0
=e
−
mM ⋅g ⋅h
k ⋅T
=e
N Teilchen, Besetzungszahlen n = n1 + n 2 :
−
I Thermodynamik
dU = δQ + δW (extensive Grösse)
f
f
Ideales Gas
U = N ⋅ E kin = N ⋅ ⋅ k ⋅ T = ν ⋅ ⋅ R m ⋅ T , f = 3 beim idealen Gas
2
2
−δW = Fds = p ⋅ A ds = pdV
beliebige Zustandsänderung
dU = ν ⋅ CmV ⋅ dT = m ⋅ c V ⋅ dT
Innere Energie
m M ⋅g ⋅ h
k ⋅T
ρ 0 ⋅g ⋅ h
p0
n (h)
Zusammenfassung Physik II
ΔE pot
n 2 N2
=
=e
n1 N1
T2
T2
T1
T1
ΔU = U 2 − U1 = ∫ c mV ( T ) dT = m ∫ c V ( T ) dT
endliche Temperaturänderung
k ⋅T
ΔU = U12 = Q12 + W12
E −E
− 2 1
k ⋅T
V2
Kompression
W12 = − ∫ p ( V ) dV
V1
Viele Energieniveaus Wahrscheinlichkeit pi =
Berechnung der Wärmekapazitäten
Cmp − CmV = R m , c p − c V = R i , R i individuelle Gaskonstante
E
− i
ni
⋅ α ⋅ e kT
n ges
Maxwell’sche Verteilungsfunktion f ( v ) dv = g ( v ) ⋅ C ⋅ e
1
mM v 2
−2
kT
1 dU
f
⎛f
⎞
, CmV = R m , Cmp = ⎜ + 1⎟ R i
ν dT
2
⎝2 ⎠
f
⎛f
⎞
c V = R i , c p = ⎜ + 1⎟ R i
2
⎝2 ⎠
C
c
2
Isentropenexponent χ = mp = p = 1 +
CmV cV
f
CmV =
dv
32
⎛ m ⎞
Gewichtung: g ( v ) = 4πv 2 dv , Normierung C = ⎜ M ⎟
⎝ 2πkT ⎠
f: Wahrscheinlichkeit der Geschwindigkeit
2kT
2
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit v w =
=
vm
mM
3
Durchschnittliche Geschwindigkeit
8⋅ k ⋅T
8
v=
=
⋅ v m , v m = ∫ f ( v ) v 2 dv , v w < v < v m
3⋅ π
π ⋅ mM
(
)
3. Hauptsätze der Thermodynamik
Wärme
Wärmezufuhr
Wärmekapazität C
Energieübertragung aufgrund Temperaturunterschieds
Æ eindeutige Richtung Æirreversibler Vorgang
δQ = C ⋅ δT
C
spezifische c =
m
C C
molare c m = = ⋅ M = c ⋅ M
ν m
isochor ( V = konst.) : C V ,cV ,c mV
isobar ( p = konst.) : Cp ,cp ,cmp
Dulong-Petit-Gesetz CmV = 3 ⋅ R m = 24.9J ⋅ mol−1K −1 bei Festkörpern
T2
T2
T1
T1
Freiheitsgrade
Translation
3
3
3
3
Punktförmig
Starre Hantel
Schwingende Hantel
Rotation
2
2
3
ΔT
Spezielle Zustandsänderungen
Isotherm
T = konst. , p ⋅ V = konst.
W12 =
V2
∫ p ( V ) dV = ν ⋅ R
V1
Isochor
m
⎛V ⎞
⋅ T ⋅ ln ⎜ 1 ⎟
⎝ V2 ⎠
⎛V ⎞
Q12 = ν ⋅ R m ⋅ T ⋅ ln ⎜ 2 ⎟ , dU = 0 , W12 = −Q12
⎝ V1 ⎠
(Zugeführte Energie wird als Wärme an Umgebung abgegeben)
p
V = konst. , = konst.
T
Q12 = ν ⋅ cmV ( T2 − T1 )
dU = δQ (Zugeführte Wärme Æ innere Energie)
T1 , T2 : Q12 ≈ m ⋅ c ⋅ ( T2 − T1 ) = ν ⋅ c m ( T2 − T1 )
abgeschlossenes System, 1. Energie ist erhalten, 2. Energieformen
können ineinander umgewandelt werden Æ Perpetuum mobile 1. Art
3 / 36
2
-
gesamt
3
5
7
6
Mehratomig, starr
Übertrag von Wärme Q12 = m ∫ c ( T ) dT = ν ∫ cm ( T ) dT
1. Hauptsatz
Oszillation
-
4 / 36
Zusammenfassung Physik II
Isobar
I Thermodynamik
Zusammenfassung Physik II
V
= konst.
T
Q12 = ν ⋅ Cmp ⋅ ( T2 − T1 ) , W12 = p ( V1 − V2 )
p = konst. ,
δQ = dU − δW (Erwärmung Æ innere Energie und mech. Arbeit)
Adiabatisch (isentrop) δQ = 0 , dU = δW , dU + p dV = 0
cmp dV
⎛V ⎞
⎛p ⎞
dV
dp
⋅
= χ⋅
= − , χ ⋅ ln ⎜ 2 ⎟ = ln ⎜ 1 ⎟
ν ⋅ Cmp ⋅ dT = v ⋅ dp ,
V
c mV V
V
p
⎝ 1⎠
⎝ p2 ⎠
χ
χ
χ−1
χ−1
p1 ⋅ V1 = p 2 ⋅ V2 = konst. , T1 ⋅ V1 = T2 ⋅ V2 = konst.
⎛
⎛V ⎞
⎛ V ⎞⎞
Nutzarbeit W = W12 + W34 = −νR m ⎜⎜ T3 ln ⎜ 4 ⎟ − T1 ln ⎜ 1 ⎟ ⎟⎟
V
⎝ V2 ⎠ ⎠
⎝ 3⎠
⎝
falls
p11−χ ⋅ T1χ = p12−χ ⋅ T2χ = konst. ( f → ∞ : χ → 1 isotherm)
χ−1
W12 = ν ⋅ C mV ⋅ ( T2 − T1 ) ( = − p 2 ( V2 − V1 ) )
Thermischer Wirkungsgrad: η =
Thermodynamische Temperatur
p ⋅ V n = konst.
( n = 1 isotherm, n = χ adiabat, n = 0 isobar, n → ∞ isochor)
4. Kreisprozesse, Entropie
Energie
rote Fläche: zugeführte Volumenänderungsarbeit
gelbe Fläche: abgegebene Volumenänderungsarbeit
rechtsläufig (Uhrzeigersinn): z.B. Verbrennungsmotor
linksläufig: z.B. Kältemaschine, Wärmepumpe
W = ∫ δW = − ∫ p dV , ∫ dU = 0 = ∫ δQ + ∫ δW
Carnot-Prozess (Rot: linksläufig)
1Æ2
2Æ1
2Æ3
3Æ2
3Æ4
4Æ3
4Æ1
1Æ4
Prozess
Isotherme
Kompression
Expansion
Konst.
Variabel
T1 = konst. V1 → V2
Adiabate
Kompression
Expansion
Isotherme
Expansion
Kompression
δQ = 0
Adiabate
Expansion
Kompression
δQ = 0
V2 → V3
T1 → T3
T3 = konst. V3 → V4
V4 → V1
T3 → T1
5 / 36
Zugeführt Abgegeben
Arbeit
⎛ V1 ⎞
⎟
⎝ V2 ⎠
Abgegeben Zugeführt
Wärme
⎛ V1 ⎞
⎟
⎝ V2 ⎠
W12 = νR m T1 ln ⎜
Q12 = −νR m T1 ln ⎜
Arbeit
W23 = νC mV ( T3 − T1 )
–
Wärme
Arbeit
⎛V ⎞
Q 34 = νR m T3 ln ⎜ 4 ⎟
⎝ V3 ⎠
W34 = −νR m T3 ln ⎜
–
χ−1
Isentrope
χ
1
V2
⎛
V4 V1
V
V ⎞
, sonst W = −νR m ⎜ T3 ln 4 − T1 ln 1 ⎟
=
V
V
V3 V2
3
2 ⎠
⎝
⎛V ⎞
⎛V ⎞
T3 ⎛ V2 ⎞
= ⎜ ⎟ = ⎜ 1 ⎟ Æ W = −νR m ln ⎜ 4 ⎟ ( T3 − T1 )
T1 ⎝ V3 ⎠
⎝ V2 ⎠
⎝ V3 ⎠
W = Q zu − Qab , Q12 + Q34 + W = 0
χ−1
⎤
p ⋅V
p V ⎡⎛ V ⎞
W12 = − ∫ p ( V ) dV = − ∫ 1 χ dV = 1 1 ⎢⎜ 1 ⎟ − 1⎥
χ − 1 ⎢⎝ V2 ⎠
V
⎥⎦
V1
V1
⎣
V2
Polytrop
I Thermodynamik
⎛ V4 ⎞
⎟
⎝ V3 ⎠
Arbeit
W41 = −νC mV ( T3 − T1 )
Qab
Q zu
=
W
Q zu
=
W
Q34
, ηth,C =
T3 − T1
T
= 1− 1
T3
T3
T1 Q12 Q34
,
+
=0
T3 T1
T3
Kältemaschine
Leistungszahl ε K =
Q zu Q zu
T1
, ε K,C =
=
W
P
T3 − T1
Wärmepumpe
Leistungszahl ε W =
Qab
W
=
Qab
P
, ε W,C =
T3
1
=
T3 − T1 ηth,C
Technische Kreisprozesse
Seilinger-Prozess
1-2: Frischluft, adiab. Kompr. 2-3: a) Zufuhr von Kraftstoff,
b) Zündung, 3-4: Verbrennung, 4-5:Adiab. Expansion, 5-1 Austausch
verbrannte Gase mit Frischluft
T5 − T1
ηth = 1 −
T3 − T2 + χ ( T4 − T3 )
Otto-Prozess
2 Isentropen, 2 Isochoren
1
ηth = 1 −
χ−1
⎛ V1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ V2 ⎠
Diesel-Prozess
2 Isentropen, 1 Isochore, 1 Isobare
V
rIbχ − 1
V
ηth = 1 −
, rIb = 3 , rk = 1
χ ( rIb − 1) rkχ−1
V2
V2
höhere Kompression Æ Zylinder länger und stabiler
Stirling-Prozess
2 Isothermen, 2 Isochoren, ηth = ηth,C
Joule-Prozess
⎛p ⎞
T
2 Isentropen, 2 Isobaren, ηth = 1 − 1 = 1 − ⎜ 1 ⎟
T2
⎝ p2 ⎠
Ericsson-Prozess
2 Isothermen, 2 Isobaren, ηth = ηth,C
6 / 36
χ−1
χ
Zusammenfassung Physik II
2. Hauptsatz
Entropie S
I Thermodynamik
Reversibel: Prozess umkehren Æ Umgebung unverändert (z.B.
Billardkugel, Stoss)
Irreversibel: alle Prozesse der Natur (z.B. Apfel fällt vom Baum)
Thompson: Immer eine Wärmesenke (Abwärme) Æ kein Perpetuum
mobile zweiter Art
Clausius: Wärme nicht von selbst von kaltem nach warmem Körper
Höherer thermischer Wirkungsgrad als Carnot nicht möglich
2
δQ rev
δQ
dS =
, ΔS = S2 − S1 = ∫ rev
T
T
1
T2
V
ΔS = S2 − S1 = νCmV ln + νR m ln 2 (oder T2 = T , T1 = T0 , V analog)
T1
V1
T2
p2
(oder T2 = T , T1 = T0 , p analog)
ΔS = S2 − S1 = νCmp ln − νR m ln
T1
p1
ΔS2 = C1
Zusammenfassung Physik II
I Thermodynamik
8⋅a
a
, pk =
27 ⋅ b ⋅ R m
27 ⋅ b 2
3
V
R ⋅T
= Zk ⋅ R m R m ( b = mk = m k ,
8
3
8 ⋅ pk
kritisch: Vmk = 3b , Tk =
Æ
p k ⋅ Vmk
Tk
2
a = 3 ⋅ p k ⋅ Vmk
= 27 ⋅ b 2 ⋅ p k )
⎛T ⎞
T1 − T2
, ΔS1 = C1 ⋅ ln ⎜ 2 ⎟ , ΔS = ΔS1 + ΔS2
T2
⎝ T1 ⎠
δQirr
<0
T
Adiabat: S2 − S1 > 0 , dS ≥ 0 Æ Es können nur Vorgänge von selbst
ablaufen, bei denen die Entropie ansteigt.
∫
2
Q12,rev = ∫ T dS
1
Statistische Deutung Wahrscheinlichkeit von einem Molekül P11 n =
N
⎛1⎞
⎛V ⎞
von N Molekülen PN1 n = ⎜ ⎟ = ⎜ n ⎟
⎝n⎠
⎝V⎠
1
n-fache Unterteilung Vn = V
n
1
n
N
⎛V ⎞
PII ⎛ V2 ⎞
= ⎜ ⎟ , ln w = N ⋅ ln ⎜ 2 ⎟
PI ⎝ V3 ⎠
⎝ V3 ⎠
Bolzmann ΔS = k ln w , S = k ln P
3. Hauptsatz
Der absolute Nullpunkt lässt sich nicht erreichten.
Zustandsänderungen realer Gase
p
p
Massendichte
ρ=
, mit Realgasfaktor Z: ρ =
Z ⋅ Ri ⋅ T
R iT
Van-der-Waals
⎛
a ⎞
⎜ p + 2 ⎟ ( Vm − b ) = R m T , Vm : Molvolumen,
V
m ⎠
⎝
a
b
: Binnendruck p bi ∼ ρ2 , b: Eigenvolumen ( ?)
Vm2
4
7 / 36
1. Photoeffekt, Hohlraumstrahlung
1
Teilchen
1u = m 12 C , N A = 6.02 ⋅1023
Atom
12 6
Mol
MeV
−27
Atommasse 1u = 1.66 ⋅10 kg = 931
kg
E = m ⋅ c2
2
Wirkungsquerschnitt Stossfläche σ = π ( r1 + r2 )
Fläche aller Wirkungsq.
GesamtflächeA
n ⋅ A ⋅ Δx ⋅ σ
gestreute Teilchen ΔN = − W ⋅ N = − N ⋅
, n: Atomdichte
A
dN
= − n ⋅ σ ⋅ dx , N = N 0 ⋅ e − n⋅σ⋅x
N
makroskopischer Wirkungsgrad: σ ⋅ n = α , N gestr. = N 0 (1 − e −α⋅x )
Stosswahrscheinlichkeit W =
N
Wahrscheinlichkeitsverhältnis w =
II. Quantenphysik
⎛
4π
a ⎞
Atomgrösse aus Kovolumen ⎜ p + 2 ⎟ ( Vm − b ) = ν ⋅ R ⋅ T , b = 4 ⋅ ⋅ r 3 ⋅ N A
3
V
m ⎠
⎝
Atomgrösse über Röntgenbeugung Δ = n ⋅ λ = 2 ⋅ d ⋅ sin θ , d ≈ 1 − 5 Å
1
1Å=10-10 m = nm
10
Licht-Eigenschaftgen Elektro-Magnetsiche Welle
Æ E-, B-Feld, Beugung, Interferenz
h ⋅c
m
, Geschwindigkeit c = 2.9979 ⋅108
Energie E = h ⋅ f =
s
λ
h ⋅f h
−34
Ruhemasse m 0 = 0 , Impuls p =
= , h = 6.626 ⋅10 Js
c
λ
Photoeffekt
Kinetische Energie hängt nicht von E 2 ab, sondern von f
Licht besteht aus Photonen
8 / 36
Zusammenfassung Physik II
II Quantenphysik
Jedes Material hat ein best. f grenz. , h ⋅ f ≥ h ⋅ f grenz. = e ⋅ U A ,
Zusammenfassung Physik II
2. Compton-Streuung, Dualismus
eU A = WA : Austrittsarbeit (materialspezifisch)
kinetische Energie des Photoelektrons (Einstein-Gleichung):
1
h ⋅ f = WA + E kin = e ⋅ U A + m ⋅ v 2
2
P
W
Intensität
M = , [M] = 2
A
m
Temperaturstrahlung Reflexion + Absorption: R + A = 1
Emission Stefan-Boltzmann M e ( T ) = σT 4 ,
Compton-Effekt
me
E h ⋅f
= 2 , m=
c2
c
1 − v2 c2
h ⋅f h
=
Impuls m ⋅ v = p =
c
λ
h
ϑ
Verschiebung der Wellenlänge Δλ = λ′ − λ =
(1 − cos ϑ) (bzw. )
2
m0c
h
Compton-Wellenlänge
mit λ C =
m0c
Rückstreuung Δλ = 2λ C
2 π5 k 4
W
= 5.670 ⋅10−8 2 4
15h 3c 2
mK
Material E = E s ⋅ A , A: Absorption
Strahlungsenergie [ f ...f + df ]
Volumen
Strahlungsenergie
Spektrale Strahlungsflussdichte 2 ⋅ P ( f , T ) df =
Raumwinkel ⋅ Fläche
π2
2π
c
c
P (f , T) =
u ( f , T ) ∫ dϕ ∫ cos θ sin θdθ = u ( f , T )
8π
8
0
0
Spektrale Energiedichte u ( f , T ) df =
Intensität M = 2 ∫ Pges ( f , T ) df = σ ⋅ T 4
Dualismus Teilchen – Welle
3. Materiewelle, Beugung
Quantentheorie
Wiensches Verschiebungsgesetz λ max ⋅ T = konst. = 2898 ⋅μm ⋅ K
Wärmestrahlung
Impulserhaltung p ph = p′ph + p e , Energieerhaltung E ph + E 0e = E′ph + E e
Photonen-Masse m ph =
σ=
Schwarzer Strahler
II Quantenphysik
f2
Rayleigh und Jeans P = π 2 kT ∝ f 2 Æ Ultraviolet-Katastrophe
c
h ⋅ f = E 2 − E1
Bolzmann
de-Broglie
u: Energie pro Volumen und Frequenz, A,B: Wahrscheinlichkeiten,
N1 , N 2 : Besetzungszahlen der Energieniveaus
8⋅ π⋅f 2
k ⋅T
c3
8⋅ π⋅ h ⋅f 3
Spektrale Energiedichte u f ( f , T ) =
⋅
c3
Materiewelle
2 ⋅ h ⋅ c2
⋅
λ 5Ω 0
1
e
h ⋅c
λ⋅kT
9 / 36
k2 2
,
2m
=
h
2π
ω
h
1
h
, v = = λ ⋅ f m ⋅ v2 = e ⋅ U Æ λ =
k
p
2
2⋅e⋅ U⋅m
Alle Mikroteilchen: Sowohl Teilchen- als auch Wellencharakter
i
( px − Et )
2π
i( kx −ωt )
, E = ω, p = ⋅k , k =
Ψ ( x, t ) ∼ e
=e
λ
Broglie-Wellenlänge λ ≈ θ ⋅ d , d: Gitterkonstante
Wellenfunktion Ψ ( x, y, z, t )
λ=
Born: Wahrscheinlichkeit eines Teilchens Ψ ( x, y, z )
1
e
1
e
h ⋅f
kT
df
−1
∞
2
1
ikx
∫ a ( k ) e dk
2π −∞
Heisenbergsche Unschärferelation Δx ⋅ Δp ≥ h , Je genauer der Ort des Teilchens festgelegt,
desto ungenauer ist der Impuls bestimmt und umgekehrt.
Ψ ( x, 0 ) =
h ⋅f
k ⋅T
−1
2⋅h ⋅f 3
Plank’sche Strahlungsgleichung L e,f ( f , T ) df = 2
⋅
c Ω0
L e,λ ( λ, T ) dλ =
1
mv 2 , p = m ⋅ v
2
Energie von Photonen E = h ⋅ f = ⋅ ω =
E −E
− 2 1
B12 ⋅ u ( f )
N2
k ⋅T
,
=
= e kT , u ( f ) =
h ⋅f
N1 A 21 + B21 ⋅ u ( f )
Rayleigh-Jeans u f ( f ) =
klassisch: E kin =
dλ
−1
10 / 36
Zusammenfassung Physik II
Beugung am Spalt
II Quantenphysik
⎛ πb
⎞
sin 2 ⎜ sin α ⎟
λ
⎝
⎠
Intensität Iα = I0
2
⎛ πb
⎞
⎜ sin α ⎟
⎝ λ
⎠
λ
1⎞λ
⎛
Auslöschung sin α m = ± m , Nebenmaxima sin α m ≈ ⎜ m + ⎟
2⎠ b
b
⎝
λ
Lochblende, 1. Dunkler Ring sin α1 = 1.22 , d: Durchmesser
d
Zusammenfassung Physik II
II Quantenphysik
Nur diskrete Bahnen, strahlungslos, klassische Physik für grosse f, n
Ionisationsenergie E1 = R ∞ ⋅ h ⋅ c = 13.6eV
Quantelung
Bohrscher Radius r1 = 52,9pm , rn = n 2 ⋅ r1
n ⋅ λ = 2πr = Länge der Kreisbahn
5. Schrödinger-Gleichung
Hamilton-Operator
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂x x
∂L ( x, x, t )
Lagrange-Funktion L = E kin − V ,
4. Bohrsches Atommodell
generalisierter Impuls p =
Spektroskopie
Hamiltonfunktion H = E kin + V , 1 dim: H =
Wasserstoff-Atom
Bohrsche Postulate
p 2x
+ V ( x ) = E gesamt
2m
H beschreibt die Gesamtenergie, V: Potentielle Energie
∂H ( p, x )
∂H ( p, x )
Bewegungsgleichung
= x,
= −p ,
∂p
∂x
x : generalisierte Koordinaten
H α = 6563Å , Hβ = 4861Å , H γ = 4340Å
n2
⋅ G , n = 3, 4,... , G: Proportionalitätskonst.
n −4
1
1 ⎞
c
1 ⎞
⎛ 1
⎛ 1
v = = R H ⎜ 2 − 2 ⎟ , n′ < n , f = = c ⋅ R H ⎜ 2 − 2 ⎟
λ
λ
⎝ n′ n ⎠
⎝ n′ n ⎠
1 ⎞
⎛ 1
E n = E1 ⎜ 2 − 2 ⎟ , E1 = −13.6eV für Quantenzustand 1
⎝ n′ n ⎠
v : Wellenzahl d. Spektrallinie, f : Frequenz d. Spektrallinie
4
Rydberg-Konstante R H = = 109677,5810cm −1
G
n′ = 1: Lyman, 2: Balmer, 3: Paschen, 4: Bracket, 5: Pfund
R
n → ∞ :v ∞ = H
4
Z ⋅ e2
Coulomkraft = Zentrifugalkraft
= m 0 ⋅ rn ⋅ ω2n , Z: Kernladung
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rn2
Balmer λ =
2
De Broglie
Æ rn =
Z ⋅ e2
1
p2 m ⋅ v2
, E kin = m 0 ⋅ rn2 ⋅ ω2n =
=
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
2
2m
2
n 2 2 4πε 0
Z2e 4 m
1
⋅ 3 30
, ωn =
2
2
Ze m 0
( 4πε0 ) h n
m0 e4
1 ⎞
⎛ 1
Æ v = Z2 R ∞ ⎜ 2 − 2 ⎟ , R ∞ =
= 109737cm −1 ,
8 ⋅ ε 2 h 3c
⎝ n′ n ⎠
Z2e 4 m 0 1
1
Z2e 4 m0 ⎛ 1
1 ⎞
= E1 ⋅ 2
ΔE n ′,n =
− 2 ⎟ , En =
2 2 2 ⎜
2
32π2 ε02 2 n 2
n
32π ε0 ⎝ n ′ n ⎠
13
2
⎞
1 ⎛ ⎛ e2 ⎞
Gesamtenergie E = − ⎜ ⎜
m 0 ω2 ⎟
⎟
⎟
2 ⎜ ⎝ 4πε0 ⎠
⎝
⎠
11 / 36
Ψ ( x, t ) = a ⋅ e (
i k x x −ωt )
= a ⋅e
i
( px x − Et )
Wahrscheinlichkeiten Intensitätsverteilung I ( x ) = Ψ ( x, t ) ∼ h ( x )
2
h ( x ) : Teilchenbild (Elektronen pro Wegelement)
Aufenthaltswahrscheinlichkeit w = Ψ ( x, y, z, t ) ⋅ dV
2
Schrödiner-Gl.
Bahn-Drehimpuls ln = rn × p n , ln = n ⋅ = m 0 ⋅ rn2 ⋅ ωn
E pot = −
∂x
Operatoren
2
⎛
⎞
∂
Δ + V ( r ) ⎟ Ψ ( r, t ) = i
Ψ ( r, t )
Zeitabhängig ⎜ −
2m
∂
t
⎝
⎠
2
⎛
⎞
Zeitunabhängig ⎜ −
Δ + V ( r ) ⎟ Ψ ( r ) = EΨ ( r )
2m
⎝
⎠
2
d
freies Teilchen −
ΔΨ ( x, t ) = i
Ψ ( x, t )
2m
dt
∂
∂
∂
Laplace-Operator Δ = 2 + 2 + 2 = ∇ 2
∂x ∂y ∂z
d
Energieoperator Ê := i
dt
Impulsoperator p̂ = −i ∇
kin. Energieoperator V ( rˆ ) , Eˆ kin = −
2
2m
⎛ p̂ 2
⎞
+ V rˆ ⎟
Hamiltonoperator Ĥ = ⎜
⎝ 2m
⎠
ˆ
ˆ y,
ˆ zˆ ) = ( x, y, z ) = r
Ortsoperator r = ( x,
Δ=−
p̂ 2
2m
()
ˆ
Drehimpulsoperator l = −i
( rˆ × ∇ )
ˆ ( r,
ˆ pˆ ) = E kin ( r,
ˆ pˆ ) + V ( rˆ )
Æ Gesamtenergie (Hamilton): H
12 / 36
Zusammenfassung Physik II
II Quantenphysik
Zusammenfassung Physik II
2m ( E − V ( x ) )
II Quantenphysik
Transmissionskoeffizient T =
BIII
2
Freies Teilchen
k=
Eigenwertfunktion
 ⋅ Ψ n ( r ) = a ⋅ Ψ n ( r ) ,  : Operator, a: Eigenwert = mögl. Messwert
auslaufender Welle Ψ I ( x ) = BI ⋅ e − ikx , Ψ III ( x ) = BIII ⋅ e− ikx (linksläufig)
Ĥϕn = E n ϕn , En: Eigenwerte, ϕn : Eigenfunktionen
Menge der Eigenwerte: Spektrum des Operators (diskret, kontinuierl.)
⎛
⎞
V02
T = ⎜1 + 2
sinh 2 ( κ 2a ) ⎟ , E < V0
⎜ V − ( 2E − V )2
⎟
0
0
⎝
⎠
BI
Verhältnis zw. ein- und
2
−1
−1
⎛
⎞
V02
T = ⎜1 + 2
sin ( k2a ) ⎟ , E > V0
⎜ V − ( 2E − V )2
⎟
0
0
⎝
⎠
2mE 2
2m
2
2
, κ = 2 ( V0 − E )
Eigenwertbed. k =
Bsp. Impuls
ˆ Ψ ( r ) dV , Wahrscheinlichkeit P = a 2
Erwartungswert a = ∫ Ψ ∗ ( r ) A
Ψ ( r ) = ∑ cn Ψ n ( r ) , ∫ Ψ ∗ ( r ) Ψ ( r ) dV = 1
n
∞
kontinuierlich
∫
P ( a x ) da x = 1 , diskret
−∞
∞
falls k ⋅ a 1 , κ ⋅ 2a 1 : T = e
Reflexionskoeffizient R = 1 − T
∑ P (a ) = 1
n =1
n
2
Allg. Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gl. Ψ ( x, t ) = ∑ a n e
i
En t
Lösungen von Hamilton E n =
ϕn ( x )
n
(Kastenpotential)
Potentialbarriere
2
⋅ k 2n
π
⎛π⎞ 2
=
⎜ ⎟ n , k n = ⋅ n , L: Länge, n: Quantenzahl
2⋅m 2⋅m ⎝ L ⎠
L
Eigenwertbedingung e 2ikL = 1
p = 2m ( E − V0 ) = i k
(
2
1) E > V , p ∈ , klass: Teilchen kann bei x < 0 und bei x > 0 sein
2) E < V , p ∈ , exp gedämpfte Welle, klass: Teilchen nicht bei x > 0
A: einfallende, B: reflektierte, C: transmittierte Welle
⎧A ⋅ eip x + B ⋅ e −ip x , x < 0
⎪
Ψ (x) = ⎨
, p = 2⋅m⋅E
ip x
⎪⎩
C⋅e ,x > 0
∞
⎡
dp
p − p −ipx ⎤ − iE t
Ψ ( x, t ) = ∫
f ( p ) ⎢eipx +
e ⎥e
,x < 0
π
+p
2
p
⎣
⎦
0
1) Lösung:
∞
⎡ 2p ipx ⎤ −iE t
dp
Ψ ( x, t ) = ∫
f ( p) ⎢
e ⎥e
,x > 0
2π
⎣p + p
⎦
0
B
p−i k
, δ ( E ) Phasenverschiebung,
= e −2 δ( E ) =
A
p+i k
⇒ k = p ⋅ cot δ ( E )
(Tunneleffekt)
II: V ( x ) = V0 , I+III: V ( x ) = 0
13 / 36
x2
)
−1 2
Eigenwertbedingung k 2n = λ ( 2n − 1)
14
1
1
− λx 2
⎛ 4λ 3 ⎞
⎛ λ ⎞ − λx 2
2
⋅x ,
Ψ 0 ( x ) = ⎜ ⎟ e 2 , Ψ1 ( x ) = ⎜
⎟ ⋅e
⎝π⎠
⎝ π ⎠
14
14
1
− λx 2
⎛ λ3 ⎞
Ψ 2 ( x ) = ⎜ ⎟ ⋅ e 2 ⋅ (1 − 2λx 2 )
⎝ 4π ⎠
x2
− 2
2
1
1
mω2 A 2 , Ψ 0 ( x ) =
e A
2
A⋅ π
E1 = E 2 oder E1 ≠ E 2 ⇒ ∫ Ψ1∗Ψ 2dx = 0
klassische Amplitude E kl =
Orthogonalität
6. Unschärferelation
Materialwellen
ΔxΔp >
( ΔEΔt ≥ )
2
2
Ortsunschärfe Δx = k −1
Impulsunschärfe Δp ≥
( Δp )
2
Δx
= k
k2
= V − E (Lokalisierung in Barriere)
2m
2m
totale Energie: E + kin. Energie
kin. Energie
Potentialschwelle
k 2n
1⎞
⎛
= ω⎜ n + ⎟ ,
2m
2⎠
⎝
2
⎛x⎞ − 2
H n ⎜ ⎟ e 2l0 , H 0 ( x ) = 1 , H1 ( x ) = 2x ,
⎝ l0 ⎠
H n ( x ) 2 ⋅ H n −1 ( x ) − 2 ( n − 1) H n − 2 ( x )
ϕn ( x ) = l0 π 2n n!
V0 → ∞
Potentialtopf
2)
2m( V0 − E kin )
Harm. Oszillator
n =1
2
4a
∞
Ortsmessung: P ( x ) = Ψ ( x, t ) , Erwartungswert E = ∑ a n ⋅ Pn ( a )
En =
−
2
∼
14 / 36
Zusammenfassung Physik II
II Quantenphysik
Zusammenfassung Physik II
Magnetische Quantenzahl m l = 0,1, 2,..., l
7. Wasserstoffatom
(vgl. 4. Bohr mit Z = 1 )
Energie
Magnetische Quantenzahl des Elektronenspins ms = ±
l ( l + 1)
1 Ze 2
(Coulomb und Rotationsenergie)
potentiell Veff = −
+
4πε 0 r
2m red r 2
Rotation E rot =
m red =
( Jω)
2J
2
=
l
, Massenträgheitsmoment J = m red r 2
2m red r 2
m Kern ⋅ m e
m Kern + m e
2
l ( l + 1) , l = 0,1, 2,...
1 mz 2 e 4
1
= −R y 2
der Wellenfunktionen E n = − 2
n 2 ( 2πε0 )2
n
ms
Bez.
l
ml
0
0
± 1/2
1s2
2s2
0
0
± 1/2
2p6
1
1,0,-1
± 1/2
3s2
3
0
0
± 1/2
1
1,0,-1
3p6
± 1/2
3d10
2
2,1,0,-1,-2 ± 1/2
in z Richtung mit Spin 1/2 μs,z = gs m z μ B , m z
n
1
2
2
Bahndrehimpuls l = Jω Æ l 2 =
Radialanteil
II Quantenphysik
Drehimpuls
1
2
#e2
2
6
2
6
10
= ±1 2
⎛ 1
1 ⎞
h ⋅f = ⎜ 2 − 2 ⎟Ry
n
n
2 ⎠
⎝ 1
R y = 13.6eV
Rotations-Schwingungs-Spektrum
⎛ p̂
⎞
+ Vel ( r − re ) ⎟ Ψ Schw ( r − re ) = ESchw Ψ Schw ( r − re )
⎜
⎝ 2m
⎠
III. Festkörperphysik
2
l̂
Ψ rot ( ϑ, ϕ ) = E rot Ψ rot ( ϑ, ϕ )
2J
E rot =
2
2J
( l + 1) l
E rot ( l + 1) − E rot ( l ) =
Schrödinger-Gleichung
1. Elektronen in Metallen
Leitfähigkeit
Freie Elektronen-Gase
2
( l + 1) l
J
Ψ ( r, ϑ, ϕ ) = R ( r ) ⋅ Θ ( ϑ) ⋅ Φ ( ϕ )
2 2
p2
k
=
2m 2m
2
⎛ ∂2Ψ k ∂2Ψ k ∂2Ψ k ⎞
Schrödinger-Gl. −
+
+
⎜
⎟ = Ek Ψ k
2m ⎝ ∂x 2
∂y 2
∂z 2 ⎠
2π 4π
Lösung Ψ k ∼ eikr , Wellenzahlenvektor k x,y,z = 0, ± , ± ,...
L
L
Ψ ( x, y, z ) = Ψ ( x + L, y, z ) , L: Kantenlänge
Höchstes besetzte Energieniveau = Fermi-Niveau
Elektronen im Würfel Aufenthaltswahrscheinlichkeit Ψ , E kin =
2
8. Atombau
13
N⎞
⎛
Fermikugel Radius k F = ⎜ 3π2 ⎟ , N: Teilchen pro L3 , V: Volumen
V⎠
⎝
z.B. O: 1s 2 2s 2 2p 4
Quantenzahlen
Hauptquantenzahl n
Bahndrehimpuls l = 0,1, 2,..., n − 1
Zustandsdichte
2
abgegeben Elektronen (z.B. 4s 2 4p n , aber ohne 3d10 )
Zustände pro Volumeneinheit und Energieintervall
D(E) =
15 / 36
23
13
⎛ 2 N⎞
⎛ 2 N⎞
⎜ 3π
⎟ , max. Geschw. v F = ⎜ 3π
⎟
2m ⎝
V⎠
m⎝
V⎠
N ⋅ N ⋅ρ
p2
N N ⋅N
E F = F , p F = m ⋅ v F , n = = e A = e A , N e : Anz.
V
Vmol
m mol
2m
Fermi-Energie E F =
dN 1
1 ⎛ 2m ⎞
=
⎜
⎟
dE V 2π2 ⎝ 2 ⎠
32
16 / 36
E1 2
Zusammenfassung Physik II
Fermi-Dirac-Vert.
Wärmekapazität
III Festkörperphysik
1
e( E − EF ) ( kT ) + 1
ΔE ≈ 4.4 ⋅ k ⋅ T (90% bis 10%)
− E−E
kT
Bolzmann-Verteilungsfunktion f ( E ) = e ( F ) ( ) E − E F
Wahrscheinlichkeit f ( E ) =
III Festkörperphysik
1. Brillouin-Zone: −
()
(
)
E k = E k+G =
kT
E
ΔN kT T
=
=
,
Fermi-Temperatur TF = F , Anzahl Elektronen
k
N E F TF
3
3 T
Innere Energie U el = ΔN kT = N kT ,
2
2 TF
dU el
T
T
Wärmekapazität Cm,el =
= 3N k = 3R m
dT
TF
TF
T
π2
cV = γT = nk
2
TF
2. Bandstruktur
Kovalente Bindung
Zusammenfassung Physik II
π
π
≤k≤ ,
a
a
2
(k + G)
2m
π
π
Ψ1 ∼ cos k1x = cos x , Ψ 2 ∼ sin k1x = sin x
a
a
Zustandsdichte
Fermi-Fläche dz =
D ( E ) dE ∼
∫
E + dk
V
( 2π ) ∫E
3
dSE
Energiebänder
Leitung
dk , dk : Volumenelement im k-Raum
dE , freie Bänder=grosse Zustandsdichte
grad k E k
()
Elektronen in FK: In Energiebändern,
getrennt von verbotenen Zonen.
Leiter: FK bei denen Energieband nur teilweise
besetzt ist.
(Elektronen-Tansport) Drude-Modell
eτ
Driftgeschwindigkeit v D = v − v Therm , Drude-Gleichung v D = − E
m
Relaxationszeit τ : Zeit zw. 2 Streuereignissen, v D = v D,0 (1 − e − t τ ) ,
E k = konst
Molekulare Wellenfunktion HΨ mol = EΨ mol
Näherung Ψ mol = c A Ψ A + c B Ψ B
H ± H AB
, – : bindender Zustand Ψ mol ∼ Ψ A + Ψ B
E −± = AA
2
+ : anti-bindender Zustand Ψ mol ∼ Ψ A − Ψ B
2
()
e
τE 0 = −μE 0 , μ : Beweglichkeit
m
−e 2 τ ⋅ n
E = σ ⋅ E , σ :Leifähigkeit
Stromdichte j = e ⋅ n ⋅ v D = n ⋅ e ⋅μ ⋅ E =
m
v D,0 = −
σ=
Überlapp von Orbitalen Æ Energiegewinn Æ stabile Bindung
Ionische Bindung
Na + + Cl− → NaCl (1. und 7. Hauptgruppe)
Metallische Bindung delokalisierte Elektronen Æ starke Bindung, Ladungstransport
Blochsches Theorem periodisches Potential V ( r ) = V ( r + rn ) , rn G k = 2πδij
Bloch-Funktion Ψ k ( r ) = U k ⋅ eikr
2
2
2
p
k
h
(fast) freie Elektronen p = = ⋅ k , Dispersionsrelation E =
=
2m 2m
λ
2a
2π π
, n = 1, 2,3,... , k n =
Braggsche Refelxionsbed. λ n =
= n
n
λn a
Hall-Effekt
E
=
σ⋅m
e2 τ ⋅ n 1
= = e ⋅ n ⋅μ , τ = 2
en
m
ρ
n: Gesamtdichte Valenzelektronen, Metall n ∼ 1023 cm −3
Lorenzkraft FL = −ev × B , Fel = −e ⋅ E ,
FL = −e ⋅ v x ⋅ Bz , jx = e ⋅ n ⋅ v x = σ ⋅ E x Æ U Hall = Bz ⋅ b ⋅
Elektronen-Bewegung in Bändern
Überlagerung Ψ ( x, t ) ∝
k +Δk 2
(
∫ a (k) e
i kx −ωt )
dk , ω ( k ) =
jx
n ⋅e
E (k)
k −Δk 2
Gruppengeschw. des Wellenpakets v =
∂ω ( k ) 1 ∂E ( k )
=
∂k
∂k
Elektrisches Feld δk = −eEδt Æ k = −eE
1
, freies Elektron m∗ = m
effektive Masse m∗ = 2 2
∂ E ∂k 2
σ=
17 / 36
j
e 2 τn
m∗
18 / 36
,
Zusammenfassung Physik II
III Festkörperphysik
Metall nahezu T unabhängig,
1
1
1
=
+
,
τ τPhonon τDefekte
Zusammenfassung Physik II
Ladungsträger-Dichte in intrinsischen HL
σ = e ( n ⋅μ n + p ⋅μ p ) μ n/p : Beweglichkeit der Elektronen / Löcher
ρMetall = ρPhononen + ρDefekte
Ströme in Bändern
( ) ( 2π )
j = e ⋅ n ⋅ v , dj = v k
−e
j= 3
8π
()
dk
3
()
()
Teilweise gefüllte Bänder j =
e
8π 3
∫
μ ( T ) = μ 0 ( T T0 )
1
= 3 ∇ k E k dk
8π
1
∇ k E k dk , v k =
n=
, n ( E ) = D L ( E ) f ( E ) , p ( E ) = D V ( E ) (1 − f ( E ) )
EV
∫ D ( E ) f ( E ) dE , p = ∫ D ( E ) ⎡⎣1 − f ( E, T )⎤⎦ dE , f ( E ) = e
L
Teilchendichte n
32
1 ⎛ 2m∗ ⎞
1 ⎛ 2m ⎞
12
( E − E L ) , DV ( E ) = 2 ⎜ 2 h ⎟
2 ⎜
2 ⎟
2π ⎝
2π ⎝
⎠
⎠
2
2 2
πk
k L
in Kreis mit Radius k,
2D: N ( k ) = 2 ⋅
=
2
( 2π L ) 2π
dn
2 2m
E , D=
2
π
dE
32
direkt – indirekt
( EV − E )
2
n1D =
Wichtigste HL
32
m
⎛ 2π ⎞
⎜ ⎟ Flächenelement, n 2D = 2 E
π
⎝ L ⎠
2k
2kL
2π
1D: N ( k ) = 2
auf Länge 2k,
: Längenelement
=
L
π
2π L
3. Halbleiter
Leitfähigkeit
E −EF
kT
−∞
∗
e
DL ( E ) =
1.BZ
−
V
EL
()
∫ v ( k ) dk pos. Ladun Æ Löcher
−3 2
∞
∇k E k
k leer
III Festkörperphysik
σ=
e2 τ ( T ) n ( T )
, n abstimmbar über Temperatur oder Dotierung
m∗
Defektelektronen: Löcher im VB (Gegensatz zu Elektronen im LB)
Ladungsneutral n = p (Dichte der Elektronen im LB/Löcher im VB)
Gruppe IV: Si, Ge
Gruppe III-IV: GaAs, InSb
direkte HL keine k-Verschiebung, teurer
⎛ 2πm∗e kT ⎞
⎛ 2πm∗h kT ⎞
V
L
= 2⎜
Effektive Zustandsdichte N eff
⎟ , N eff = 2 ⎜
⎟
2
2
⎝ h
⎠
⎝ h
⎠
L
n = N eff
⋅e
Besetzungsdichten
−
EL −EF
kT
V
, p = N eff
⋅e
L
V
n = p = n ⋅ p = N eff
⋅ N eff
⋅e
n ⋅ p = n i2 ( T ) = n i02 T 3e
Lage von E F
−
−
−
32
EV −EF
kT
Eg
2kT
= n i0 T 3 2 e
−
Eg
2kT
Eg
kT
T = 0 : E F genau in der Mitte
m∗e = m∗h : E F genau in der Mitte für alle T
⎛ m∗ ⎞
EV + EL 3
+ kT ln ⎜ h∗ ⎟
2
4
⎝ me ⎠
Störstellen, Dotierung intrinsisch n ∼ p ∼ 106 − 1015 cm −3 , Realität n ∼ 1015 − 1020 cm −3
Donatoren: Elektronenspender, ⇔ Akzeptoren
Ladungsträgerdichten N D/A Dichte der Donatoren / Akzeptoren, N 0D/A der neutralen
EF =
Licht
Absorption und Emission braucht direkte HL,
2π
π
Δk1.BZ , Δk ∼ ∼ 1010 m −1
∼ 2π ⋅106 m −1 , k ph
k ph =
a
λ
N +D der geladenen Donatoren, N −A der ionisierten Akzeptoren
kT
p-n-Übergang
Effektive Massen
E A/D , n =
ED
E
EA
− D
n A ⋅ N V − 2kT
n D N L − 2kT
L
≈ N D N eff
e
e 2kT , p =
e
2
2
dn ⋅ ND = dp ⋅ NA
n: Si :∼ 0.2m 0 , Ge :∼ 0.082m 0 , GaAs :∼ 0.067m 0
p: GaAs ∼ 0.12m 0 , InP ∼ 0.78m0
19 / 36
20 / 36
12
Zusammenfassung Physik II
III Festkörperphysik
Zusammenfassung Physik II
III Festkörperphysik
⎧ m1μ B Bz
E mag = −μ z Bz = ⎨
⎩ 2.0023ms μ B Bz
Zeeman- und Stark-Effekt ΔE mJ ,mJ−1 = g J μ B B0
Im thermodynamischen Gleichgewicht
μ = −g
Bahnmagnetismus
e
l;g = 1 , μ = −g μ B
2m 0e
In Bz : l =
μ s = −g s
Spinmagnetismus
L
n n = N eff
⋅e
(
− E nL − E F
)
kT
V
, p p = N eff
⋅e
(
p
− E F − EV
)
kT
V
L
, n n p n = N eff
N eff
⋅e
μ I = −g I
Kernmagnetismus
E n − En
− L V
kT
n
⎛ pp n n ⎞
V −( E F − E V )
eVD = − ( E Vn − E Vp ) = kT ⋅ ln ⎜ 2 ⎟ , p n = N eff
e
⎝ ni ⎠
Ströme
μ
3
, γs =
4
s
I ( I + 1) , γ I =
I ( I + 1) = g Iμ K I ( I + 1)
μI
I
⎛ eU ⎞
I = IS ⎜ e kT − 1⎟
⎝
⎠
jdif + jdrift = 0 Æ D n
n (x) = N e
L
eff
−
1. Mechanik
1.1 Kinematik
∂n
∂V
= nμ n
(Löcher analog)
∂x
∂x
E nL − eV ( x ) − E F
kT
Physik I
Geschwindigkeit: v =
⎛ ⎛ T ⎞2 ⎞
kritische magnetisch Flussdichte Bc = B0 ⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ Tc ⎠ ⎟
⎝
⎠
h
−15
Flussquant Φ 0 =
= 2 ⋅10 Vs
2e
magnetisches Dipolmoment μ = I ⋅ A , M = μ × B
v ( t ) bekannt: s ( t1 ) = s0 + ∫ v ( t ) dt
t0
Δv
Beschleunigung: a =
=v=s
Δt
a ( t ) bekannt:
e
Bohrsches Magneton μ B =
2m e
t0
konstante Beschleunigung: a = a 0 , v ( t ) = v0 + a ( t − t 0 ) , v = a 0 ⋅ t , v = 2 ⋅ a 0 ⋅ s ,
1
1
v2
2
s ( t ) = s0 + v0 ( t − t 0 ) + a 0 ⋅ ( t − t 0 ) , s = ⋅ a 0 ⋅ t 2 , s =
,
2
2
2 ⋅ a0
freier Fall: a = −g
21 / 36
e
e
e
= − ω , μ = I ⋅ A = − ωr 2
T
2π
2
= 9.2740 ⋅10
−24
Am
2
t1
v ( t1 ) = v0 + ∫ a ( t ) dt
konstante Geschwindigkeit: v = v 0 , s = s0 + v 0 ( t − t 0 ) , s = v 0 ⋅ t
Energieaufwand E mag = −μBcos α = −μB
Kreisendes Elektron als Strom I = −
Δs
=s
Δt
t1
eN
2
, V ( x ) = Vn ( ∞ ) − D ( d n − x )
2εε 0
4. Supraleitung und Magnetismus
Magnetismus
, γ : gyromagnetisches Verhältnis
l
kT
∂n
∂p ⎞
⎛
dif
− Dp
Diffusion jdif = jdif
n + jp = e ⎜ D n
⎟
∂x
∂x ⎠
⎝
drift
drift
drift
Drift j = jn + jp = e ( nμ n + pμ p ) ⋅ E x
Supraleitung
μ
e
e
I , μI = g I
2m 0p
2m 0e
In Bz : I =
VD : Diffusionsspannung
+ 1) , γ =
+ 1)
e
s;g s = 2.0023 , μs = −g sμ B s ( s + 1)
2m0e
In Bz : s =
n n : Elektronen im n-Gebiet, p p : Löcher im p-Gebiet Æ Majoritätslad.
können hinüber Diffundieren: n p , p n Æ Minoritätsladungsträger
(
(
freier Fall:
tf =
v 0 + v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h
g
22 / 36
, vf = − v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Physik I
⎛ x (t)⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
3-dimensional: r ( t ) = ⎜ y ( t ) ⎟ , v = ⎜ y ⎟ , a = ⎜ y ⎟
⎜z⎟
⎜z⎟
⎜ z(t) ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
Hubarbeit gegen Gravitation: FG = −γ G ⋅
2
v
⋅ enormal
R
Newton-Axiome: 1. Trägheitsgesetz (Körper behält Richtung und Geschwindigkeit, solange
d
keine äusseren Kräfte angreifen.) 2. Aktionsgesetz: F = ( m ⋅ v ) Kraft =
dt
zeitliche Änderung des Impulses. ( F = a ⋅ m , p = m ⋅ v ) 3. actio = reactio
F12 = −F21
Rotation: ω = ϕ , α = ω = ϕ
(
)
t
p = m ⋅ v (2. Newton: F =
2
dp
), p = ∫ F ( t ) dt
dt
t1
dp
dt
= 0 , 2. keine Äusseren Kräfte:
Impulserhaltungssatz: keine Kräfte (bzw. nur innere): Δp = 0 , sonst Fäussere =
Dynamik von mehreren Massenpunkten: 1.
∑ p = konst.
∑ Finnere
1
( m1 r1 + m 2 r2 + ... + m N rN ) , M = m1 + m 2 + ... + m N
M
Summe der äusseren Kräfte: Fa = m tot ⋅ a s , Fa = 0 ⇔ a s = 0
Massenmittelpunkt:
Arbeit:
rs =
(
)
s2
s2
s1
s1
dW = F ⋅ ds = F ⋅ ds ⋅ cos F, ds , W12 = ∫ dW = ∫ F ⋅ ds
Hubarbeit:
F = m⋅g , W = m⋅g⋅h , (s = h )
⎛
h ⎞
Hangabtrieb: F = m ⋅ g ⋅ sin ( α ) , W = m ⋅ g ⋅ h , ⎜ s =
⎟
⎜
sin
( α ) ⎟⎠
⎝
F = μ ⋅ FN = μ ⋅ m ⋅ g , W = μ ⋅ m ⋅ g ⋅ s
Reibung:
Beschleunigung:
⎛
1
v2 − v2 ⎞
m v 22 − v12 , ⎜ s = 2 1 ⎟
2⋅a ⎠
2
⎝
1
= −c ⋅ x , W = c x 22 − x12 , ( s = x 2 − x1 )
2
F = m⋅a , W =
Verformung (Feder): Frück
⎛1 1⎞
m⋅M r
⋅ , W = γ G ⋅ M ⋅ m ⋅ ⎜ − ⎟ , s = ( r2 − r1 )
2
r
r
⎝ r1 r2 ⎠
Bemerkungen:
(
)
(
23 / 36
)
∫ Fds = 0
1. F nur konservativ, falls rotF = 0 , ∇F = 0 ,
⎛
⎞
⎛ d d d ⎞
⎜ ∇ = ⎜ , , ⎟ , rotF = ∇ × F ⎟ , 2. nicht jedes F ( r ) ist konstant. 3. Falls
dx
dy
dz
⎝
⎠
⎝
⎠
F ( t ) ≠ konst. ist das Feld nicht konstant. 4. Im Allgemeinen ist ein ∇ -
abhängiges F nicht konstant. 5. Falls rotF = 0 , nennt man F wirbelfrei.
Energieerhaltung: E kin ( r1 ) + E pot ( r1 ) = E kin ( r2 ) + E pot ( r2 )
Stösse: elastisch ( E kin bleibt erhalten) und unelastisch)
d
Gleichförmige Kreisbewegung: v = ω× r , a = ω× v =
ω× R zeigt zum Zentrum Æ
dt
Zentripetalbeschleunigung
v2
konstante Winkelgeschwindigkeit: a = ω2 ⋅ R =
( a = ω⋅ v , v = ω⋅ R )
R
1.2 Kraft und Arbeit
kg ⋅ m
d
Kraft:
[ F] = N = 2 , F = ( m ⋅ v ) , m konstant: F = m ⋅ a = p
s
dt
Federkraft:
F = c⋅s
Hangabtrieb: FH = FG ⋅ sin ( α ) , FN = FG ⋅ cos ( α ) , ( FReibung = FN ⋅μ )
Impuls:
Anhang – Physik I
Kraftfelder F ( r ) : konservativ, falls die Arbeit nicht vom Weg abhängt Æ
r und v tangential zur Bahnkurve, a normal =
Normal- und Tangentialkomponenten:
Zusammenfassung Physik II
∑p
i
= konst.
⎛
( m − m 2 ) v1 + 2 ⋅ m 2 v2 , v ′ ana log ⎞
Elastischer Stoss: m1v1 + m 2 v 2 = m1v1′ + m 2 v 2′ , ⎜ v1′ = 1
⎟
2
m1 + m 2
⎝
⎠
m1v1 + m 2 v 2
Unelastischer: v′ =
m1 + m 2
(
schiefer, zentraler Stoss: v1x′ = v1x , v1y′ =
v 2x′ = v 2x , v 2y′ =
m1 − m 2 ) ⋅ v1y + 2 ⋅ m 2 ⋅ v 2y
m1 + m 2
,
2 ⋅ m1 ⋅ v1y + ( m 2 − m1 ) ⋅ v 2 y
m1 + m 2
Leistung: P = W = F ⋅ v
dF
N
kg
= Pa = 10−5 bar
, [p] = 2 =
Druck: p =
m
m ⋅ s2
dA
1.3 Drehbewegung
Winkelgeschwindigkeit ω : v = ω× r
Drehimpuls L : L = r × p , ( p = m ⋅ v ) , L = J ⋅ ω (entspricht Impuls p)
Drehmoment M : M = r × F , M = J ⋅ α , M = L , [ M ] = N ⋅ m = J (entspricht Kraft F)
Massenträgheitsmoment J: J = m ⋅ r 2 , J = ∑ m i ⋅ ri2 = ∫ r 2 dm , [ J ] = kg ⋅ m 2 (entspricht Masse
i
M
m)
dL
= M , keine äusseren Kräfte ( M = 0 ): L = konst. (Drehimpulserhaltung)
dt
1
1
Mechanik starrer Körper: E rot
m ⋅ v 2 = J ⋅ ω2
kin =
2
2
Massenträgheitsmomente von Körpern: dJ = r 2 ⋅ dm , r Abstand von der Achse
Arbeit: dW = M ⋅ dϕ
1
1
Trägheitsmomente: dünner Stab: J s = ⋅ m ⋅ l2 , ⊥ l , Quader: J s = ⋅ m ⋅ a 2 + b 2 , c ,
12
12
⎛ r2 h2 ⎞
1
Zylinder: J s = ⋅ m ⋅ r 2 , h , J s = m ⋅ ⎜ + ⎟ , ⊥ h , Hohlzylinder:
2
⎝ 4 12 ⎠
Dynamik:
(
24 / 36
)
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Physik I
(
)
1
2
⋅ m ⋅ r12 + r22 , h , Kugel (voll): J s = ⋅ m ⋅ r 2 , Kugel (hohl):
2
5
2
Js ≈ ⋅ m ⋅ r 2
3
1
Kinetische Energie: E rot = ⋅ J ⋅ ω2
2
Leistung: P = W = m ⋅ ω
Js =
1.4 Weiteres
Schubkraft: FSchub = v rel ⋅
Erdrotation: Fg = Fz am Äquator
M
, ( m ⋅ g ⋅ cos ϑ = FG )
L ⋅ cos ϑ
F
F
kg
1
1
Seilwelle: vs =
=
, [ m′ ] =
, E tot = ⋅ m ⋅ ω2 ⋅ A 2 = ∫ ⋅ m′ ⋅ vs2 ( x ) dx Æ
Aρ
m′
m
2
2
Präzession: ωP =
1
dE dE dx
dE 1
=
⋅
= E′ ⋅ v s , ω =
⋅ m′ ⋅ vs2 , p =
= ⋅ρ ⋅ v̂ 2 ,
dt dx dt
2
dV 2
E2
F
du
E
1
,
= E⋅
, clong =
I = ω⋅ c = ⋅ c ⋅ρ ⋅ vˆ 2 = 0 , longitudinal:
ρm0
A
dx
2
2Z
E′tot =
F
du
G
,
= G ⋅ , c trans =
ρm0
A
dx
Z = ρm0 ⋅ c trans = G ⋅ρm0
Michelson: dϕ = 2π
1
1
2
⋅ c ⋅ y ( t ) = ⋅ c ⋅ yˆ 2 ⋅ cos 2 ( ω0 ⋅ t + ϕ0 ) ,
2
2
1
1
1
2
E kin = ⋅ m ⋅ v ( t ) = ⋅ m ⋅ yˆ ⋅ ω02 ⋅ sin 2 ( ω0 ⋅ t + ϕ0 ) = ⋅ c ⋅ yˆ ⋅ sin 2 ( ω0 ⋅ t + ϕ0 ) ,
2
2
2
1
1
1
c = m ⋅ ω02 , E tot = ⋅ c ⋅ yˆ 2 = ⋅ m ⋅ ω02 ⋅ yˆ 2 = ⋅ m ⋅ vˆ 2
2
2
2
g
c
g
g
⎛
⎞
Pendel:
β + ⋅ sin ( β ) = 0 ⎜ ⇔ y + ⋅ y = 0 ⎟ , Approximation: β + ⋅β = 0 mit ω02 = Æ
l
l
m
l
⎝
⎠
(
)
Δlopt
ΔZ
ΔZ
n = 2π
= 2π
λn
λ0
λ0
Satz von Steiner: J P = JS + rP2 ⋅ m
2. Schwingungen und Wellen
2.1 Schwingung
1
Frequenz: f = , [ f ] = s −1 = Hz
T
Weg-Zeit-Gleichung: x ( t ) = A ⋅ cos ( ω⋅ t + ϕ ) = Re A ⋅ ei( ω⋅t +ϕ)
(
)
2⋅π
, vˆ = ω0 ⋅ yˆ , aˆ = ω02 ⋅ yˆ ,
T
λj
c
= j ⋅ f1 , Seillänge: L = j ⋅
f j = j⋅
2
2⋅L
f1
T1
Temperatur-Unterschied:
=
f2
T2
harmonische Schwingung: y ( t ) = yˆ ⋅ cos ( ω0 t ) , ω0 = 2 ⋅ π ⋅ f =
25 / 36
(
l
g
Æ T0 = 2π
, F = a ⋅ m ⇒ − m ⋅ g ⋅β = m ⋅ l ⋅β
l
g
)
2.2 Wellen
v2
, Fz = m ⋅ ω2 ⋅ r
R
Z = ρm0 ⋅ clong = E ⋅ρm0 , transversal:
Anhang – Physik I
Energie: E pot =
ω0 =
dm
dt
Zentripetalkraft: a z = −ω2 ⋅ R = −
Zusammenfassung Physik II
ω⎞
⎛ c
Ausbreitungsgeschwindigkeit: c = λ ⋅ f ⎜ = 0 = ⎟
⎝ n k⎠
2π
Wellenzahl: k =
λ
2π
Wellenzahl, – : Welle läuft nach
λ
rechts, + : Welle läuft nach links (negative x-Richtung)
Ortsbild zur Zeit t = t 0 : y ( x, t = t 0 ) = yˆ ⋅ cos ( k ⋅ x + ϕ1 ) , ϕ1 = ϕ0 + ω⋅ t 0
Wellengleichung: y ( x, t ) = yˆ ⋅ cos ( ω⋅ t ∓ k ⋅ x + ϕ0 ) , k =
3. Optik
Snellius: n1 ⋅ sin α1 = n 2 ⋅ sin α 2
n
Totalreflexion: sin α tot = 2
n1
c vac
Brechungsindex: n =
, (c = λ ⋅ f )
c
d 1
d
Gangunterschied: 1 + = # Wellenberg auf d1, 2 ⋅ n = # Wellenberg auf d2,
λ 2
λ
⎛ d1 1 ⎞ d 2
Δ = ⎜ + ⎟ − ⋅ n , konstruktive Interferenz: Δ = n ⋅ λ , ϕ = n ⋅ 2 ⋅ π ,
⎝ λ 2⎠ λ
λ
ϕ
(Gangunterschied Δ = ⋅ λ ), destruktive Interferenz: Δ = ( 2n + 1) ⋅ ,
2
2
ϕ = ( 2n + 1) π
Interferenz an dünnen Schichten (ev. Beugung am Keil): Δ = 2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 ε −
Einfallswinkel, konstruktiv: Δ = m ⋅ λ , destruktiv: Δ = ( 2 ⋅ m + 1) ⋅
λ
, ε:
2
λ
, Helligkeit:
2
1⎞
⎛
2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 ε = ⎜ m + ⎟ λ , Dunkelheit: 2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 ε = ( m + 1) λ , m = 0,1,...
2⎠
⎝
# Beugungsmaxima = m max + 1
26 / 36
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Physik I
Beugung am Keil: destruktiv: Δ = 2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 ε = m ⋅ λ , m = 1, 2,... ,
Keilwinkel,
dn 2
= ⋅ tan Φ , Φ :
dx λ
dn
: dunkle Streifen pro Meter
dx
1⎞
⎛
Radien der Kreise: hell: rm = ⎜ m + ⎟ ⋅ λ ⋅ R , dunkel: rm = m ⋅ λ ⋅ R
2⎠
⎝
λ b
Beugung am Spalt: d = x ⋅ sin α , Auslöschung: = ⋅ sin α , n ⋅ λ = b ⋅ sin α ,
2 2
⎞
2 ⎛ πb
sin ⎜ sin α ⎟
⎝ λ
⎠ , I: Intensität , 1. Minimum wo λ = b ⋅ sin α ,
I α = I0 ⋅
2
π
⎛ b
⎞
⎜ sin α ⎟
⎝ λ
⎠
λ
1⎞ λ
⎛
Minima: sin α m = ± m ⋅ , Maxima: ± ⎜ m + ⎟ ⋅ , m = 1, 2,...
2⎠ b
b
⎝
Frauenhofer’sche Beugung: Beugung am Spalt mit Lichtquelle und Beobachtungspunkt im
Unendlichen. (Alle Formeln wie oben.)
λ
Beugung am Doppelspalt: sin α m = m ⋅ , b: Spaltöffnung, Gangunterschied: Δ = d ⋅ sin Θ , d:
b
Spaltabstand, Θ : Winkel von der Mitte zwischen den Spalten gegenüber der
Δ
Mittelsenkrechten, Phasendifferenz: Φ = 2 ⋅ π ⋅ , Maxima: Φ = 2 ⋅ π ⋅ n , Minima:
λ
1⎞
⎛
Φ = 2⋅ π⋅⎜ n + ⎟
2⎠
⎝
λ
Fresnel-Bedingung: sin α ≥ 1.22 ⋅ (Auflösungsvermögen), b: Blendendurchmesser, α :
b
halber Öffnungswinkel
λ
Beugung an der Lochblende: 1. Minimum bei sin α1 = 1.22 ⋅
d
Beugung am Gitter: Gangunterschiede versch. Spaltenintensitäten Δ = g ⋅ sin α ,
⎛ 2π ⎞
Phasenunterschied ϕ = ⎜ ⎟ ⋅ g ⋅ sin α , Intensität bei Winkel α :
⎝ λ ⎠
⎞
⎛ π⋅g
⎞
2 ⎛ π⋅b
sin ⎜
⋅ sin α ⎟ sin 2 ⎜ p ⋅
⋅ sin α ⎟
λ
λ
⎝
⎠
⎝
⎠
I α = I0 ⋅
⋅
2
⎞
2
2 ⎛ π⋅g
⎛ π⋅b
⎞
p ⋅ sin ⎜
sin α ⎟
⋅ sin α ⎟
⎜
λ
⎝
⎠
⎝ λ
⎠
27 / 36
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Physik I
⎛ p⋅ϕ ⎞
sin ⎜
⎟
2 ⎠
, p: Anzahl Spalten, Intensität ≈ E 2 ,
Summation der Teilwellen E: E α = E ⋅ ⎝
⎛ϕ⎞
sin ⎜ ⎟
⎝2⎠
π⋅g
⎞
2⎛
⋅ sin α ⎟
sin ⎜ p ⋅
λ
⎝
⎠
Iα = I ⋅
⎞
2 ⎛ π⋅g
sin ⎜
sin α ⎟
⎝ λ
⎠
π⋅g
⎞
⎞
2 ⎛ π⋅b
2⎛
⋅ sin α ⎟ sin ⎜ p ⋅
⋅ sin α ⎟
sin ⎜
Iα
λ
λ
⎝
⎠
⎝
⎠
Totale Intensität:
=
⋅
2
I0
⎛ π⋅g
⎞
⎛ π⋅b
⎞
⋅ sin α ⎟
sin 2 ⎜
⋅
α
sin
⎜
⎟
λ
⎝
⎠
⎝ λ
⎠
Röntgenstrahlen an Kristallen: Gitterabstände vergleichbar zur Wellenlänge λ x
Gedrehtes Gitter: Licht trifft im Winkel β auf das Gitter: Gangunterschied:
Δ = g ( sin α − sin β ) , Maxima: g ⋅ sin ( α m − sin β ) = ± m ⋅ λ
Auflösungsvermögen des Gitters:
λ
= m⋅p
dλ
4. Weiteres
Physik
Volumen: V = ∫ d 3r
G
Masse:
m = ∫ ρ d 3r = ρ ⋅ ∫ d 3 r , für ρ konstant
G
G
b
b
1
1
1
m
Schwerpunkt: Sp = ∫ ( x, y, z ) ⋅ρ d 3 r , Sx = ⋅ ∫ x ⋅ dm = ⋅ ∫ x ⋅ ⋅ dx , …
mG
m a
m a A
b
Bogenlänge: v = γ , l = ∫ v dt = ∫ γ ( t ) dt
a
Trägheitsmoment:
I = ∫ d 2 ⋅ρ ⋅ dx dy dz mit d Abstand zur Rotationsachse
B
⎛x⎞
G ⋅ m1 ⋅ m 2 ⋅ P1 − P2
G ⋅ m1 ⋅ m 2
G⋅m ⎜ ⎟
, F=
= 3 1 ⋅ ⎜ y ⎟ ⋅ρ ⋅ V
2
3
r
r
r
⎜z⎟
⎝ ⎠
Integrationsgrenzen: 1. Skizze machen (ev. Schnitte versch. Ebenen)
2. geeignete Koordinaten wählen
3. konstante grenzen in einer Dimension finden (z.B. Radius, Höhe)
4. die anderen Grenzen in Abhängigkeit der gefundenen ausdrücken
Gravitation: F =
(
28 / 36
)
Zusammenfassung Physik II
Bsp:
B :=
{( x, y, z ) ∈
⎧
⎪
⎪
= ⎨( x, y, z ) ∈
⎪
⎪⎩
3
3
Anhang – Physik I
}
x 2 + y2 ≤ R 2 , 0 ≤ x + y + z ≤ 1
⎫
x ∈ [ −R, R ]
⎪
2
2
2
2 ⎤⎪
⎡
y∈ − R − x , R − x ⎬
⎣
⎦
⎪
z ∈ [ − x − y,1 − x − y ] ⎪⎭
⇒ ∫ f ( x, y, z ) dμ ( x, y, z ) =
B
R
R 2 − x 2 1− x − y
∫ f ( x, y, z ) dz dy dx
∫ ∫
−R − R2 −x2 − x −y
Geometrie für Arme
Gegenkathete
Ankathete
sin ϕ Gegenkathete
, cos ϕ =
, tan ϕ =
=
,
sin ϕ =
Hypothenuse
Hypothenuse
cos ϕ
Ankathete
cos ϕ
Ankathete
cot ϕ =
=
sin ϕ Gegenkathete
Sinussatz:
a
b
c
=
=
, Cosinussatz:
sin α sin β sin γ
ϕ
sin(ϕ)
cos(ϕ)
0 (0°)
π
(30°)
6
π
(45°)
4
π
(60°)
3
π
(90°)
2
Identitäten:
0
1
2
1
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
tan(ϕ) =
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
sin(ϕ)
cos(ϕ)
0
3
3
3 tan α − tan 3 α
1 − 3 tan 2 α
α
1
α
1
α
1 − cos α
sin α
⎛α⎞
sin ⎜ ⎟ =
=
(1 − cos α ) , cos ⎜⎛ ⎟⎞ = (1 + cos α ) , tan ⎛⎜ ⎞⎟ =
2
2
2
2
2
sin
1
cos α
2
α
+
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ α +β ⎞
⎛ α −β ⎞
⎛ α +β ⎞ ⎛ α −β ⎞
Summen: sin α + sin β = 2sin ⎜
⎟ cos ⎜
⎟ , sin α − sin β = 2 cos ⎜
⎟ sin ⎜
⎟,
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ α +β ⎞
⎛ α −β ⎞
⎛ α +β ⎞ ⎛ α −β ⎞
cos α + cos β = 2 cos ⎜
⎟ cos ⎜
⎟ , cos α − cos β = −2sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟,
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
sin ( α ± β )
tan α ± tan β =
cos α cos β
1
1
Produkte: sin α sin β = ( − cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ) , sin α cos β = ( sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ) ,
2
2
1
1
cos α cos β = ( cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ) , cos α sin β = ( sin ( α + β ) − sin ( α − β ) )
2
2
1
1
2
3
Potenzen: sin α = (1 − cos ( 2α ) ) , sin α = ( 3sin α − sin ( 3α ) ) ,
2
4
1
1
sin 4 α = ( cos ( 4α ) − 4 cos ( 2α ) + 3) , cos 2 α = (1 + cos ( 2α ) ) ,
8
2
1
1
3
4
cos α = ( 3cos α + cos ( 3α ) ) , cos α = ( cos ( 4α ) + 4 cos ( 2α ) + 3)
4
8
e i⋅ z + e − i⋅ z
e i ⋅z − e − i ⋅z
, sin ( z ) =
Komplexe Definition: cos ( z ) =
2
2i
1 x −x
1 x −x
hyperbolische: cosh ( x ) = e + e , sinh ( x ) = e − e
2
2
sinh ( x )
cosh ( x )
, coth ( x ) =
tanh ( x ) =
cosh ( x )
sinh ( x )
3⋅ α
sin ( 3α ) = 3sin α − 4sin 3 α , cos ( 3α ) = 4 cos3 α − 3cos α , tan ( 3α ) =
Inverse:
3
undef. ( ∞ )
1
1
, 1 + cot 2 α =
Grundlegende: sin α + cos α = 1 , 1 + tan α =
cos 2 α
sin 2 α
α ± β : sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β , cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β ,
2
Anhang – Physik I
(
1
0
2
Zusammenfassung Physik II
(
)
(
)
(
)
ar sinh ( x ) = ln x + x 2 + 1 , ar cosh ( x ) = ln x + x 2 − 1 ,
ar tanh ( x ) =
1 ⎛ 1+ x ⎞
1 ⎛ x +1⎞
ln ⎜
⎟ , ar coth ( x ) = ln ⎜
⎟
2 ⎝ 1− x ⎠
2 ⎝ x −1 ⎠
Identitäten: Grundlegende:
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
2
tan α ± tan β
cot α cot β ∓ 1
, cot ( α ± β ) =
1 ∓ tan α tan β
cot α ± cot β
2 tan α
,
2 ⋅ α : sin ( 2α ) = 2sin α cos α =
1 + tan 2 α
1 − tan 2 α
cos ( 2α ) = cos 2 α − sin 2 α =
= 1 − 2sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 ,
1 + tan 2 α
2 tan α
cot 2 α − 1
, cot ( 2α ) =
tan ( 2α ) =
2
1 − tan α
2 cot α
tan ( α ± β ) =
29 / 36
)
30 / 36
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Physik I
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Physik I
⎛ a ⋅ t2 ⎞
⎛ a⋅t ⎞
Kartesisches Blatt: x 3 + y3 = a ⋅ x ⋅ y Æ x ( t ) = ⎜
, y(t) = ⎜
3 ⎟
3 ⎟
⎝ 1+ t ⎠
⎝ 1+ t ⎠
b
Fläche: ∫ dμ ( x, y ) = ∫ x ⋅ dy = ∫ x ( t ) ⋅ y′ ( t ) dt
∂F
F
a
Zykloide: x ( t ) = r ⋅ t − r sin ( t ) , y ( t ) = r ⋅ t − r cos ( t )
ebene Körper: (U: Umfang, A: Fläche)
3
2
1
⎛π⎞
reguläres n-Eck: U = n ⋅ a , A = n ⋅ a 2 ⋅ cot ⎜ ⎟
4
⎝n⎠
Kreis: U = 2πr , A = πr 2
1
Kreissektor: U = 2r + rϕ , A = r 2 ϕ
2
1
⎛ϕ⎞
Kreissegment: U = rϕ + 2r sin ⎜ ⎟ , A = r 2 ( ϕ − sin ( ϕ ) )
2
2
⎝ ⎠
räumliche Körper: (A: Oberfläche, V: Volumen)
Würfel: A = 6a 2 , V = a 3
Quader: A = 2 ⋅ ( ab + bc + ac ) , V = abc
Gleichseitiges Dreieck: U = 3 ⋅ a , A = a ⋅
Wichtiges
−b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
2⋅a
n
⎛ n ⎞ n − k k ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
= ∑⎜ ⎟a b , ⎜ ⎟ = ⎜
⎟, ⎜ ⎟+⎜
⎟=⎜
⎟
k =0 ⎝ k ⎠
⎝ k ⎠ ⎝ n − k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k + 1 ⎠
a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 ⇒ x1,2 =
(a + b)
n
⎧ x = u + r cos ϕ
2
2
Kreisgleichung: ( x − u ) + ( y − v ) = r 2 ⎨
, Mittelpunkt (u,v)
⎩ y = v + r sin ϕ
⎧ x = a cos t
x 2 y2
Ellipsengleichung:
+
=1 ⎨
a
b
⎩ y = b sin t
Polynomdivision: p1 (x) = ( x − 1) ( x + 3) = x 3 + x 2 − 5x + 3 ,
2
p 2 (x) = ( x − 1)( x + 3) = x 2 + 2x − 3π
p1 (x)
= (x 3 + x 2 − 5x + 3) : (x 2 + 2x − 3) = x − 1
p 2 (x)
⎛a b c⎞
⎜
⎟
LinAlg: det ⎜ d e f ⎟ = aei + bfg + cdh − gec − hfa − idb
⎜g h i ⎟
⎝
⎠
⎛a⎞
Logarithmen: log (1) = 0 , ln ( a ⋅ b ) = ln ( a ) + ln ( b ) , ln ⎜ ⎟ = ln ( a ) − ln ( b ) ,
⎝b⎠
1
k
n
ln a = k ⋅ ln ( a ) , ln a = ⋅ ln ( a )
n
ln ( b )
log a ( b ) =
, log a ( a ) = 1 , log a a x = x , a loga ( x ) = x
ln ( a )
( )
( )
( )
n
⎛ 1⎞
e = lim ⎜ 1 + ⎟ = 2.718281828
n →∞
⎝ n⎠
Zahlenwerte: π = 3.14159265 , 2 = 1.414213562
Beschränktheit: Gebiet beschränkt Æ nicht bis ∞
31 / 36
1
Pyramide: V = A ⋅ h
3
2 3
a
12
Gerader Kreiszylinder: A = 2πr ⋅ ( r + h ) , V = πr 2 h
Reguläres Tetraeder: A = a 2 3 , V =
)
(
1
Gerader Kreiskegel: A = πr r + r 2 + h 2 , V = πr 2 h
3
4 3
2
Kugel: A = 4πr , V = πr
3
Aus der Analysis
b
Linienintegral:
∫ Kdx = ∫ K ( x ( t ) )i x ( t ) dt
γ
(Arbeitsintegral)
a
Oberflächenintegrale:
∫∫ ϕ ( x ) dx := ∫∫ ϕ ( f ( u, v ) ) ⋅ f u ( u 0 , v0 ) × f v ( u 0 , v0 ) dudv , Skalarfeld
f (D)
∫∫ V ( x ) dx := ∫∫ V ( f ( u, v ) ) ⋅ ( f ( u , v ) × f ( u , v ) ) dudv , Vektorfeld
u
f (D)
0
0
v
0
0
⎛ δf ( x 0 )
δf ( x 0 ) ⎞
,...,
Gradient: grad ( f ) = ∇f ( x 0 ) = ⎜
⎟
δ
x
δx n ⎠
1
⎝
∇f ( x 0 ) zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs von f in x 0
1
L→0 L
e ⋅∇ϕ = lim
r + L ⋅e
∫
ϕ dl , e der Einheitsvektor in Richtung von L
r
32 / 36
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Physik I
1
V ⋅ dF
v → 0 v ∫∫
∂v
Divergenz: div v := Px + Q y + R z bei v = ( P, Q, R ) , div V = lim
Rotation: e ⋅ rot V = lim
F→∞ 0
∫ V ⋅ d l , e normaler Einheitsvektor auf Fläche F
∂F
⎛ δK δK 2 δK1 δK 3 δK 2 δK1 ⎞
−
−
rot K = ⎜ 3 −
,
,
⎟ (zyklische Vertauschung)
⎝ δx 2 δx 3 δx 3 δx1 δx1 δx 2 ⎠
⎛ δ δ δ ⎞
rot K := ( R y − Q z , Pz − R x , Q x − Py ) = " ⎜ , , ⎟ × ( P, Q, R ) "
⎝ δx δy δz ⎠
Laplace-Operator: Δu := div ( ∇u ) = u xx + u yy + u zz in
3
δ2 u
δ2 u
Δu := 2 + ... + 2 in n , ΔV := div V − rot rot V
δx1
δx n
Rechenregeln für die Operatoren: V,W Vektorfelder, ϕ , ϑ Skalarfelder, c Konstante, c
konstanter Vektor
Gradient: ∇c = 0 , ∇ ( c ⋅ ϕ ) = c ⋅∇ϕ , ∇ ( ϕ + ϑ ) = ∇ϕ + ∇ϑ , ∇ ( ϕ⋅ ϑ ) = ϕ ⋅∇ϑ + ϑ⋅∇ϕ
Divergenz: div c , div ( ϕ⋅ V ) = V ⋅∇ϕ + ϕ⋅ div V , div ( c ⋅ V ) = c ⋅ div V ,
div ( V + W ) = div V + div W , div ( V × W ) = W ⋅ rot V − V ⋅ rot W
Rotation: rot c = 0 , rot ( ϕ⋅ V ) = ( ∇ϕ ) × V + ϕ⋅ rot V , rot ( c ⋅ V ) = c ⋅ rot V ,
rot ( V + W ) = rot V + rot W
Kombinationen:
rot ( ∇ϕ ) = 0 , div ( rot V ) = 0
Anhang
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Konstanten
Elementarladung
e = 1.602 ⋅10−19 C
Atommasse
u = 1.66 ⋅10−27 kg = 931
Lichtgeschwindigkeit
c = 2.9979 ⋅108
MeV
kg
m
s
Elektronenmasse
2 π5 k 4
W
= 5.670 ⋅10−8 2 4
15h 3c 2
mK
h
h = 6.626 ⋅10−34 Js , =
= 1.05457 ⋅10−34 Js
2π
λ max ⋅ T = 2898 ⋅μm ⋅ K
1
1Å=10-10 m = nm
10
4
R H = = 109677,5810cm −1 ,
G
m0e4
= 109737cm −1
R∞ =
8 ⋅ ε 2 h 3c
m e,0 = 9.109 ⋅10−31 kg
Protonenmasse
m p = 1.6726 ⋅10−27 kg
Neutronenmasse
m n = 1.6749 ⋅10−27 kg
1
As
ε0 =
= 8.854 ⋅10−12
Vm
μ0c2
Stefan-Boltzmann-Konstante
Plancksches Wirkungsquantum
Wiensches Verschiebungsgesetz
Angström
Rydberg-Konstante
Elektrische Feldkonstante
σ=
Magnetische Feldkonstante
μ 0 = 4π ⋅10−7 VsA −1m −1
Gravitationskonstante
G = 6.673 ⋅10−11 Nm 2 kg −2
Fallbeschleunigung
g = 9.80665ms −2
Faraday-Konstante
Solarkonstante
F = 96485.34Cmol−1
E 0 = S = 1.380 ⋅103 Wm −2
Umrechnungen
MeV
kg
Konstanten
Normdruck
p n = 101325Nm −2 ( = Pa )
Unit
1u = 1.66 ⋅10−27 kg = 931
Normtemperatur
Tn = 273.15K
Trippelpunkt des Wassers
TTr = 273.16K
Molares Volumen eines idealen Gases
Vmn = 22.413996 ⋅10−3 m3 mol−1
1
γ = 0.003661K −1 =
273.15K
ϑ0 = −273.15°C
J
R m = 8.3145
mol ⋅ K
N A = 6.02 ⋅1023 mol−1
R
J
k B = m = 1.38065 ⋅10−23
NA
K
Liter
Druck
Energie
1l = 10−3 m3
1bar = 105 Pa = 105 Nm −2 , 1atm = 101325Pa
1ev = 1.602 ⋅10−19 J , 1cal = 4.1868J , 1kWh = 3.6 ⋅106 J
Raumausdehnungskoeffizient idealer Gase
Absoluter Nullpunkt
universelle Gaskonstante
Avogadrozahl
Bolzmannkonstante
33 / 36
Periodensystem
I
II
III
IV
V
VI
VII
1H
3 Li
4 Be
5B
11 Na 12 Mg
VIII
2 He
6C
13 Al 14 Si
7N
8O
15 P
16 S 17 Cl 18 Ar
9F
10 Ne
19 K 20 Ca 21 Sc 22 Ti 23 V 24 Cr 25 Mn 26 Fe 27 Co 28 Ni 29 Cu 30 Zn 31 Ga 32 Ge 33 As 34 Se 35 Br 36 Kr
37 Rb 38 Sr 39 Y 40 Zr 41 Nb 42 Mo 43 Tc 44 Ru 45 Rh 46 Pd 47 Ag 48 Cd 49 In 50 Sn 51 Sb 52 Te
53 I 54 Xe
55 Cs 56 Ba 57 La 72 Hf 73 Ta 74 W 75 Re 76 Os 77 Ir 78 Pt 79 Au 80 Hg 81 Tl 82 Pb 83 Bi 84 Po 85 At 86 Rn
105
87 Fr 88 Ra 89 Ac 104
34 / 36
Zusammenfassung Physik II
Anhang – Index
Index
0. Hauptsatz der
Thermodynamik 1
1. Hauptsatz der TD 3
1. Hauptsatz der
Thermodynamik 1
2. Hauptsatz der
Thermodynamik 7
3. Hauptsatz der
Thermodynamik 7
abgegeben Elektronen 16
abgeschlossenes System 3
absolute Nullpunkt 7
Absolute Temperatur 1
Absoluter Nullpunkt 33
Absorption 9
Abstand zur
Rotationsachse 28
Abwärme 7
actio 23
Adiabatisch 5
Aktionsgesetz 23
Akzeptoren 20
Allg. Lös. der zeitunabh.
Schrödinger-Gl. 13
Angström 34
Anhang 33
anti-bindender Zustand 17
Arbeit 23, 24
Arbeitsintegral 32
Atom 8
Atombau 15
Atomdichte 8
Atomgrösse 8
Atommasse 8, 34
Atommodell 11
Aufenthaltswahrscheinlich
keit 12, 16
Auflösungsvermögen 27
Auflösungsvermögen des
Gitters 28
Auftrieb 1
Ausbreitungsgeschwindigk
eit 26
Ausdehnung 1
Auslöschung 11, 27
Austrittsarbeit 9
Avogadrozahl 2, 33
Bahndrehimpuls 15
Bahn-Drehimpuls 11
Bahnmagnetismus 22
Balmer 11
Bandstruktur 17
Barometrische
Höhenformel 3
Beobachtungspunkt 27
Beschleunigung 22, 23
Beschränktheit 31
Besetzungsdichten 20
Besetzungszahlen 3
Besetzungszahlen der
Energieniveaus 9
Beugung 8, 10
Beugung am Doppelspalt
27
Beugung am Gitter 27
Beugung am Keil 26
Beugung am Spalt 11, 27
Beugung an der
Lochblende 27
Beugungsmaxima 26
Beweglichkeit 18, 20
Bewegungsgleichung 12
bindender Zustand 17
Binnendruck 7
Blendendurchmesser 27
Bloch-Funktion 17
Blochsches Theorem 17
Bogenlänge 28
Bohrsche Postulate 11
Bohrscher Radius 12
Bohrsches Atommodell
11
Bohrsches Magneton 21
Bolzmann 2, 7, 9
Bolzmannkonstante 2, 33
BolzmannVerteilungsfunktion
17
Born 10
Boyle-Mariotte 2
Bracket 11
Braggsche
Refelxionsbedingung
17
Brechungsindex 26
Brillouin-Zone 18
Broglie-Wellenlänge 10
Carnot-Prozess 5
Clausius 7
Compton-Effekt 10
Compton-Streuung 10
Compton-Wellenlänge 10
Cosinussatz 29
Coulomkraft 11
De Broglie 12
de-Broglie 10
Defektelektronen 19
delokalisierte Elektronen
17
destruktive Interferenz 26
Diesel-Prozess 6
Diffundieren 21
Diffusion (Strom) 21
Diffusionsspannung 21
Dipolmoment 21
direkt 19
diskret 13
diskrete Bahnen 12
Dispersionsrelation 17
Divergenz 33
Donatoren 20
Doppelspalt 27
Dotierung 19, 20
Drehbewegung 24
Drehimpuls 16, 24
Drehimpulserhaltung 24
Drehimpulsoperator 12
Drehmoment 24
Dreieck 32
Drift (Strom) 21
Driftgeschwindigkeit 18
Druck 1, 24, 34
Druck im Raum 2
Drude-Gleichung 18
Drude-Modell 18
Dualismus 10
Dualismus Teilchen –
Welle 10
Dulong-Petit-Gesetz 3
Dunkelheit 26
Dunkler Ring 11
dünner Stab 24
Durchschnittliche
Geschwindigkeit 3
Dynamik 24
ebene Körper 32
effektive Masse 18
Effektive Massen 19
Effektive Zustandsdichte
20
Eigenvolumen 7
Eigenvolumen der Atome
2
Eigenwert 13
Eigenwertbedingung 13,
14
Eigenwertfunktion 13
eindimensional 2
einfallende Welle 13
Einführung 1
Einstein-Gleichung 9
elastische Stösse 2
Elastischer Stoss 24
Elektrische Feldkonstante
34
Elektrisches Feld 18
Elektro-Magnetsiche Welle
8
Elektronen im Würfel 16
Elektronen in Metallen
16
Elektronen pro
Wegelement 12
Elektronen-Bewegung in
Bändern 18
Elektronen-Gase 16
Elektronenmasse 34
Elektronenspender 20
Elektronenspins 16
Elektronen-Tansport 18
Elementarladung 34
Ellipsengleichung 31
Emission 9
endliche
Temperaturänderung 4
Energie 2, 5, 26, 34
Energie des Photoelektrons
9
Energie pro Freiheitsgrad
3
Energie von Photonen 10
Energie, H-Atom 15
Energie, Licht 8
Energieaufwand 21
Energiebänder 18
Energiedichte 9
Energieerhaltung 10, 24
Energieniveaus 3
Energieoperator 12
Entropie 5
Entropie S 7
Erdrotation 25
Ericsson-Prozess 6
Erwartungswert 13
Extensive Grössen 1
Fallbeschleunigung 34
Faraday-Konstante 34
fast freie Elektronen 17
Feder 23
Federkraft 23
Fermi-Dirac-Verteilung
17
Fermi-Energie 16
Fermi-Fläche 18
Fermikugel Radius 16
Fermi-Niveau 16
Fermi-Temperatur 17
Festkörper 1
Festkörperphysik 16
Flächenelement 20
Flussdichte 21
Flüssigkeiten 1
Flussquant 21
Frauenhofer’sche Beugung
27
freie Bänder 18
freie Elektronen 17
Freie Elektronen-Gase 16
freier Fall 22
freies Elektron 18
freies Teilchen 12
35 / 36
Freies Teilchen, k 13
Freiheitsgrad 3
Freiheitsgrade 4
Frequenz 25
Frequenz d. Spektrallinie
11
Fresnel-Bedingung 27
Frischluft 6
GaAs 19
Gangunterschied 26
Gangunterschiede 27
Gase 1
Gaskonstante 2
Gay-Lussac 1
Ge 19
Gedrehtes Gitter 28
generalisierte Koordinaten
12
generalisierter Impuls 12
Geometrie für Arme 29
Gerader Kreiskegel 32
Gerader Kreiszylinder 32
gesamt 4
Gesamtdichte
Valenzelektronen 18
Gesamtenergie 11
Gesamtenergie (Hamilton)
12
Geschwindigkeit 22
Geschwindigkeit, Licht 8
gestreute Teilchen 8
Gewichtung 3
Gitter 27
Gitterabstände 28
Gitterkonstante 10
Gleichförmige
Kreisbewegung 23
Gleichgewicht 1
Gleichseitiges Dreieck 32
Gleichverteilungssatz 3
Gradient 32
Gravitation 28
Gravitationskonstante 34
Grenzfrequenz 9
Grundgleichung der
kinetischen Gastheorie
2
Gruppengeschw. des
Wellenpakets 18
gyromagnetisches
Verhältnis 22
Halbleiter 19
Hall-Effekt 18
Hamilton, Lösungen 14
Hamiltonfunktion 12
Hamiltonoperator 12
Hamilton-Operator 12
Hangabtrieb 23
harmonische Schwingung
25
Harmonischer Oszillator
14
Hauptquantenzahl 15
Hauptsätze der
Thermodynamik 3
Heisenbergsche
Unschärferelation 10
Helligkeit 26
Höhenformel 3
Hohlraumstrahlung 8
Hohlzylinder 24
Hubarbeit 23, 24
hyperbolische 30
Ideale Gase 2
Ideale Gasgleichung 2
Ideales Gas 4
Identitäten 29, 30
Impuls 8, 10, 23
Impuls, generalisiert 12
Impulserhaltung 10
Impulserhaltungssatz 23
Impulses 23
Impulsoperator 12
Impulsunschärfe 14
indirekt 19
individuelle Gaskonstante
2, 4
Innere Energie 4, 17
InSb 19
Integrationsgrenzen 28
Intensität 9, 11, 27
Intensitätsverteilung 12
Intensive Grössen 1
Interferenz 8
Interferenz an dünnen
Schichten 26
intrinsisch 20
intrinsische HL 20
Inverse 30
Ionisationsenergie 12
Ionische Bindung 17
Irreversibel 7
isentrop 5
Isentrope 6
Isentropenexponent 4
isobar 3
Isobar 5
isobare Wärmekapazitäten
3
Isochor 4
isochore
Wärmekapazitäten 3
Isotherm 4
Joule-Prozess 6
kalorimetrische 1
kalorimetrische
Zustandsgrössen 1
Kältemaschine 6
Kartesisches Blatt 32
Kastenpotential 13
Keilwinkel 27
Kernladung 11
Kernmagnetismus 22
kin. Energie 14
Kinematik 22
kinentischer
Energieoperator 12
Kinetische Energie 25
Kinetische Gastheorie 2
klassisch 10
klassische Amplitude 14
Komplexe Definition 30
Kompression 4
konservativ 24
konstante Beschleunigung
22
konstante Geschwindigkeit
22
konstante
Winkelgeschwindigkeit
23
Konstanten 33
konstruktive Interferenz
26
kontinuierlich 13
Körper 32
Kovalente Bindung 17
Kovolumen 8
Kraft 23
Kraftfelder 24
Kraftstoff 6
Kreis 32
Kreisbewegung 23
Kreisendes Elektron 21
Zusammenfassung Physik II
Kreisgleichung 31
Kreiskegel 32
Kreisprozesse 5
Kreisprozesse, Entropie
5
Kreissegment 32
Kreissektor 32
Kreiszylinder 32
Kristallen 28
kritisch 8
kritische magnetisch
Flussdichte 21
Kugel 25, 32
k-Verschiebung 19
Ladungsträger-Dichte 20
Ladungsträgerdichten 20
Ladungstransport 17
Lage d. Fermienergie 20
Lagrange-Funktion 12
Länge der Kreisbahn 12
Längenelement 20
Laplace-Operator 12, 33
Leifähigkeit 18
Leistung 24, 25
Leistungszahl 6
Leitfähigkeit 16, 19
Leitung 18
Leitungsband 19
Licht, Halbleiter 19
Licht-Eigenschaftgen 8
Lichtgeschwindigkeit 8,
34
Lichtquelle 27
LinAlg 31
Linienintegral 32
linksläufig 5, 14
Liter 34
Lochblende 11, 27
Löcher 19
Logarithmen 31
Lokalisierung in Barriere
14
longitudinal 25
Lorenzkraft 18
Lösungen von Hamilton
14
Lyman 11
magnetisch Flussdichte 21
Magnetische Feldkonstante
34
Magnetische Quantenzahl
16
Magnetische Quantenzahl
des Elektronenspins 16
magnetisches
Dipolmoment 21
Magnetismus 21
Magneton 21
Majoritätsladungsträger
21
makroskopischer
Wirkungsgrad 8
Masse 28
Massendichte 7
Massenmittelpunkt 23
Massenpunkten 23
Massenträgheitsmoment
15, 24
Massenträgheitsmomente
von Körpern 24
Materialwellen 14
Materiewelle 10
maximale Dichte 1
maximale Geschwindigkeit
16
Maxwell’sche
Verteilungsfunktion 3
Mechanik 22
Mechanik starrer Körper
24
Mehratomig 4
Menge der Eigenwerte 13
Messbare Zustandsgrössen
1
Metalle 16
Metallische Bindung 17
Michelson 25
Minoritätsladungsträger
21
Mittelpunkt 31
Mittlere Geschwindigkeit
2
Mittlere Kraft 2
Mittlerer Druck 2
mittleres
Geschwindigkeitsquadr
at 2
molare Wärmekapazität 3
Molares Volumen eines
idealen Gases 33
Molekulare
Wellenfunktion 17
Molmasse 2
Molvolumen 2, 7
Nebenmaxima 11
n-Eck 32
Neutronenmasse 34
Newton-Axiome 23
Normalkomponenten 23
Normdruck 33
Normierung 3
Normtemperatur 33
Nutzarbeit 6
Oberflächenintegrale 32
Öffnungswinkel 27
Operatoren 12
Optik 26
Orthogonalität 14
Ortsbild 26
Ortsmessung 13
Ortsoperator 12
Ortsunschärfe 14
Oszillation 4
Otto-Prozess 6
Paschen 11
Pendel 26
Periodensystem 34
periodisches Potential 17
Perpetuum mobile 1. Art 3
Perpetuum mobile zweiter
Art 7
Pfund 11
Phasendifferenz 27
Phasenunterschied 27
Phasenverschiebung 13
Photoeffekt 8
Photonen 8
Photonen-Masse 10
Physik 28
Physik I 22
Plancksches
Wirkungsquantum 34
Plank’sche
Strahlungsgleichung 9
p-n-Übergang 20
Polynomdivision 31
Polytrop 5
Potentialbarriere 13
Potentialschwelle 13
Potentialtopf 13
Potentielle Energie V 12
Präzession 25
Proportionalitätskonst 11
Protonenmasse 34
Anhang – Index
Prozesse 7
Punktförmig 4
Pyramide 32
Quader 24, 32
Quantelung 12
Quantenphysik 8
Quantentheorie 10
Quantenzahlen 15
Quantenzustand 11
Radialanteil d. Wellenfkt.
15
Radien der Kreise 27
Radius 12
Radius, Fermikugel 16
Raumausdehnungskoeffizi
ent idealer Gase 33
räumliche Körper 32
Rayleigh und Jeans 9
Rayleigh-Jeans 9
reactio 23
realer Gase 7
Realgasfaktor 7
Realität 20
rechtsläufig 5
Refelxionsbedingung 17
reflektierte Welle 13
Reflexion 9
Reflexionskoeffizient 14
reguläres n-Eck 32
Reguläres Tetraeder 32
Reibung 23
Relaxationszeit 18
Reversibel 7
Röntgenbeugung 8
Rotation 4, 15, 23, 33
Rotationsachse 28
Rotations-SchwingungsSpektrum 15
Rückstreuung 10
Ruhemasse 8
Rydberg-Konstante 11, 34
Satz von Steiner 25
schiefer, zentraler Stoss 24
Schrödiner-Gleichung 12
Schrödinger-Gleichung
12, 15, 16
Schubkraft 25
Schwarzer Strahler 9
Schwerpunkt 28
Schwingende Hantel 4
Schwingung 25
Seilinger-Prozess 6
Seillänge 25
Seilwelle 25
Si 19
Sinussatz 29
Snellius 26
Solarkonstante 34
Spaltabstand 27
Spaltenintensitäten 27
Spaltöffnung 27
Spektrale Energiedichte 9
Spektrale
Strahlungsflussdichte
9
Spektroskopie 11
Spektrum des Operators
13
Spezielle
Zustandsänderungen 4
spezifische
Wärmekapazität 3
Spin 16
Spinmagnetismus 22
Starre Hantel 4
Statistische Deutung 7
Stefan-Boltzmann 9
36 / 36
Stefan-BoltzmannKonstante 34
Steiner 25
Stickstoff 2
Stirling-Prozess 6
Stoffmenge 2
Störstellen 20
Stösse 2, 24
Stossfläche 8
Stosswahrscheinlichkeit 8
Strahler 9
Strahlungsflussdichte 9
Streuereignisse 18
Strom 21
Stromdichte 18
Ströme 21
Ströme in Bändern 19
Supraleitung 21
Tangentialkomponenten
23
Technische Kreisprozesse
6
Teilchen im Würfel 2
Teilchenbild 12
Teilchencharakter 10
Teilchendichte n 20
Teilchen-WellenDualismus 10
Teilchenzahl N 2
Teilchenzahldichte 3
Teilweise gefüllte Bänder
19
Temperatur 6
Temperaturänderung 4
Temperaturstrahlung 9
Temperatur-Unterschied
25
Tetraeder 32
Thermische Ausdehnung 1
Thermischer Wirkungsgrad
6
Thermodynamik 1
Thermodynamische
Temperatur 6
Thompson 7
Totale Intensität 28
Totalreflexion 26
Trägheitsgesetz 23
Trägheitsmoment 28
Trägheitsmomente 24
Translation 4
Transmissionskoeffizient
14
transmittierte Welle 13
transversal 25
Trippelpunkt des Wassers
1, 33
Tunneleffekt 13
Überlagerung 18
Überlapp von Orbitalen 17
Übertrag von Wärme 3
Ultraviolet-Katastrophe 9
Umrechnungen 34
Unelastischer Stoss 24
Unit 34
universelle Gaskonstante
2, 33
Unschärferelation 10, 14
Valenzband 19
Van-der-Waals 7
Verbrennung 6
Verbrennungsmotor 5
Verformung 23
Verhältnis zw. ein- und
auslaufender Welle 14
Verschiebung 19
Verschiebung der
Wellenlänge 10
Verteilungsfunktion 3
Viele Energieniveaus 3
Volumen 28
Volumenänderungsarbeit
5
Wahrscheinlichkeit 3, 13,
17
Wahrscheinlichkeit 7
Wahrscheinlichkeit eines
Teilchens 10
Wahrscheinlichkeiten 9,
12
Wahrscheinlichkeitsverhält
nis 7
Wahrscheinlichste
Geschwindigkeit 3
Wärme 3
Wärmekapazität 17
Wärmekapazität C 3
Wärmekapazitäten 4
Wärmepumpe 6
Wärmesenke 7
Wärmestrahlung 9
Wärmezufuhr 3
Wasser 1
Wasserstoffatom 15
Wasserstoff-Atom 11
Weg-Zeit-Gleichung 25
Welle 8
Wellen 26
Wellenberg 26
Wellencharakter 10
Wellenfunktion 10
Wellengleichung 26
Wellenpaket 18
Wellenzahl 26
Wellenzahl d. Spektrallinie
11
Wellenzahlenvektor 16
Wichtiges 31
Wiensches
Verschiebungsgesetz
9, 34
Winkelgeschwindigkeit
23, 24
wirbelfrei 24
Wirkungsgrad 6
Wirkungsquerschnitt 8
Würfel 2, 32
Zahlenwerte 31
Zeeman- und Stark-Effekt
22
Zeitabhängige
Schrödingergleichung
12
Zeitunabhängige
Schrödingergleichung
12
Zentrifugalkraft 11
Zentripetalbeschleunigung
23
Zentripetalkraft 25
Zündung 6
Zustandsänderung 4
Zustandsänderungen
realer Gase 7
Zustandsdichte 16, 18
Zustandsgrössen 1
zwischenatomare Kräfte 2
zyklische Vertauschung
33
Zykloide 32
Zylinder 6, 24