Klasse 7

Klasse 7
Kapitel 1: Proportionale Funktionen und Anwendungen
1. Das Gesamtkonzept
Grundlage der Dreisatz- und Prozentrechnung bilden die Kenntnis und der sichere Umgang mit proportionalen
und antiproportionalen Funktionen. Dadurch wiederum liegt es nahe, sich ein wenig allgemeiner mit dem
Funktionsbegriff und vor allem mit dem Umgang mit Funktionen auseinander zu setzen.
Die Prozentrechnung legt es nahe, auch Prozesse mit schrittweise konstanter Wachstumsrate zu thematisieren
und dadurch einen ersten Schritt in die Richtung exponentieller Wachstumsprozesse zu tun.
2. Funktionen
Im Vordergrund steht bei allen Übungen der Umgang mit Funktionsvorschriften in konkreten
Anwendungssituationen. Der Funktionsbegriff wird zwar auch erarbeitet (Abschnitt 1.1.3), ist aber insofern
sogar verzichtbar, als nur mit konkreten Funktionen gearbeitet wird. Erst die Formulierung von Lehrsätzen über
Funktionen oder Funktionenklassen machen eine Begriffsdefinition unverzichtbar.
Systematisch wird in den zahlreichen Anwendungssituationen mit der üblichen Funktionsschreibweise
gearbeitet, zumal sich diese zwanglos aus dem natürlichen Sprachgebrauch ergibt: W(t) = Weg zur Zeit t;
T(t) Temperatur zur Zeit t, P(x) Preis von x kg... usw.
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Abschnitt 1.1 Übung 1
Abschnitt 1.1 Übung 2
Die Klasse der konkret betrachteten Funktionen geht in Abschnitt 1.1 über die proportionalen Funktionen
hinaus. Um eine zu enge Vorstellung vom Funktionsbegriff zu vermeiden und zugleich Realsituationen zu
berücksichtigen, werden in Abschnitt 1.1.4, Übung 6 auch abschnittweise definierte Funktionen betrachtet.
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Abschnitt 1.1 Übung 6
Darüber hinaus leisten die Übungen 7, 8 und 9 einen wichtigen Beitrag zum funktionalen Denken. Es geht in
den Übungen darum, einen zeitlichen Wachstumsprozess in einen Graphen zu übertragen und umgekehrt.
Im Grunde wird hier propädeutisch und qualitativ in das Verständnis von Zusammenhängen eingeführt, die
später in der Differenzialrechnung von entscheidender Bedeutung sind.
Gleichungen lösen steht in einem engen Zusammenhang zu Funktionsuntersuchungen. Man wird wohl sagen
dürfen, dass jede Anwendungsaufgabe zu Gleichungen einen natürlichen funktionalen Hintergrund besitzt.
Übung 10 und Übung 11 thematisieren dies an einfachen Beispielen. Darüber hinaus liefert Übung 11 einen
naheliegenden Zugang zum systematischen Lösungsverfahren: Die Gleichung d(t) = 0 entsteht aus der
Gleichung s1(t) = s2(t) durch Äquivalenzumformungen, wobei diese nicht formal (Stichwort: Rechengesetze in
Q) begründet werden, sondern durch die Anwendungssituation einsichtig werden.
Abschnitt 1.1 Übung 9
Abschnitt 1.1 Übung 10
3. Proportionale und antiproportionale Funktionen
Beide Funktionstypen werden anhand zahlreicher Anwendungsbeispiele aus unterschiedlichen Bereichen
eingeführt. Drei (äquivalente) Aspekte werden dabei deutlich akzentuiert:
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Abschnitt 1.2 Übung 1
1. Das typische Wachstumsverhalten und seine Beschreibung durch den Einheitswert, bei proportionalen
Funktionen z.B. durch P(x) = x · P(1).
2. Die Graphen, bei proportionalen Zuordnungen „Ursprungsgeraden“, bei antiproportionalen Funktionen
Hyperbeln
3. Die Charakterisierung durch Quotienten- bzw. Produktgleichheit von Wertepaaren.
4. Dreisatzrechnung
Die Dreisatzrechnung schließt sich natürlich an die Untersuchung proportionaler und antiproportionaler
Funktionen an. Wegen ihrer Anwendungsrelevanz finden sich in Abschnitt 1.4.4 auch Beispiele zum
zusammengesetzten Dreisatz mit abrufbaren ausführlichen Hilfestellungen.
5. Prozentrechnung
Die Prozentrechnung wird unter dem Aspekt des Proportionalität erarbeitet. Diese Sichtweise ist vor allem
mit Blick auf die Behandlung des schrittweisen prozentualen Wachsens wichtig: Wachstum von G um 6%
bedeutet Multiplikation von G mit 1.06. Das schrittweise proportionale Wachsen selbst wird in Abschnitt 1.5.6
erarbeitet: n - maliges prozentuales Wachsen eines Anfangswertes G um jeweils 6% bedeutet Multiplikation
von G mit 1.06 n.
Die Zinsrechnung wird als Spezialgebiet der Prozentrechnung behandelt (Abschnitt 1.5.5).
Kapitel 2: Geometrie
1. Das Gesamtkonzept
Der Aufbau der Geometrie, der hier beginnt und insbesondere in der Klasse 8 fortgesetzt wird, folgt einem
Konzept der klassischen Kongruenzgeometrie. Die Winkelsätze und die Kongruenzsätze werden damit
gewissermaßen zur axiomatischen Grundlage, auf der Beweise beruhen. Die Kongruenzsätze werden durch die
Erfahrungen mit den entsprechenden Grundkonstruktionen für Dreiecke gewonnen.
2. Der Winkelsummensatz
Der Winkelsummensatz (Abschnitt 2.1.2, Übung 2) ist der erste „nicht-triviale“ Satz, dessen Beweis in einer
Übung erarbeitet wird. Das Grundprinzip der Beweisführung wird auch im Weiteren des Öfteren angewandt,
im vorliegenden Programm z.B. beim Beweis des Thalessatzes in Abschnitt 2.3.3, Übung 4: Man rechnet
zunächst einige typische Zahlenbeispiele durch und gelangt dabei zu einer Vermutung. Die Zahlenrechnungen
selbst liefern die Beweisidee: Man braucht nur die speziell verwandten Zahlen durch Variable zu ersetzen
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und gelangt so zum Beweis. Der Vorzug gegenüber dem Verfahren, Vermutungen durch Messung zu
gewinnen, liegt darin, dass mit den konkreten Rechnungen sogleich die Beweisstrategie ins Blickfeld gerät.
Der Übergang von den Zahlenrechnungen mit Beweis kann in der Übung durch einen Buttonklick auf Mit
Variablen rechnen erreicht werden.
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Abschnitt 2.1 Übung 2
Abschnitt 2.3 Übung 4
Eine schöne Anwendung der Winkelsätze liefert die Überlegung, warum es nur 5 platonische Körper geben
kann.
Platonische Körper sind per definitionem konvexe Polyeder, die von untereinander kongruenten regelmäßigen
Vielecken begrenzt werden.
Abschnitt 2.1 Übung 4
Abschnitt 2.1 Übung 5
Übung 4 in Abschnitt 2.1.4 macht mit den 5 platonischen Körpern vertraut, wobei der Übergang vom Körper
zum Netz und umgekehrt dynamisch veranschaulicht werden kann.
Die Frage nach der Existenz weiterer platonischer Körper liegt nach dieser Demonstration auf der Hand. Die
Winkelsätze für Vielecke, die letztlich auf dem Winkelsummensatz für Dreiecke beruhen, liefern eine Antwort.
Diese wird in Abschnitt 2.1.4 in Übung 5 durch Simulation unterstützt und erarbeitet.
3. Grundkonstruktionen für Dreiecke
Die Grundkonstruktionen WSW und SWS werden in Abschnitten 2.2.1 und 2.2.2 naheliegend
problembezogen eingeführt. Ferner werden (auch mit Blick auf eine Erarbeitung der Kongruenzsätze) die
Konstruktionen SSS und SSW eingeübt. Zu allen Konstruktionen lassen sich Konstruktionsbeschreibungen
abrufen. Die Anwendungen in Abschnitt 2.2.5, Übung 6 und 7 stellen hohe Anforderungen an die
Zeichengenauigkeit.
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Abschnitt 2.2 Übung 6
Abschnitt 2.2 Übung 7
Für die Durchführung der Konstruktionen eignet sich auch das kostenlos mitgelieferte Programm Zeichenblatt.
Es kann zusätzlich zu der Software geladen werden und es kann per Mausklick vom Zeichenblatt zur Aufgabe
und von dort wieder zurück geschaltet werden.
4. Die Kongruenzsätze für Dreiecke
Die Kongruenzsätze bilden zusammen mit den Winkelsätzen die beweistechnische Grundlage der Geometrie.
Auf der Basis der konstruktiven Erfahrungen in Abschnitt 2.2 werden die Schüler wenig Probleme haben, sie
in diesem Sinne zu akzeptieren.
Die beweistechnische Bedeutung der Sätze wird in Klasse 8 stärker ins Bewusstsein rücken, soll jedoch bereits
hier erfahren werden. Der Beweis der Gleichheit der Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck
(Abschnitt 2.3.2, Übung 3) ist noch sehr einfach, der anschließende Beweis des Satzes vom Thales (Abschnitt
2.3.3, Übung 4) ist bereits etwas anspruchsvoller. Die Vermutung kann z.B. zunächst mithilfe der Animation
gewonnen werden. Die Beweiserarbeitung folgt einem ähnlichen Konzept wie beim Winkelsummensatz:
Zahlenrechnungen liefern die Beweisstrategie.
5. Winkel und Winkelbeziehungen im System Erde-Sonne – ein Beitrag zum
fachübergreifenden und fächerverbindenden Arbeiten
Abschnitt 2.4 behandelt eine Reihe interessanter Winkelbestimmungen und –berechnungen, die in der
Geografie oder auch in den Naturwissenschaften von Interesse sind (unter anderem Längengrad- und
Breitengradbestimmungen).
Unter rein mathematischen Gesichtspunkten (Winkelsätze) sind die Übungen nicht schwierig, ein richtiges
Verstehen stellt jedoch nicht unerhebliche Anforderungen an das Vorstellungsvermögen. Eine gründliche
Bearbeitung der Lernseiten ist daher wichtig.
Die Übungen versuchen, durch geeignete Simulationen die Vorstellung zu stützen. Insbesondere ist wichtig zu
verstehen, warum die Sonnenstrahlen die Erde mit hoher Genauigkeit als Parallelbündel treffen. Diese
Erkenntnis ist auch fundamental für das Thema „Jahreszeiten“, das in der Physik oder in
naturwissenschaftlichen Unterricht behandelt wird. Die dynamisch gestaltete Übung 1 in Abschnitt 2.4 soll
diese Erkenntnis sichern.
Die Übungen 2 – 4 benutzen die Winkelsätze. Demgegenüber zeigt sich in Übung 5 kein direkter Bezug zu
den Winkelsätzen. Aber vom Kontext der übrigen Aufgaben her stellt die Übung eine wichtige
Vervollständigung dar. In dieser Übung sind die Simulationen von besonderer Bedeutung. Man kann
sowohl die Erde als auch die Sonne als ruhend betrachten, was zu Drehungen mit umgekehrtem Drehsinn führt.
Außerdem bietet es sich insbesondere in Übung 5 an, zusätzlich einen Globus zu Hilfe zu nehmen.
Abschnitt 2.4 dürfte sich auch als Projektarbeit anbieten.
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Kapitel 3: Rationale Zahlen
1. Das Gesamtkonzept
Die rationalen Zahlen bilden für viele Bereiche der Mathematik eine unverzichtbare strukturelle Grundlage.
Ohne Sie verfügbar zu haben ist beispielsweise eine Behandlung linearer Gleichungen mit vielen
Einschränkungen verbunden. Die Verknüpfungen in Q werden so definiert, dass die bekannten Strukturgesetze
erhalten bleiben. Zumeist wird dieser Aspekt herangezogen, um die Definitionen der Verknüpfungen zu
motivieren, und die vorliegende Software betont selbstverständlich in Lerntext und Übungen diesen Aspekt.
Andererseits dienen Zahlen und damit verbunden Funktionsvorschriften und Gleichungen der
Realitätsbeschreibung. Wenn der Anschauung ein euklidischer Raum zugrunde gelegt wird, ist zu seiner
Beschreibung die Einführung negativer Zahlen unverzichtbar. Darüber hinaus ist jedoch auch wünschbar, dass
die Zahlenoperationen eine einfache und konsistente Beschreibung realer Vorgänge ermöglichen, und zwar
für beiderlei Vorzeichen und alle Verknüpfungen. Dies ist ein zweiter Aspekt, der in der Anlage der
Konzeption umgesetzt wird.
In dem Programm Klasse 5 wurden bereits die ganzen Zahlen mit ihren Verknüpfungen behandelt. Die
Kenntnisse werden hier nicht vorausgesetzt. Trotzdem lohnt ein Blick in die dort behandelten
Übungsaufgaben, teilweise um etwas andere Motivationen für die Verknüpfungen kennen zu lernen.
2. Addition/Subtraktion
Die Einführung dieser beiden Rechenoperationen ist relativ unproblematisch. Bei der Addition (Abschnitt 3.2,
Übung 1) wurde das Einstiegsbeispiel so gewählt, dass man es auch wirklich als Addition und nicht etwa wie
bei Kontobewegungen als Subtraktion wahrnimmt. Unabhängig davon ist natürlich die Erkenntnis wichtig, dass
durch die Einführung der negativen Zahlen die Subtraktion durch die Addition der Gegenzahl dargestellt
werden kann.
3. Multiplikation/Division
Die Definition der Multiplikation in Q bedarf einer überzeugenden Motivation. Diese kann unter zwei
Aspekten erfolgen. Der erste ist die Beibehaltung der Strukturgesetze (Permanenzprinzip), also insbesondere
die weitere Gültigkeit des Distributivgesetzes. Abschnitt 3.4.1 erarbeitet die Definition zunächst unter diesem
Gesichtspunkt. Auf einen logisch wichtigen Aspekt macht die Lernseite aufmerksam: Die Absicht, die
Strukturgesetze zu retten, erzwingt die bekannte Multiplikationsregel. Umgekehrt ist damit jedoch noch nicht
gesichert, dass nach der Definition auch wirklich alle Strukturgesetze erhalten bleiben.
Der zweite wichtige Aspekt die Definition der Multiplikation betreffend wird in Abschnitt 3.4.2, Übung 3
erarbeitet. Es geht darum, die Definition der Multiplikation in Q als zweckmäßig für die
Realitätsbeschreibung zu erkennen. Es ist ganz natürlich, für die Zeitskala eine Nullmarke einzuführen und
die Zeiten vor der Nullmarke durch negative Zahlen zu charakterisieren. Entsprechend natürlich ist es, auf einer
Fahrbahn eine Nullmarke einzuführen und die Wegmarken links von der Nullmarke durch negative Zahlen
anzugeben. Eine gleichförmige Bewegung, bei der zur Zeit t = 0 die Wegmarke 0 durchlaufen wird, kann nun
immer während ihres gesamten Verlaufs durch eine Zuordnungsvorschrift der Form t  v·t angegeben
werden, wobei sich das Vorzeichen von v danach richtet, ob die Bewegung von links nach rechts oder
umgekehrt verläuft. Insbesondere wird nun die Definition des Produktes negativer Zahlen als völlig natürlich
empfunden. Die Beschreibung jedes der genannten Bewegungstypen durch eine Gerade im
t-sKoordinatensystem unterstützt die Zweckmäßigkeit der Definition.
Alternativ zum Vorgehen in dem Lernprogramm kann man natürlich auch sofort mit Übung 3 in Abschnitt
3.4.2 einsteigen.
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Die Vorzeichenregeln für die Division folgen in natürlicher Weise aus denen für die Multiplikation.
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Abschnitt 3.4 Übung 3
Abschnitt 3.6 Übung 1
Nach Einführung der Rechenoperationen liegt es nahe, die Behandlung proportionaler und antiproportionaler
Funktionen auf den Bereich der rationalen Zahlen zu übertragen. Dies geschieht in Abschnitt 3.6.1, Übung 1
betont insbesondere einen geometrischen Aspekt, der jedoch auch schon in Übung 3 von Abschnitt 3.4.2 ins
Spiel kam: Die Multiplikation in Q ist so definiert, dass die Graphenpunkte von Funktionen mit einer
Vorschrift x  ax für festes a auf einer Geraden liegen, unabhängig vom Vorzeichen von a und x. Darüber
hinaus bilden die Übungen in Abschnitt 3.6 einen wichtigen Beitrag zur Schulung funktionalen Denkens. Das
Funktionszeichenprogramm eignet sich für weitere analoge Übungen (stetige Änderung der Parameter a und b
in Funktionenscharen mit einer Vorschriften der Form x  ax + b oder x  a/x).
Kapitel 4: Gleichungen und Terme
Zur Konzeption
Abschnitt 4.1 behandelt lineare Gleichungen und lineare Terme (Funktionsvorschriften), wobei die
Termumformungen, die allerdings bereits in Kapitel 3 behandelt wurden, jetzt integrativ auf das
Gleichungslösen bezogen wieder aufgegriffen werden.
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Abschnitt 4.1 Übung 1
Abschnitt 4.1 Übung 2
Der Einstieg erfolgt problemorientiert/anwendungsorientiert, wobei in Übung 1 Gleichungen der Form ax + b =
c und in Übung 2 Gleichungen der Form ax + b = cx + d behandelt werden.
Es liegt in der Einfachheit der Probleme begründet, dass prinzipiell auch eine Lösung ohne Aufstellen einer
Gleichung möglich ist. Der Sinn, Gleichungen aufzustellen, liegt vor allem darin, dass die Gleichung die in
einer Sachsituation vorgelegte Frage auf das mathematisch Wesentliche konzentriert.
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Abschnitt 4.1 Übung 12
Abschnitt 4.1 Übung 13
Schwer vermeidbar bzw. unumgänglich wird das Aufstellen einer Gleichung natürlich bei den im weiteren
auftretenden komplizierteren Situationen, wie sie beispielsweise in den Anwendungsaufgaben 12 und 13
auftreten.
Bei entsprechender inhaltlich physikalischer Vorbereitung kann man sich natürlich auch eine dieser Aufgaben
in einem problemorientierten Unterricht als Einsteig vorstellen.
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Abschnitt 4.1 Übung 1
Abschnitt 4.1 Übung 2
Teilaufgabe 4/4 in Übung 1 und Übung 2 machen den engen Zusammenhang von Funktionenlehre und
Gleichungslehre deutlich: Die meisten Sachsituationen entstehen in natürlicher Weise aus funktionalen
Abhängigkeiten. Vor allem Übung 2 verdeutlicht auch, dass bei einer Gleichung f(x) = g(x), die aus einer
Sachsituation entsteht, häufig nicht nur die Lösungen der Gleichung, sondern auch die zur Lösung gehörenden
Funktionswerte von Interesse sind. Dies motiviert zugleich eine Angabe der Funktionsvorschriften vor dem
Aufstellen und Lösen der Gleichung.
Die Übungen 1 und 2 zielen noch nicht notwendig auf die formale Vermittlung eines Lösungsverfahrens,
zumal sich die Beispiele noch auf positive Lösungen konzentrieren und Sonderfälle wie L = { } und L = Q
unberücksichtigt bleiben. Konkreter formuliert: Die Umformungen einer Gleichung sollen inhaltlich verstanden
werden. Wenn etwa eine Investitionsaufgabe (siehe Aufgabe 2/4 in Übung 2) auf eine Gleichung der Form ax
= bx +c mit a > b und c > 0 führt, so gibt in der Umformung (a-b)x = c die linke Seite die Kostenersparnis in x
Jahren an, und diese muss schließlich den Wert c annehmen. Entsprechende Interpretationen sind auch in
anderen Aufgaben möglich und werden durch die Hilfen unterstützt. Eine formale Begründung der
Umformungen beruht auf den Rechengesetzen für rationale Zahlen (Körpereigenschaften) und wird auf der
Lernseite 4.1.3 vorgenommen.
Die nachfolgenden Abschnitte behandeln das Distributivgesetz und als weitere Folge die binomischen Formeln.
Es ist ein wichtiges Anliegen der Abschnitte, es nicht bei einer formalen Behandlung zu belassen.
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Abschnitt 4.2 Übung 2
Abschnitt 4.3 Übung 3
Das bedeutet einerseits die Anbindung an geeignete geometrische Fragen, wie es in den Übungen 2 in
Abschnitt 4.2.1, in Übung 3 in Abschnitt 4.3.2 und in den Übungen 6 und 7 in Abschnitt 4.4.4 geschieht.
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Abschnitt 4.4 Übung 6
Abschnitt 4.4 Übung 7
Andererseits werden die Kenntnisse genutzt, um wie in den Übungen 4 in Abschnitt 4.2.2 und Übung 5 von
Abschnitt 4.2.3 im Beweisen/Begründen bzw. Argumentieren zu üben. Eine interessante nichttriviale
Anwendung der binomischen Formeln liefert schließlich Übung 8 in Abschnitt 4.4.5.
Lernzielsicherung durch Tests und Diagnoseaufgaben
Abschnitt 4.5 liefert Tests zu den wichtigen Gegenständen der vorhergehenden Abschnitte. In den Tests
werden keine Hilfen mehr angeboten.
Vor allem, wenn sich in der Durchführung noch Defizite zeigen, bieten sich die Diagnoseübungen
Abschnitt 4.6 an.
in
In Übung 1 können lineare Terme schrittweise umgeformt werden. Nach jeder Umformung erfolgt ein
Kommentar, der insbesondere im Fall einer fehlerhaften Umformung relevant sein dürfte. Natürlich können die
Kommentare nur Wahrscheinlichkeitsaussagen machen, wo ein Fehler gemacht wurde und um welche Art von
Fehler es sich handeln dürfte.
Unabhängig von der Lernzielsicherung verfolgt die Übung noch ein weiteres Ziel, nämlich mit der inhaltlichen
Bedeutung von Termen vertraut zu machen. Terme sind nichts anderes als Funktionsvorschriften und
besitzen daher einen Graphen. Gleichheit von Termen bedeutet Einsetzungsgleichheit.
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Auch wenn eine systematische Behandlung linearer Funktionen erst im Programmpaket Klasse 8 erfolgt,
kann es nützlich sein (genetisches Prinzip; vorwegnehmendes Lernen), im Zusammenhang mit der Übung die
Graphen ins Spiel zu bringen.
Eine korrekte Termumformung zeigt sich somit darin, dass sich der Graph nicht ändert. In der vorliegenden
Übung wird jeweils der alte Graph in einer neuen Farbe überzeichnet.
Umgekehrt äußern sich fehlerhafte Umformungen darin, dass sich der Graph ändert. Es ist lehrreich, von der
Graphenänderung auf den Umformungsfehler zu schließen. Eine Parallelverschiebung in Richtung der
Hochachse bedeutet, dass in dem Term, der letztlich auf die Form ax + b gebracht werden soll, der Wert von b
falsch ist (z.B. durch einen Rechenfehler oder Vorzeichenfehler). Fehler beim Faktor a bewirken eine
Steigungsänderung.
Eine alternative Diagnosemöglichkeit liefert Übung 2: Hier können sinnvolle Umformungsschritte
nacheinander abgerufen werden. Es kann jedoch auch an jeder Stelle selbstständig weiter gerechnet werden.
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Abschnitt 4.6 Übung 1
Abschnitt 4.6 Übung 3
Übung 3 kontrolliert das schrittweise Lösen linearer Gleichungen (mit eindeutiger Lösung) und liefert zu den
Umformungsschritten, insbesondere zu Fehlern, Kommentare. Es geht nicht darum, ein einheitliches Schema zu
vermitteln, sondern auch hier die Freiheit zu lassen, Umformungsschritte überlegt und zweckbezogen
durchzuführen. Natürlich lässt sich jede lineare Gleichung nach dem Schema „Klammer auflösen, die
Ausdrücke mit Faktor x auf eine Seite bringen, Zahlen auf die andere Seite bringen, die Seiten zu der Form ax =
b vereinfachen und die Lösungsmenge angeben“ lösen. Es kann jedoch je nach Aufgabenart zweckmäßig sein,
ein anderes Vorgehen zu wählen.
So liegt es etwa bei der linearen Gleichung
x  6 2( x  1) 3


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2
4
nahe, zunächst beide Seiten der Gleichung mit 4 zu multiplizieren und zu kürzen.
Ähnlich wie Übung 1 bietet auch Übung 3 einen anschaulichen Hintergrund an. Jede Gleichung besitzt die
Form f(x) = g(x), wobei f(x) und g(x) Terme (Funktionsvorschriften) sind (vgl. auch den funktionalen
Charakter der Übungen 1 und 2 in Abschnitt 4.4). Das legt es wiederum nahe, die Graphen zeichnen zu lassen.
Äquivalenzumformungen sind dadurch charakterisiert, dass sich der x-Wert von Schnittpunkten bei der
Umformung nicht ändert. Wird etwa auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl addiert, so
verschieben sich die Graphen in Richtung der Hochachse, die Schnittstellen (x-Werte) bleiben jedoch
unverändert.
Ähnlich wie in Übung 2 beim Umformen linearer Terme können in Übung 4 schrittweise Umformungen
abgerufen werden. Es kann jedoch auch an jeder Stelle eigenständig weiter gearbeitet werden.
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Weitere Diagnoseübungen werden in zu den Themen von Kapitel 4 werden in den nachfolgenden Übungen 5 –
8 angeboten.
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