Nullstellen von Funktionen und Faktorisieren von

Wiederholungsblatt 1
Klasse 11
Nullstellen und Faktorisieren ganzrationaler Funktionsterme
Dazu müssen Sie
 lineare und quadratische Gleichungen lösen können;
 das Ausklammern beherrschen;
 wissen und anwenden können, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor Null ist;
 die Vielfachheit von Nullstellen erkennen und interpretieren können.
Hintergrundwissen (aus der Jahrgangsstufe 10):
Funktionen mit Termen wie z. B. f(x) = x 3 – 4x2 + 4x oder g(x) = -0,5x5 + 2x4 –1,5x2 + 2x - 3 heißen
ganzrationale Funktionen, die Terme werden auch als Polynome bezeichnet.
Die höchste auftretende Potenz von x gibt den Grad an, z. B. ist der Grad von f gleich 3 und der Grad von
g gleich 5.
Ein ganzrationale Funktion hat höchstens so viele Nullstelen, wie der Grad angibt. Also hat f z. B.
höchstens drei Nullstellen; das folgende Beispiel zeigt aber, dass es genau zwei sind.
Beispiel (siehe Abbildung)
f(x) = x3 – 4x2 + 4x = x(x-2)2
hat die Nullstellen
x1 = 0 (einfach)
x2 = 2 (doppelt)
faktorisierte Form
VZW
kein VZW
Merke:

Aus der faktorisierten Form lassen sich die Nullstellen mit ihren
Vielfachheiten ablesen.

Eine Nullstelle mit einer ungeraden Vielfachheit (1, 3, 5, ...) bedeutet
am Graphen einen Vorzeichenwechsel (VZW), aus einer geraden
Vielfachheit (2, 4, ...) folgt dagegen, dass an einer solchen Nullstelle
kein VZW auftritt.

Mit Hilfe der Nullstellen lässt sich ein Term in seine faktorisierte Form überführen.
Es gilt: Hat f(x) genau die Nullstellen x1, x2 und x3 mit den Vielfachheiten n(1), n(2) und n(3), so lässt sich f(x) schreiben als
f(x) = c(x – x1)n(1)(x – x2)n(2)(x – x3)n(3)p(x) mit einer geeigneten Konstante c und einem nullstellenfreien Restpolynom p(x).
So geht man vor:
f(x) = x4 –4x3 + 2x2
x4 –4x3 + 2x2 = 0
x2(x2 –4x + 2) = 0
erste Nullstelle: x1 = 0 (doppelte Nst.)
x2 –4x + 2 = 0
4  16  4  2
x2 / 3 
 2  2 (jew. einfache N.)
2
Bsp 1:
Nullstellen: x1  0  x 2  2  2  x 3  2  2
f(x) = x2(x – x2)(x – x3) =
Bsp 2:
x 2 (x  2  2 )( x  2  2 )
gegebener Funktionsterm
f(x) gleich Null setzen
Gleichung lösen
Die Lösungen sind die Nullstellen
f(x) in vollständig faktorisierter Form
f(x) = 0,5x3 – x2 + 0,5x
gegebener Funktionsterm
Nullstellen: x1 = 0 (einfach), x2 = 1 (doppelt)
Nullstellen bestimmen (nicht ausgeführt)
f(x) = 0,5x(x – 1)
faktorisierte Form
2
Hinweis:
In der 10. Klasse haben Sie gelernt, wie man mit Hilfe der faktorisierten Form einer Funktion f und einer
Vorzeichentabelle von f den Verlauf des Graphen qualitativ skizzieren kann („Felderabstreichen“).
Führen Sie dies am 2. Beispiel durch: f(x) = 0,5x3 – x2 + 0,5x = 0,5x(x – 1)2
0,5x
(x-1)2
f(x)
x<0
+
-
x=0
0
0<x<1
© EZeb
Wiederholungsblatt 1
Klasse 11
Aufgaben
1.
Gegeben ist der Graph einer Funktion f.
Geben Sie die Nullstellen und mögliche Vielfachheiten
der Nullstellen an.
2.
Bestimmen Sie jeweils die Nullstellen und geben sie den Funktionsterm in faktorisierter Form an
a) f(x) = x2 – 2x +1
b) f(x) = -2x2 +2x - 1
3
c) f(x) = x – 4x
d) f(x) = 2x4 +2x3 – x2
3.
Bestimmen Sie für die Funktionsterme von Aufgabe 2 jeweils das Verhalten für x  und skizzieren Sie
qualitativ den Verlauf der zugehörigen Funktionsgraphen.
4.
Bestimmen Sie den Term einer ganzrationalen Funktion f mit den Nullstellen –2 (doppelt), 3 (einfach) und 5
(einfach), für den lim f (x)   gilt.
x 
© EZeb
Wiederholungsblatt 1
Klasse 11
Lösungen
1.
Nullstelle
Vielfachheit
Begründung für Vielfachheit
x = -1
x=2
x=5
geradzahlig, z. B. doppelte Nullstelle
ungeradzahlig, z. B. einfache Nullstelle
geradzahlig, z. B. doppelte Nullstelle
kein Vorzeichenwechsel
Vorzeichenwechsel
kein Vorzeichenwechsel
2./3.
a)
Term
f(x) = x – 2x +1 =
(x – 1)2
(Bin. Formel!)
Nullstellen x = 1 (doppelt)
faktoris.
Term
Grenzwert
2
f(x) = (x – 1)2
lim f x   
x 
b)
2
c)
d)
f(x) = -2x +2x - 1
f(x) = x – 4x =
x(x2 – 4)
f(x) = 2x +2x3 – x2 =
x2(2x2 + 2x – 1)
keine Nst.
Begr: D = -4
x = 0 (einfach),
x = -2 (einfach),
x = 2 (einfach)
x=0
f(x) = x(x + 2)(x 2)
f x  
x 2 (x 
keine Faktorisierung
möglich
lim f x   
x 
3
lim f x   
x 
4
(doppelt),
x
1
2
x
1
2

1
2
3 (einfach),

1
2
3 (einfach)
1
2
 12 3 )( x 
lim f x   
1
2

1
2
3)
x 
Graph
4.
Zum Beispiel:
Erster Versuch: g(x) = (x + 2)2(x – 3)(x – 5).
Erfüllt die Bedingungen der Nullstellen, hat aber das entgegen gesetzte Grenzverhalten.
Lösung: f(x) = -(x + 2)2(x – 3)(x – 5)
© EZeb