Lineare Algebra für Physiker, Serie 10

Lineare Algebra für Physiker, Serie 10
Abgabe am 20. 12. 2007
1. Es seien a i , i = 1, . . . , 4 und b reelle Zahlen. Berechnen Sie die Determinante
a 1 b
0 0 b a2 b
0 0 b a3 b .
0 0 b a 4
4P
2. Zwei Leuchttürme K und L stehen 2km voneinander entfernt direkt an der Küste. Ein
erstes Schiff hat von K den Abstand 4km und von L den Abstand 3km . Ein zweites
Schiff hat von K den Abstand 5km und von L den Abstand 6km .
Berechnen Sie den Abstand der beiden Schiffe auf 10m genau.
4P
Hinweis. Die Erdkrümmung soll vernachlässigt werden. Ein Rechner darf benutzt werden.
3. Durch welche Abbildungen wird ein Skalarprodukt auf
x = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ 3 und y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ 3 setzten wir
(a) x , y = (x 1 − y 1 )2 + (x 2 − y 2 )2 + (x 3 − y 3 )2 .
(b) x , y = 4x 1 y 1 + 3x 2 y 2 + x 3 y 3 + 2x 1 y 2 + 2y 1x 2 − x 2 y 3 − y 2x 3 .
(c) x , y = x 1 y 1 + 2x 2 y 2 .
R
4. Für A, B ∈
definiert?
C
2×2
R
R
3
definiert? Für
setzen wir ⟨A , B ⟩ = tr (B ∗ A). Ist dadurch ein Skalarprodukt auf
C
2×2
4P
5. (a) Es sei V ein Raum mit Skalarprodukt und kx k =
Zeigen Sie, dass die Parallelogrammidentität gilt:
p
⟨x , x ⟩ die zugehörige Norm.
ka − c k2 + ka + c k2 = 2(ka k2 + kc k2 )
(b) Zeigen Sie, dass
4P
R
2
∀ a , c ∈ V.
mit k(x 1 ,x 2 )k := max{| x 1 | , | x 2 |} ein normierter Raum ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Norm in (b) die Parallelogrammidentität nicht erfüllt.
6P